الجبر الأمثلة

$\frac{x}{3 x - 5} \leq \frac{2}{x - 1}$

خطوة 1

اطرح $\frac{2}{x - 1}$ من كلا طرفي المتباينة.

$\frac{x}{3 x - 5} - \frac{2}{x - 1} \leq 0$

خطوة 2

بسّط $\frac{x}{3 x - 5} - \frac{2}{x - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لكتابة $\frac{x}{3 x - 5}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x}{3 x - 5} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2}{x - 1} \leq 0$

خطوة 2.2

لكتابة $- \frac{2}{x - 1}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3 x - 5}{3 x - 5}$ .

$\frac{x}{3 x - 5} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2}{x - 1} \cdot \frac{3 x - 5}{3 x - 5} \leq 0$

خطوة 2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(3 x - 5) (x - 1)$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب $\frac{x}{3 x - 5}$ في $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x (x - 1)}{(3 x - 5) (x - 1)} - \frac{2}{x - 1} \cdot \frac{3 x - 5}{3 x - 5} \leq 0$

خطوة 2.3.2

اضرب $\frac{2}{x - 1}$ في $\frac{3 x - 5}{3 x - 5}$ .

$\frac{x (x - 1)}{(3 x - 5) (x - 1)} - \frac{2 (3 x - 5)}{(x - 1) (3 x - 5)} \leq 0$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب عوامل $(x - 1) (3 x - 5)$ .

$\frac{x (x - 1)}{(3 x - 5) (x - 1)} - \frac{2 (3 x - 5)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

خطوة 2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x (x - 1) - 2 (3 x - 5)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

خطوة 2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 (3 x - 5)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

خطوة 2.5.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 - 2 (3 x - 5)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

خطوة 2.5.3

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x - 2 (3 x - 5)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

خطوة 2.5.4

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$\frac{x^{2} - x - 2 (3 x - 5)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

خطوة 2.5.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} - x - 2 (3 x) - 2 \cdot - 5}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

خطوة 2.5.6

اضرب $3$ في $- 2$ .

$\frac{x^{2} - x - 6 x - 2 \cdot - 5}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

خطوة 2.5.7

اضرب $- 2$ في $- 5$ .

$\frac{x^{2} - x - 6 x + 10}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

خطوة 2.5.8

اطرح $6 x$ من $- x$ .

$\frac{x^{2} - 7 x + 10}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

خطوة 2.5.9

حلّل $x^{2} - 7 x + 10$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.9.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $10$ ومجموعهما $- 7$ .

$- 5, - 2$

خطوة 2.5.9.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$\frac{(x - 5) (x - 2)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

خطوة 3

أوجِد جميع القيم التي تتحول فيها العبارة من سالبة إلى موجبة بتعيين قيمة كل عامل لتصبح مساوية لـ $0$ وحلّها.

$x - 5 = 0$

$x - 2 = 0$

$3 x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

خطوة 4

أضف $5$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 5$

خطوة 5

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 6

أضف $5$ إلى كلا المتعادلين.

$3 x = 5$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $3 x = 5$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $3 x = 5$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{5}{3}$

خطوة 8

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 9

أوجِد قيمة كل عامل لإيجاد القيم التي تنتقل فيها عبارة القيمة المطلقة من السالب إلى الموجب.

$x = 5$

$x = 2$

$x = \frac{5}{3}$

$x = 1$

خطوة 10

وحّد الحلول.

$x = 5, 2, \frac{5}{3}, 1$

خطوة 11

أوجِد نطاق $\frac{(x - 5) (x - 2)}{(3 x - 5) (x - 1)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{(x - 5) (x - 2)}{(3 x - 5) (x - 1)}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$(3 x - 5) (x - 1) = 0$

خطوة 11.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$3 x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

خطوة 11.2.2

عيّن قيمة العبارة $3 x - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.1

عيّن قيمة $3 x - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 x - 5 = 0$

خطوة 11.2.2.2

أوجِد قيمة $x$ في $3 x - 5 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.2.1

أضف $5$ إلى كلا المتعادلين.

$3 x = 5$

خطوة 11.2.2.2.2

اقسِم كل حد في $3 x = 5$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.2.2.1

اقسِم كل حد في $3 x = 5$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

خطوة 11.2.2.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

خطوة 11.2.2.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{5}{3}$

خطوة 11.2.3

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 11.2.3.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 11.2.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(3 x - 5) (x - 1) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{5}{3}, 1$

خطوة 11.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$(- \infty, 1) \cup (1, \frac{5}{3}) \cup (\frac{5}{3}, \infty)$

خطوة 12

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < 1$

$1 < x < \frac{5}{3}$

$\frac{5}{3} < x < 2$

$2 < x < 5$

$x > 5$

خطوة 13

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اختبر قيمة في الفترة $x < 1$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < 1$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0$

خطوة 13.1.2

استبدِل $x$ بـ $0$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{0}{3 (0) - 5} \leq \frac{2}{(0) - 1}$

خطوة 13.1.3

الطرف الأيسر $0$ أكبر من الطرف الأيمن $- 2$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

خطأ

خطوة 13.2

اختبر قيمة في الفترة $1 < x < \frac{5}{3}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

اختر قيمة من الفترة $1 < x < \frac{5}{3}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 1.33$

خطوة 13.2.2

استبدِل $x$ بـ $1.33$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{1.33}{3 (1.33) - 5} \leq \frac{2}{(1.33) - 1}$

خطوة 13.2.3

الطرف الأيسر $- 1.\overline{3168}$ أصغر من الطرف الأيمن $6.\overline{06}$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

صائب

خطوة 13.3

اختبر قيمة في الفترة $\frac{5}{3} < x < 2$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1

اختر قيمة من الفترة $\frac{5}{3} < x < 2$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 1.83$

خطوة 13.3.2

استبدِل $x$ بـ $1.83$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{1.83}{3 (1.83) - 5} \leq \frac{2}{(1.83) - 1}$

خطوة 13.3.3

الطرف الأيسر $3.73469387$ أكبر من الطرف الأيمن $2.40963855$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

خطأ

خطوة 13.4

اختبر قيمة في الفترة $2 < x < 5$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.1

اختر قيمة من الفترة $2 < x < 5$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 4$

خطوة 13.4.2

استبدِل $x$ بـ $4$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{4}{3 (4) - 5} \leq \frac{2}{(4) - 1}$

خطوة 13.4.3

الطرف الأيسر $0.\overline{571428}$ أصغر من الطرف الأيمن $0.\overline{6}$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

صائب

خطوة 13.5

اختبر قيمة في الفترة $x > 5$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.1

اختر قيمة من الفترة $x > 5$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 8$

خطوة 13.5.2

استبدِل $x$ بـ $8$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{8}{3 (8) - 5} \leq \frac{2}{(8) - 1}$

خطوة 13.5.3

الطرف الأيسر $0.42105263$ أكبر من الطرف الأيمن $0.\overline{285714}$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

خطأ

خطوة 13.6

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < 1$ خطأ

$1 < x < \frac{5}{3}$ صحيحة

$\frac{5}{3} < x < 2$ خطأ

$2 < x < 5$ صحيحة

$x > 5$ خطأ

$x < 1$ خطأ

$1 < x < \frac{5}{3}$ صحيحة

$\frac{5}{3} < x < 2$ خطأ

$2 < x < 5$ صحيحة

$x > 5$ خطأ

خطوة 14

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$1 < x < \frac{5}{3}$ أو $2 \leq x \leq 5$

خطوة 15

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

صيغة التباين:

$1 < x < \frac{5}{3} or 2 \leq x \leq 5$

ترميز الفترة:

$(1, \frac{5}{3}) \cup [2, 5]$

خطوة 16