الجبر الأمثلة

$2 \cos^{2} (A) - \cos (A) - 1 = 0$

خطوة 1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لنفترض أن $u = \cos (A)$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $\cos (A)$ .

$2 u^{2} - u - 1 = 0$

خطوة 1.2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ ومجموعهما $b = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- u$ .

$2 u^{2} - (u) - 1 = 0$

خطوة 1.2.1.2

أعِد كتابة $- 1$ في صورة $1$ زائد $- 2$

$2 u^{2} + (1 - 2) u - 1 = 0$

خطوة 1.2.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1 = 0$

خطوة 1.2.1.4

اضرب $u$ في $1$ .

$2 u^{2} + u - 2 u - 1 = 0$

خطوة 1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(2 u^{2} + u) - 2 u - 1 = 0$

خطوة 1.2.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$u (2 u + 1) - (2 u + 1) = 0$

خطوة 1.2.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 u + 1$ .

$(2 u + 1) (u - 1) = 0$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (A)$ .

$(2 \cos (A) + 1) (\cos (A) - 1) = 0$

خطوة 2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$2 \cos (A) + 1 = 0$

$\cos (A) - 1 = 0$

خطوة 3

عيّن قيمة العبارة $2 \cos (A) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $A$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة $2 \cos (A) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 \cos (A) + 1 = 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $A$ في $2 \cos (A) + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2 \cos (A) = - 1$

خطوة 3.2.2

اقسِم كل حد في $2 \cos (A) = - 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 \cos (A) = - 1$ على $2$ .

$\frac{2 \cos (A)}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cos (A)}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.2.2.2.1.2

اقسِم $\cos (A)$ على $1$ .

$\cos (A) = \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\cos (A) = - \frac{1}{2}$

خطوة 3.2.3

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $A$ من داخل جيب التمام.

$A = \arccos (- \frac{1}{2})$

خطوة 3.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (- \frac{1}{2})$ هي $\frac{2 π}{3}$ .

$A = \frac{2 π}{3}$

خطوة 3.2.5

دالة جيب التمام سالبة في الربعين الثاني والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$A = 2 π - \frac{2 π}{3}$

خطوة 3.2.6

بسّط $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$A = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

خطوة 3.2.6.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{3}{3}$ .

$A = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

خطوة 3.2.6.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

خطوة 3.2.6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.3.1

اضرب $3$ في $2$ .

$A = \frac{6 π - 2 π}{3}$

خطوة 3.2.6.3.2

اطرح $2 π$ من $6 π$ .

$A = \frac{4 π}{3}$

خطوة 3.2.7

أوجِد فترة $\cos (A)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 3.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 3.2.7.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 3.2.8

فترة دالة $\cos (A)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$A = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $\cos (A) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $A$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $\cos (A) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (A) - 1 = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $A$ في $\cos (A) - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$\cos (A) = 1$

خطوة 4.2.2

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $A$ من داخل جيب التمام.

$A = \arccos (1)$

خطوة 4.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (1)$ هي $0$ .

$A = 0$

خطوة 4.2.4

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$A = 2 π - 0$

خطوة 4.2.5

اطرح $0$ من $2 π$ .

$A = 2 π$

خطوة 4.2.6

أوجِد فترة $\cos (A)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 4.2.6.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 4.2.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 4.2.6.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 4.2.7

فترة دالة $\cos (A)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$A = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(2 \cos (A) + 1) (\cos (A) - 1) = 0$ صحيحة.

$A = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6

وحّد الإجابات.

$A = \frac{2 π n}{3}$ ، لأي عدد صحيح $n$