الجبر الأمثلة

$f (x) = \arcsin (\cos (x))$

خطوة 1

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\arcsin (\cos (x))$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $- 1$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$\cos (x) \geq - 1$

خطوة 2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x \geq \arccos (- 1)$

خطوة 2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (- 1)$ هي $π$ .

$x \geq π$

خطوة 2.3

دالة جيب التمام سالبة في الربعين الثاني والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 π - π$

خطوة 2.4

اطرح $π$ من $2 π$ .

$x = π$

خطوة 2.5

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 2.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 2.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 2.6

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.7

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$π < x < 3 π$

خطوة 2.8

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

اختبر قيمة في الفترة $π < x < 3 π$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1.1

اختر قيمة من الفترة $π < x < 3 π$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 6$

خطوة 2.8.1.2

استبدِل $x$ بـ $6$ في المتباينة الأصلية.

$\cos (6) \geq - 1$

خطوة 2.8.1.3

الطرف الأيسر $0.96017028$ أكبر من الطرف الأيمن $- 1$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

صائب

خطوة 2.8.2

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$π < x < 3 π$ صحيحة

خطوة 2.9

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$π + 2 π n \leq x \leq 3 π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\arcsin (\cos (x))$ بحيث تصبح أصغر من أو تساوي $1$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$\cos (x) \leq 1$

خطوة 4

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x \leq \arccos (1)$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (1)$ هي $0$ .

$x \leq 0$

خطوة 4.3

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 π - 0$

خطوة 4.4

اطرح $0$ من $2 π$ .

$x = 2 π$

خطوة 4.5

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 4.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 4.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 4.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 4.6

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4.7

وحّد الإجابات.

$x = 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4.8

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$0 < x < 2 π$

خطوة 4.9

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.1

اختبر قيمة في الفترة $0 < x < 2 π$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.1.1

اختر قيمة من الفترة $0 < x < 2 π$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 3$

خطوة 4.9.1.2

استبدِل $x$ بـ $3$ في المتباينة الأصلية.

$\cos (3) \leq 1$

خطوة 4.9.1.3

الطرف الأيسر $- 0.98999249$ أصغر من الطرف الأيمن $1$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

صائب

خطوة 4.9.2

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$0 < x < 2 π$ صحيحة

خطوة 4.10

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$0 + 2 π n \leq x \leq 2 π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز بناء المجموعات:

${x | x = π + 2 π n, x = 3 π + 2 π n, x = 0 + 2 π n, x = 2 π + 2 π n}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

ترميز بناء المجموعات:

${y | - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}}$

خطوة 7

حدد النطاق والمدى.

النطاق: ${x | x = π + 2 π n, x = 3 π + 2 π n, x = 0 + 2 π n, x = 2 π + 2 π n}$ ، لأي عدد صحيح $n$

المدى: $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}], {y | - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}}$

خطوة 8