الجبر الأمثلة

$\frac{x - 1}{x^{2} + x - 6} - \frac{x - 2}{x^{2} + 4 x + 3}$

خطوة 1

حلّل $x^{2} + 4 x + 3$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $3$ ومجموعهما $4$ .

$1, 3$

خطوة 1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$\frac{x - 1}{x^{2} + x - 6} - \frac{x - 2}{(x + 1) (x + 3)}$

خطوة 2

لكتابة $\frac{x - 1}{x^{2} + x - 6}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{(x + 1) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)}$ .

$\frac{x - 1}{x^{2} + x - 6} \cdot \frac{(x + 1) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} - \frac{x - 2}{(x + 1) (x + 3)}$

خطوة 3

لكتابة $- \frac{x - 2}{(x + 1) (x + 3)}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} + x - 6}$ .

$\frac{x - 1}{x^{2} + x - 6} \cdot \frac{(x + 1) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} - \frac{x - 2}{(x + 1) (x + 3)} \cdot \frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} + x - 6}$

خطوة 4

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(x^{2} + x - 6) (x + 1) (x + 3)$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $\frac{x - 1}{x^{2} + x - 6}$ في $\frac{(x + 1) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)}$ .

$\frac{(x - 1) ((x + 1) (x + 3))}{(x^{2} + x - 6) ((x + 1) (x + 3))} - \frac{x - 2}{(x + 1) (x + 3)} \cdot \frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} + x - 6}$

خطوة 4.2

اضرب $\frac{x - 2}{(x + 1) (x + 3)}$ في $\frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} + x - 6}$ .

$\frac{(x - 1) ((x + 1) (x + 3))}{(x^{2} + x - 6) ((x + 1) (x + 3))} - \frac{(x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 4.3

أعِد ترتيب عوامل $(x^{2} + x - 6) ((x + 1) (x + 3))$ .

$\frac{(x - 1) ((x + 1) (x + 3))}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)} - \frac{(x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{(x - 1) ((x + 1) (x + 3)) - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 6

أعِد كتابة $\frac{(x - 1) ((x + 1) (x + 3)) - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

وسّع $(x + 1) (x + 3)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(x - 1) (x (x + 3) + 1 (x + 3)) - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 6.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(x - 1) (x \cdot x + x \cdot 3 + 1 (x + 3)) - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 6.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(x - 1) (x \cdot x + x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3) - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 6.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3) - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 6.2.1.2

انقُل $3$ إلى يسار $x$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + 3 x + 1 x + 1 \cdot 3) - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + 3 x + x + 1 \cdot 3) - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 6.2.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + 3 x + x + 3) - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 6.2.2

أضف $3 x$ و $x$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + 4 x + 3) - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 6.3

وسّع $(x - 1) (x^{2} + 4 x + 3)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (4 x) + x \cdot 3 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 6.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{1} x^{2} + x (4 x) + x \cdot 3 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 6.4.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{1 + 2} + x (4 x) + x \cdot 3 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 6.4.1.2

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{x^{3} + x (4 x) + x \cdot 3 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 6.4.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{x^{3} + 4 x \cdot x + x \cdot 3 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 6.4.3

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.3.1

انقُل $x$ .

$\frac{x^{3} + 4 (x \cdot x) + x \cdot 3 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 6.4.3.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + x \cdot 3 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 6.4.4

انقُل $3$ إلى يسار $x$ .

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 6.4.5

أعِد كتابة $- 1 x^{2}$ بالصيغة $- x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 6.4.6

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - x^{2} - 4 x - 1 \cdot 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 6.4.7

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - x^{2} - 4 x - 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 6.5

اطرح $x^{2}$ من $4 x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 4 x - 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 6.6

اطرح $4 x$ من $3 x$ .

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 6.7

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 + (- x - - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 6.8

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 + (- x + 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 6.9

وسّع $(- x + 2) (x^{2} + x - 6)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - x \cdot x^{2} - x \cdot x - x \cdot - 6 + 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 6}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 6.10

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.10.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.10.1.1

انقُل $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - (x^{2} x) - x \cdot x - x \cdot - 6 + 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 6}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 6.10.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.10.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - (x^{2} x^{1}) - x \cdot x - x \cdot - 6 + 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 6}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 6.10.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - x^{2 + 1} - x \cdot x - x \cdot - 6 + 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 6}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 6.10.1.3

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - x^{3} - x \cdot x - x \cdot - 6 + 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 6}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 6.10.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.10.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - x^{3} - (x \cdot x) - x \cdot - 6 + 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 6}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 6.10.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - x^{3} - x^{2} - x \cdot - 6 + 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 6}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 6.10.3

اضرب $- 6$ في $- 1$ .

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - x^{3} - x^{2} + 6 x + 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 6}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 6.10.4

اضرب $2$ في $- 6$ .

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - x^{3} - x^{2} + 6 x + 2 x^{2} + 2 x - 12}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 6.11

أضف $- x^{2}$ و $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - x^{3} + x^{2} + 6 x + 2 x - 12}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 6.12

أضف $6 x$ و $2 x$ .

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - x^{3} + x^{2} + 8 x - 12}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 6.13

اطرح $x^{3}$ من $x^{3}$ .

$\frac{3 x^{2} - x - 3 + 0 + x^{2} + 8 x - 12}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 6.14

أضف $3 x^{2}$ و $0$ .

$\frac{3 x^{2} - x - 3 + x^{2} + 8 x - 12}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 6.15

أضف $3 x^{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - x - 3 + 8 x - 12}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 6.16

أضف $- x$ و $8 x$ .

$\frac{4 x^{2} + 7 x - 3 - 12}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 6.17

اطرح $12$ من $- 3$ .

$\frac{4 x^{2} + 7 x - 15}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 6.18

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.18.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 4 \cdot - 15 = - 60$ ومجموعهما $b = 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.18.1.1

أخرِج العامل $7$ من $7 x$ .

$\frac{4 x^{2} + 7 (x) - 15}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 6.18.1.2

أعِد كتابة $7$ في صورة $- 5$ زائد $12$

$\frac{4 x^{2} + (- 5 + 12) x - 15}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 6.18.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 x^{2} - 5 x + 12 x - 15}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 6.18.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.18.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$\frac{(4 x^{2} - 5 x) + 12 x - 15}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 6.18.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\frac{x (4 x - 5) + 3 (4 x - 5)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 6.18.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $4 x - 5$ .

$\frac{(4 x - 5) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

خطوة 6.19

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.19.1

حلّل $x^{2} + x - 6$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.19.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 6$ ومجموعهما $1$ .

$- 2, 3$

خطوة 6.19.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$\frac{(4 x - 5) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3) ((x - 2) (x + 3))}$

خطوة 6.19.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$\frac{(4 x - 5) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2) (x + 3)}$

خطوة 6.20

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.20.1

ارفع $x + 3$ إلى القوة $1$ .

$\frac{(4 x - 5) (x + 3)}{(x + 1) ({(x + 3)}^{1} (x + 3)) (x - 2)}$

خطوة 6.20.2

ارفع $x + 3$ إلى القوة $1$ .

$\frac{(4 x - 5) (x + 3)}{(x + 1) ({(x + 3)}^{1} {(x + 3)}^{1}) (x - 2)}$

خطوة 6.20.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{(4 x - 5) (x + 3)}{(x + 1) {(x + 3)}^{1 + 1} (x - 2)}$

خطوة 6.20.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{(4 x - 5) (x + 3)}{(x + 1) {(x + 3)}^{2} (x - 2)}$

خطوة 6.21

اختزِل العبارة $\frac{(4 x - 5) (x + 3)}{(x + 1) {(x + 3)}^{2} (x - 2)}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.21.1

أخرِج العامل $x + 3$ من $(4 x - 5) (x + 3)$ .

$\frac{(x + 3) (4 x - 5)}{(x + 1) {(x + 3)}^{2} (x - 2)}$

خطوة 6.21.2

أخرِج العامل $x + 3$ من $(x + 1) {(x + 3)}^{2} (x - 2)$ .

$\frac{(x + 3) (4 x - 5)}{(x + 3) (((x + 1) (x + 3)) (x - 2))}$

خطوة 6.21.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x + 3) (4 x - 5)}{(x + 3) (((x + 1) (x + 3)) (x - 2))}$

خطوة 6.21.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4 x - 5}{((x + 1) (x + 3)) (x - 2)}$