الجبر الأمثلة

$g (n) = - (3 n - 1) (2 n + 1)$

خطوة 1

أوجِد خصائص القطع المكافئ المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة المعادلة بصيغة الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أكمل المربع لـ $- (3 x - 1) (2 x + 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(- (3 x) - - 1) (2 x + 1)$

خطوة 1.1.1.1.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$(- 3 x - - 1) (2 x + 1)$

خطوة 1.1.1.1.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$(- 3 x + 1) (2 x + 1)$

خطوة 1.1.1.1.4

وسّع $(- 3 x + 1) (2 x + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- 3 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)$

خطوة 1.1.1.1.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- 3 x (2 x) - 3 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1)$

خطوة 1.1.1.1.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- 3 x (2 x) - 3 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

خطوة 1.1.1.1.5

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1.5.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- 3 \cdot 2 x \cdot x - 3 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

خطوة 1.1.1.1.5.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1.5.1.2.1

انقُل $x$ .

$- 3 \cdot 2 (x \cdot x) - 3 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

خطوة 1.1.1.1.5.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$- 3 \cdot 2 x^{2} - 3 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

خطوة 1.1.1.1.5.1.3

اضرب $- 3$ في $2$ .

$- 6 x^{2} - 3 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

خطوة 1.1.1.1.5.1.4

اضرب $- 3$ في $1$ .

$- 6 x^{2} - 3 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

خطوة 1.1.1.1.5.1.5

اضرب $2 x$ في $1$ .

$- 6 x^{2} - 3 x + 2 x + 1 \cdot 1$

خطوة 1.1.1.1.5.1.6

اضرب $1$ في $1$ .

$- 6 x^{2} - 3 x + 2 x + 1$

خطوة 1.1.1.1.5.2

أضف $- 3 x$ و $2 x$ .

$- 6 x^{2} - x + 1$

خطوة 1.1.1.2

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = - 6$

$b = - 1$

$c = 1$

خطوة 1.1.1.3

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.1.1.4

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 \cdot - 6}$

خطوة 1.1.1.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.2.1

اضرب $2$ في $- 6$ .

$d = \frac{- 1}{- 12}$

خطوة 1.1.1.4.2.2

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$d = \frac{1}{12}$

خطوة 1.1.1.5

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot - 6}$

خطوة 1.1.1.5.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.2.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$e = 1 - \frac{1}{4 \cdot - 6}$

خطوة 1.1.1.5.2.1.2

اضرب $4$ في $- 6$ .

$e = 1 - \frac{1}{- 24}$

خطوة 1.1.1.5.2.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$e = 1 - - \frac{1}{24}$

خطوة 1.1.1.5.2.1.4

اضرب $- - \frac{1}{24}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.2.1.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$e = 1 + 1 (\frac{1}{24})$

خطوة 1.1.1.5.2.1.4.2

اضرب $\frac{1}{24}$ في $1$ .

$e = 1 + \frac{1}{24}$

خطوة 1.1.1.5.2.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$e = \frac{24}{24} + \frac{1}{24}$

خطوة 1.1.1.5.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$e = \frac{24 + 1}{24}$

خطوة 1.1.1.5.2.4

أضف $24$ و $1$ .

$e = \frac{25}{24}$

خطوة 1.1.1.6

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $- 6 {(x + \frac{1}{12})}^{2} + \frac{25}{24}$ .

$- 6 {(x + \frac{1}{12})}^{2} + \frac{25}{24}$

خطوة 1.1.2

عيّن قيمة $y$ لتصبح مساوية للطرف الأيمن الجديد.

$y = - 6 {(x + \frac{1}{12})}^{2} + \frac{25}{24}$

خطوة 1.2

استخدِم صيغة الرأس، $y = a {(x - h)}^{2} + k$ ، لتحديد قيم $a$ و $h$ و $k$ .

$a = - 6$

$h = - \frac{1}{12}$

$k = \frac{25}{24}$

خطوة 1.3

بما أن قيمة $a$ سالبة، إذن القطع المكافئ مفتوح إلى أسفل.

مفتوح إلى أسفل

خطوة 1.4

أوجِد الرأس $(h, k)$ .

$(- \frac{1}{12}, \frac{25}{24})$

خطوة 1.5

أوجِد $p$ ، المسافة من الرأس إلى البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أوجِد المسافة من الرأس إلى بؤرة القطع المكافئ باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{1}{4 a}$

خطوة 1.5.2

عوّض بقيمة $a$ في القاعدة.

$\frac{1}{4 \cdot - 6}$

خطوة 1.5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

اضرب $4$ في $- 6$ .

$\frac{1}{- 24}$

خطوة 1.5.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{24}$

خطوة 1.6

أوجِد البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

يمكن إيجاد بؤرة القطع المكافئ بجمع $p$ مع الإحداثي الصادي $k$ إذا كان القطع المكافئ مفتوحًا إلى أعلى أو إلى أسفل.

$(h, k + p)$

خطوة 1.6.2

عوّض بقيم $h$ و $p$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(- \frac{1}{12}, 1)$

خطوة 1.7

أوجِد محور التناظر بإيجاد الخط الذي يمر عبر الرأس والبؤرة.

$x = - \frac{1}{12}$

خطوة 1.8

أوجِد الدليل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

دليل القطع المكافئ هو الخط الأفقي الذي يمكن إيجاده بطرح $p$ من الإحداثي الصادي $k$ للرأس إذا كان القطع المكافئ مفتوح إلى أعلى أو إلى أسفل.

$y = k - p$

خطوة 1.8.2

عوّض بقيمتَي $p$ و $k$ المعروفتين في القاعدة وبسّط.

$y = \frac{13}{12}$

خطوة 1.9

استخدِم خصائص القطع المكافئ لتحليل القطع المكافئ وتمثيله بيانيًا.

الاتجاه: مفتوح للأسفل

الرأس: $(- \frac{1}{12}, \frac{25}{24})$

البؤرة: $(- \frac{1}{12}, 1)$

محور التناظر: $x = - \frac{1}{12}$

الدليل: $y = \frac{13}{12}$

الاتجاه: مفتوح للأسفل

الرأس: $(- \frac{1}{12}, \frac{25}{24})$

البؤرة: $(- \frac{1}{12}, 1)$

محور التناظر: $x = - \frac{1}{12}$

الدليل: $y = \frac{13}{12}$

خطوة 2

حدد بعض قيم $x$ ، وعوّض بها في المعادلة لإيجاد قيم $y$ المناظرة. يجب تحديد قيم $x$ حول الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f (- 1) = - (3 (- 1) - 1) (2 (- 1) + 1)$

خطوة 2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

$f (- 1) = - (- 3 - 1) (2 (- 1) + 1)$

خطوة 2.2.2

اطرح $1$ من $- 3$ .

$f (- 1) = 4 (2 (- 1) + 1)$

خطوة 2.2.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f (- 1) = 4 (- 2 + 1)$

خطوة 2.2.4

أضف $- 2$ و $1$ .

$f (- 1) = 4 \cdot - 1$

خطوة 2.2.5

اضرب $4$ في $- 1$ .

$f (- 1) = - 4$

خطوة 2.2.6

الإجابة النهائية هي $- 4$ .

$- 4$

خطوة 2.3

قيمة $y$ عند $x = - 1$ تساوي $- 4$ .

$y = - 4$

خطوة 2.4

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f (- 2) = - (3 (- 2) - 1) (2 (- 2) + 1)$

خطوة 2.5

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اضرب $3$ في $- 2$ .

$f (- 2) = - (- 6 - 1) (2 (- 2) + 1)$

خطوة 2.5.2

اطرح $1$ من $- 6$ .

$f (- 2) = 7 (2 (- 2) + 1)$

خطوة 2.5.3

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f (- 2) = 7 (- 4 + 1)$

خطوة 2.5.4

أضف $- 4$ و $1$ .

$f (- 2) = 7 \cdot - 3$

خطوة 2.5.5

اضرب $7$ في $- 3$ .

$f (- 2) = - 21$

خطوة 2.5.6

الإجابة النهائية هي $- 21$ .

$- 21$

خطوة 2.6

قيمة $y$ عند $x = - 2$ تساوي $- 21$ .

$y = - 21$

خطوة 2.7

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = - (3 (1) - 1) (2 (1) + 1)$

خطوة 2.8

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

اضرب $3$ في $1$ .

$f (1) = - (3 - 1) (2 (1) + 1)$

خطوة 2.8.2

اطرح $1$ من $3$ .

$f (1) = - 1 \cdot (2 (2 (1) + 1))$

خطوة 2.8.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f (1) = - 2 (2 (1) + 1)$

خطوة 2.8.4

اضرب $2$ في $1$ .

$f (1) = - 2 (2 + 1)$

خطوة 2.8.5

أضف $2$ و $1$ .

$f (1) = - 2 \cdot 3$

خطوة 2.8.6

اضرب $- 2$ في $3$ .

$f (1) = - 6$

خطوة 2.8.7

الإجابة النهائية هي $- 6$ .

$- 6$

خطوة 2.9

قيمة $y$ عند $x = 1$ تساوي $- 6$ .

$y = - 6$

خطوة 2.10

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f (2) = - (3 (2) - 1) (2 (2) + 1)$

خطوة 2.11

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1

اضرب $3$ في $2$ .

$f (2) = - (6 - 1) (2 (2) + 1)$

خطوة 2.11.2

اطرح $1$ من $6$ .

$f (2) = - 1 \cdot (5 (2 (2) + 1))$

خطوة 2.11.3

اضرب $- 1$ في $5$ .

$f (2) = - 5 (2 (2) + 1)$

خطوة 2.11.4

اضرب $2$ في $2$ .

$f (2) = - 5 (4 + 1)$

خطوة 2.11.5

أضف $4$ و $1$ .

$f (2) = - 5 \cdot 5$

خطوة 2.11.6

اضرب $- 5$ في $5$ .

$f (2) = - 25$

خطوة 2.11.7

الإجابة النهائية هي $- 25$ .

$- 25$

خطوة 2.12

قيمة $y$ عند $x = 2$ تساوي $- 25$ .

$y = - 25$

خطوة 2.13

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 21 \\ - 1 & - 4 \\ - \frac{1}{12} & \frac{25}{24} \\ 1 & - 6 \\ 2 & - 25 \end{array}$

خطوة 3

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

الاتجاه: مفتوح للأسفل

الرأس: $(- \frac{1}{12}, \frac{25}{24})$

البؤرة: $(- \frac{1}{12}, 1)$

محور التناظر: $x = - \frac{1}{12}$

الدليل: $y = \frac{13}{12}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 21 \\ - 1 & - 4 \\ - \frac{1}{12} & \frac{25}{24} \\ 1 & - 6 \\ 2 & - 25 \end{array}$

خطوة 4