الجبر الأمثلة

$5^{x + 4} = y$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $y = 5^{x + 4}$ .

$y = 5^{x + 4}$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = 5^{y + 4}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $5^{y + 4} = x$ .

$5^{y + 4} = x$

خطوة 3.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (5^{y + 4}) = \ln (x)$

خطوة 3.3

وسّع $\ln (5^{y + 4})$ بنقل $y + 4$ خارج اللوغاريتم.

$(y + 4) \ln (5) = \ln (x)$

خطوة 3.4

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y \ln (5) + 4 \ln (5) = \ln (x)$

خطوة 3.5

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$y \ln (5) + 4 \ln (5) - \ln (x) = 0$

خطوة 3.6

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

اطرح $4 \ln (5)$ من كلا المتعادلين.

$y \ln (5) - \ln (x) = - 4 \ln (5)$

خطوة 3.6.2

أضف $\ln (x)$ إلى كلا المتعادلين.

$y \ln (5) = - 4 \ln (5) + \ln (x)$

خطوة 3.7

اقسِم كل حد في $y \ln (5) = - 4 \ln (5) + \ln (x)$ على $\ln (5)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

اقسِم كل حد في $y \ln (5) = - 4 \ln (5) + \ln (x)$ على $\ln (5)$ .

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- 4 \ln (5)}{\ln (5)} + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

خطوة 3.7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- 4 \ln (5)}{\ln (5)} + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

خطوة 3.7.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{- 4 \ln (5)}{\ln (5)} + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

خطوة 3.7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{- 4 \ln (5)}{\ln (5)} + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

خطوة 3.7.3.1.2

اقسِم $- 4$ على $1$ .

$y = - 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = - 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = - 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$ هي معكوس $f (x) = 5^{x + 4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} \cdot 5^{x + 4}$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 5^{x + 4} = - 4 + \frac{\ln (5^{x + 4})}{\ln (5)}$

خطوة 5.2.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

وسّع $\ln (5^{x + 4})$ بنقل $x + 4$ خارج اللوغاريتم.

$f^{- 1} \cdot 5^{x + 4} = - 4 + \frac{(x + 4) \ln (5)}{\ln (5)}$

خطوة 5.2.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} \cdot 5^{x + 4} = - 4 + \frac{(x + 4) \ln (5)}{\ln (5)}$

خطوة 5.2.3.2.2

اقسِم $x + 4$ على $1$ .

$f^{- 1} \cdot 5^{x + 4} = - 4 + x + 4$

خطوة 5.2.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $- 4 + x + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

أضف $- 4$ و $4$ .

$f^{- 1} \cdot 5^{x + 4} = x + 0$

خطوة 5.2.4.2

أضف $x$ و $0$ .

$f^{- 1} \cdot 5^{x + 4} = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{(- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}) + 4}$

خطوة 5.3.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $(- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}) + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

أضف $- 4$ و $4$ .

$f (- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{0 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}}$

خطوة 5.3.3.2

أضف $0$ و $\frac{\ln (x)}{\ln (5)}$ .

$f (- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{\frac{\ln (x)}{\ln (5)}}$

خطوة 5.3.4

استخدِم قاعدة تغيير الأساس $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{\log_{5} (x)}$

خطوة 5.3.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f (- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = - 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$ هي معكوس $f (x) = 5^{x + 4}$ .

$f^{- 1} (x) = - 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$