الجبر الأمثلة

$y + \frac{y^{2} - 5}{y^{2} - 1} = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1}$

خطوة 1

حلّل كل حد إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$y + \frac{y^{2} - 5}{y^{2} - 1^{2}} = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1}$

خطوة 1.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = y$ و $b = 1$ .

$y + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1}$

خطوة 2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$1, (y + 1) (y - 1), y + 1$

خطوة 2.2

المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد موجب يمكن قسمته على جميع الأعداد بالتساوي.

1. اكتب قائمة العوامل الأساسية لكل عدد.

2. اضرب كل عامل في أكبر عدد من مرات ظهوره في أي رقم.

خطوة 2.3

العدد $1$ ليس عددًا أوليًا لأن له عامل موجب واحد فقط، وهو العدد نفسه.

ليس أوليًا

خطوة 2.4

المضاعف المشترك الأصغر لـ $1, 1, 1$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من العددين.

$1$

خطوة 2.5

عامل $y + 1$ هو $y + 1$ نفسها.

$(y + 1) = y + 1$

تحدث $(y + 1)$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 2.6

عامل $y - 1$ هو $y - 1$ نفسها.

$(y - 1) = y - 1$

تحدث $(y - 1)$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 2.7

عامل $y + 1$ هو $y + 1$ نفسها.

$(y + 1) = y + 1$

تحدث $(y + 1)$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 2.8

المضاعف المشترك الأصغر لـ $y + 1, y - 1, y + 1$ هو حاصل ضرب كل العوامل في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من الحدين.

$(y + 1) (y - 1)$

خطوة 3

اضرب كل حد في $y + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1}$ في $(y + 1) (y - 1)$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $y + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1}$ في $(y + 1) (y - 1)$ .

$y ((y + 1) (y - 1)) + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

وسّع $(y + 1) (y - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y (y (y - 1) + 1 (y - 1)) + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

خطوة 3.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y (y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1)) + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

خطوة 3.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y (y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1) + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

خطوة 3.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1.1

اضرب $y$ في $y$ .

$y (y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1) + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

خطوة 3.2.1.2.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $y$ .

$y (y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1) + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

خطوة 3.2.1.2.1.3

أعِد كتابة $- 1 y$ بالصيغة $- y$ .

$y (y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1) + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

خطوة 3.2.1.2.1.4

اضرب $y$ في $1$ .

$y (y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1) + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

خطوة 3.2.1.2.1.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$y (y^{2} - y + y - 1) + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

خطوة 3.2.1.2.2

أضف $- y$ و $y$ .

$y (y^{2} + 0 - 1) + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

خطوة 3.2.1.2.3

أضف $y^{2}$ و $0$ .

$y (y^{2} - 1) + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

خطوة 3.2.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y \cdot y^{2} + y \cdot - 1 + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

خطوة 3.2.1.4

اضرب $y$ في $y^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.4.1

اضرب $y$ في $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.4.1.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$y^{1} y^{2} + y \cdot - 1 + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

خطوة 3.2.1.4.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y^{1 + 2} + y \cdot - 1 + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

خطوة 3.2.1.4.2

أضف $1$ و $2$ .

$y^{3} + y \cdot - 1 + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

خطوة 3.2.1.5

انقُل $- 1$ إلى يسار $y$ .

$y^{3} - 1 \cdot y + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

خطوة 3.2.1.6

أعِد كتابة $- 1 y$ بالصيغة $- y$ .

$y^{3} - y + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

خطوة 3.2.1.7

ألغِ العامل المشترك لـ $(y + 1) (y - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{3} - y + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

خطوة 3.2.1.7.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

خطوة 3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

خطوة 3.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = (y^{2} + y + 2) (y - 1)$

خطوة 3.3.2

وسّع $(y^{2} + y + 2) (y - 1)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{2} y + y^{2} \cdot - 1 + y \cdot y + y \cdot - 1 + 2 y + 2 \cdot - 1$

خطوة 3.3.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.1

اضرب $y^{2}$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.1.1

اضرب $y^{2}$ في $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.1.1.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{2} y^{1} + y^{2} \cdot - 1 + y \cdot y + y \cdot - 1 + 2 y + 2 \cdot - 1$

خطوة 3.3.3.1.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{2 + 1} + y^{2} \cdot - 1 + y \cdot y + y \cdot - 1 + 2 y + 2 \cdot - 1$

خطوة 3.3.3.1.1.2

أضف $2$ و $1$ .

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{3} + y^{2} \cdot - 1 + y \cdot y + y \cdot - 1 + 2 y + 2 \cdot - 1$

خطوة 3.3.3.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $y^{2}$ .

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{3} - 1 \cdot y^{2} + y \cdot y + y \cdot - 1 + 2 y + 2 \cdot - 1$

خطوة 3.3.3.1.3

أعِد كتابة $- 1 y^{2}$ بالصيغة $- y^{2}$ .

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{3} - y^{2} + y \cdot y + y \cdot - 1 + 2 y + 2 \cdot - 1$

خطوة 3.3.3.1.4

اضرب $y$ في $y$ .

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{3} - y^{2} + y^{2} + y \cdot - 1 + 2 y + 2 \cdot - 1$

خطوة 3.3.3.1.5

انقُل $- 1$ إلى يسار $y$ .

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{3} - y^{2} + y^{2} - 1 \cdot y + 2 y + 2 \cdot - 1$

خطوة 3.3.3.1.6

أعِد كتابة $- 1 y$ بالصيغة $- y$ .

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{3} - y^{2} + y^{2} - y + 2 y + 2 \cdot - 1$

خطوة 3.3.3.1.7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{3} - y^{2} + y^{2} - y + 2 y - 2$

خطوة 3.3.3.2

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $y^{3} - y^{2} + y^{2} - y + 2 y - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.1.1

أضف $- y^{2}$ و $y^{2}$ .

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{3} + 0 - y + 2 y - 2$

خطوة 3.3.3.2.1.2

أضف $y^{3}$ و $0$ .

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{3} - y + 2 y - 2$

خطوة 3.3.3.2.2

أضف $- y$ و $2 y$ .

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{3} + y - 2$

خطوة 4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اطرح $y^{3}$ من كلا المتعادلين.

$y^{3} - y + y^{2} - 5 - y^{3} = y - 2$

خطوة 4.1.2

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$y^{3} - y + y^{2} - 5 - y^{3} - y = - 2$

خطوة 4.1.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $y^{3} - y + y^{2} - 5 - y^{3} - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

اطرح $y^{3}$ من $y^{3}$ .

$- y + y^{2} - 5 + 0 - y = - 2$

خطوة 4.1.3.2

أضف $- y + y^{2} - 5$ و $0$ .

$- y + y^{2} - 5 - y = - 2$

خطوة 4.1.4

اطرح $y$ من $- y$ .

$- 2 y + y^{2} - 5 = - 2$

خطوة 4.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$- 2 y + y^{2} - 5 + 2 = 0$

خطوة 4.3

أضف $- 5$ و $2$ .

$- 2 y + y^{2} - 3 = 0$

خطوة 4.4

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

لنفترض أن $u = y$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $y$ .

$- 2 u + u^{2} - 3 = 0$

خطوة 4.4.2

حلّل $- 2 u + u^{2} - 3$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 3$ ومجموعهما $- 2$ .

$- 3, 1$

خطوة 4.4.2.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(u - 3) (u + 1) = 0$

خطوة 4.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$(y - 3) (y + 1) = 0$

خطوة 4.5

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$y - 3 = 0$

$y + 1 = 0$

خطوة 4.6

عيّن قيمة العبارة $y - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

عيّن قيمة $y - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$y - 3 = 0$

خطوة 4.6.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$y = 3$

خطوة 4.7

عيّن قيمة العبارة $y + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

عيّن قيمة $y + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$y + 1 = 0$

خطوة 4.7.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$y = - 1$

خطوة 4.8

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(y - 3) (y + 1) = 0$ صحيحة.

$y = 3, - 1$

خطوة 5

استبعِد الحلول التي لا تجعل $y + \frac{y^{2} - 5}{y^{2} - 1} = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1}$ صحيحة.

$y = 3$