الجبر الأمثلة

$y = 2 x - x^{2} + 6$

خطوة 1

أعِد ترتيب $2 x$ و $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 2 x + 6$

خطوة 2

أوجِد خصائص القطع المكافئ المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة بصيغة الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أكمل المربع لـ $- x^{2} + 2 x + 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = - 1$

$b = 2$

$c = 6$

خطوة 2.1.1.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 2.1.1.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

خطوة 2.1.1.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

خطوة 2.1.1.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{1}{- 1}$

خطوة 2.1.1.3.2.1.3

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

خطوة 2.1.1.3.2.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$d = - 1$

خطوة 2.1.1.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 6 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 1}$

خطوة 2.1.1.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.4.2.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$e = 6 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

خطوة 2.1.1.4.2.1.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$e = 6 - \frac{4}{- 4}$

خطوة 2.1.1.4.2.1.3

اقسِم $4$ على $- 4$ .

$e = 6 - - 1$

خطوة 2.1.1.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$e = 6 + 1$

خطوة 2.1.1.4.2.2

أضف $6$ و $1$ .

$e = 7$

خطوة 2.1.1.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $- {(x - 1)}^{2} + 7$ .

$- {(x - 1)}^{2} + 7$

خطوة 2.1.2

عيّن قيمة $y$ لتصبح مساوية للطرف الأيمن الجديد.

$y = - {(x - 1)}^{2} + 7$

خطوة 2.2

استخدِم صيغة الرأس، $y = a {(x - h)}^{2} + k$ ، لتحديد قيم $a$ و $h$ و $k$ .

$a = - 1$

$h = 1$

$k = 7$

خطوة 2.3

بما أن قيمة $a$ سالبة، إذن القطع المكافئ مفتوح إلى أسفل.

مفتوح إلى أسفل

خطوة 2.4

أوجِد الرأس $(h, k)$ .

$(1, 7)$

خطوة 2.5

أوجِد $p$ ، المسافة من الرأس إلى البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أوجِد المسافة من الرأس إلى بؤرة القطع المكافئ باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{1}{4 a}$

خطوة 2.5.2

عوّض بقيمة $a$ في القاعدة.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

خطوة 2.5.3

احذِف العامل المشترك لـ $1$ و $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

خطوة 2.5.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{4}$

خطوة 2.6

أوجِد البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

يمكن إيجاد بؤرة القطع المكافئ بجمع $p$ مع الإحداثي الصادي $k$ إذا كان القطع المكافئ مفتوحًا إلى أعلى أو إلى أسفل.

$(h, k + p)$

خطوة 2.6.2

عوّض بقيم $h$ و $p$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(1, \frac{27}{4})$

خطوة 2.7

أوجِد محور التناظر بإيجاد الخط الذي يمر عبر الرأس والبؤرة.

$x = 1$

خطوة 2.8

أوجِد الدليل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

دليل القطع المكافئ هو الخط الأفقي الذي يمكن إيجاده بطرح $p$ من الإحداثي الصادي $k$ للرأس إذا كان القطع المكافئ مفتوح إلى أعلى أو إلى أسفل.

$y = k - p$

خطوة 2.8.2

عوّض بقيمتَي $p$ و $k$ المعروفتين في القاعدة وبسّط.

$y = \frac{29}{4}$

خطوة 2.9

استخدِم خصائص القطع المكافئ لتحليل القطع المكافئ وتمثيله بيانيًا.

الاتجاه: مفتوح للأسفل

الرأس: $(1, 7)$

البؤرة: $(1, \frac{27}{4})$

محور التناظر: $x = 1$

الدليل: $y = \frac{29}{4}$

الاتجاه: مفتوح للأسفل

الرأس: $(1, 7)$

البؤرة: $(1, \frac{27}{4})$

محور التناظر: $x = 1$

الدليل: $y = \frac{29}{4}$

خطوة 3

حدد بعض قيم $x$ ، وعوّض بها في المعادلة لإيجاد قيم $y$ المناظرة. يجب تحديد قيم $x$ حول الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = - {(0)}^{2} + 2 (0) + 6$

خطوة 3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = - 0 + 2 (0) + 6$

خطوة 3.2.1.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 2 (0) + 6$

خطوة 3.2.1.3

اضرب $2$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 6$

خطوة 3.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0 + 6$

خطوة 3.2.2.2

أضف $0$ و $6$ .

$f (0) = 6$

خطوة 3.2.3

الإجابة النهائية هي $6$ .

$6$

خطوة 3.3

قيمة $y$ عند $x = 0$ تساوي $6$ .

$y = 6$

خطوة 3.4

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f (- 1) = - {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 6$

خطوة 3.5

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1

اضرب $- 1$ في ${(- 1)}^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1.1

اضرب $- 1$ في ${(- 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $1$ .

$f (- 1) = (- 1) {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 6$

خطوة 3.5.1.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (- 1) = {(- 1)}^{1 + 2} + 2 (- 1) + 6$

خطوة 3.5.1.1.2

أضف $1$ و $2$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{3} + 2 (- 1) + 6$

خطوة 3.5.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f (- 1) = - 1 + 2 (- 1) + 6$

خطوة 3.5.1.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 - 2 + 6$

خطوة 3.5.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

اطرح $2$ من $- 1$ .

$f (- 1) = - 3 + 6$

خطوة 3.5.2.2

أضف $- 3$ و $6$ .

$f (- 1) = 3$

خطوة 3.5.3

الإجابة النهائية هي $3$ .

$3$

خطوة 3.6

قيمة $y$ عند $x = - 1$ تساوي $3$ .

$y = 3$

خطوة 3.7

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f (2) = - {(2)}^{2} + 2 (2) + 6$

خطوة 3.8

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (2) = - 1 \cdot 4 + 2 (2) + 6$

خطوة 3.8.1.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$f (2) = - 4 + 2 (2) + 6$

خطوة 3.8.1.3

اضرب $2$ في $2$ .

$f (2) = - 4 + 4 + 6$

خطوة 3.8.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.2.1

أضف $- 4$ و $4$ .

$f (2) = 0 + 6$

خطوة 3.8.2.2

أضف $0$ و $6$ .

$f (2) = 6$

خطوة 3.8.3

الإجابة النهائية هي $6$ .

$6$

خطوة 3.9

قيمة $y$ عند $x = 2$ تساوي $6$ .

$y = 6$

خطوة 3.10

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f (3) = - {(3)}^{2} + 2 (3) + 6$

خطوة 3.11

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f (3) = - 1 \cdot 9 + 2 (3) + 6$

خطوة 3.11.1.2

اضرب $- 1$ في $9$ .

$f (3) = - 9 + 2 (3) + 6$

خطوة 3.11.1.3

اضرب $2$ في $3$ .

$f (3) = - 9 + 6 + 6$

خطوة 3.11.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.2.1

أضف $- 9$ و $6$ .

$f (3) = - 3 + 6$

خطوة 3.11.2.2

أضف $- 3$ و $6$ .

$f (3) = 3$

خطوة 3.11.3

الإجابة النهائية هي $3$ .

$3$

خطوة 3.12

قيمة $y$ عند $x = 3$ تساوي $3$ .

$y = 3$

خطوة 3.13

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 3 \\ 0 & 6 \\ 1 & 7 \\ 2 & 6 \\ 3 & 3 \end{array}$

خطوة 4

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

الاتجاه: مفتوح للأسفل

الرأس: $(1, 7)$

البؤرة: $(1, \frac{27}{4})$

محور التناظر: $x = 1$

الدليل: $y = \frac{29}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 3 \\ 0 & 6 \\ 1 & 7 \\ 2 & 6 \\ 3 & 3 \end{array}$

خطوة 5