الجبر الأمثلة

$f (x) = \arcsin (\sin (x))$

خطوة 1

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\arcsin (\sin (x))$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $- 1$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$\sin (x) \geq - 1$

خطوة 2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x \geq \arcsin (- 1)$

خطوة 2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (- 1)$ هي $- \frac{π}{2}$ .

$x \geq - \frac{π}{2}$

خطوة 2.3

دالة الجيب سالبة في الربعين الثالث والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح الحل من $2 π$ ، لإيجاد زاوية المرجع. وبعد ذلك، اجمع زاوية المرجع المذكورة مع $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

خطوة 2.4

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

اطرح $2 π$ من $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

خطوة 2.4.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{3 π}{2}$ موجبة وأصغر من $2 π$ ومشتركة النهاية مع $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 2.5

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 2.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 2.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 2.6

اجمع $2 π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

اجمع $2 π$ مع $- \frac{π}{2}$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

خطوة 2.6.2

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 2.6.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.3.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 2.6.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 2.6.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.4.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

خطوة 2.6.4.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

خطوة 2.6.5

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 2.7

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.8

وحّد الإجابات.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.9

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$

خطوة 2.10

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.1

اختبر قيمة في الفترة $\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.1.1

اختر قيمة من الفترة $\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 8$

خطوة 2.10.1.2

استبدِل $x$ بـ $8$ في المتباينة الأصلية.

$\sin (8) \geq - 1$

خطوة 2.10.1.3

الطرف الأيسر $0.98935824$ أكبر من الطرف الأيمن $- 1$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

صائب

خطوة 2.10.2

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ صحيحة

خطوة 2.11

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$\frac{3 π}{2} + 2 π n \leq x \leq \frac{7 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\arcsin (\sin (x))$ بحيث تصبح أصغر من أو تساوي $1$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$\sin (x) \leq 1$

خطوة 4

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x \leq \arcsin (1)$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (1)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$x \leq \frac{π}{2}$

خطوة 4.3

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = π - \frac{π}{2}$

خطوة 4.4

بسّط $π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 4.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

اجمع $π$ و $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 4.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 4.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.3.1

انقُل $2$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

خطوة 4.4.3.2

اطرح $π$ من $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 4.5

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 4.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 4.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 4.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 4.6

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4.7

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$

خطوة 4.8

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

اختبر قيمة في الفترة $\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1.1

اختر قيمة من الفترة $\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 5$

خطوة 4.8.1.2

استبدِل $x$ بـ $5$ في المتباينة الأصلية.

$\sin (5) \leq 1$

خطوة 4.8.1.3

الطرف الأيسر $- 0.95892427$ أصغر من الطرف الأيمن $1$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

صائب

خطوة 4.8.2

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ صحيحة

خطوة 4.9

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$\frac{π}{2} + 2 π n \leq x \leq \frac{5 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز بناء المجموعات:

${x | x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, x = \frac{7 π}{2} + 2 π n, x = \frac{π}{2} + 2 π n, x = \frac{5 π}{2} + 2 π n}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

ترميز بناء المجموعات:

${y | - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}}$

خطوة 7

حدد النطاق والمدى.

النطاق: ${x | x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, x = \frac{7 π}{2} + 2 π n, x = \frac{π}{2} + 2 π n, x = \frac{5 π}{2} + 2 π n}$ ، لأي عدد صحيح $n$

المدى: $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}], {y | - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}}$

خطوة 8