الجبر الأمثلة

$f (x) = \sqrt[3]{5^{x}} + 9$

خطوة 1

اكتب $f (x) = \sqrt[3]{5^{x}} + 9$ في صورة معادلة.

$y = \sqrt[3]{5^{x}} + 9$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = \sqrt[3]{5^{y}} + 9$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\sqrt[3]{5^{y}} + 9 = x$ .

$\sqrt[3]{5^{y}} + 9 = x$

خطوة 3.2

اطرح $9$ من كلا المتعادلين.

$\sqrt[3]{5^{y}} = x - 9$

خطوة 3.3

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، كعِّب كلا المتعادلين.

${\sqrt[3]{5^{y}}}^{3} = {(x - 9)}^{3}$

خطوة 3.4

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{5^{y}}$ في صورة $5^{\frac{y}{3}}$ .

${(5^{\frac{y}{3}})}^{3} = {(x - 9)}^{3}$

خطوة 3.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اضرب الأُسس في ${(5^{\frac{y}{3}})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5^{\frac{y}{3} \cdot 3} = {(x - 9)}^{3}$

خطوة 3.4.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$5^{\frac{y}{3} \cdot 3} = {(x - 9)}^{3}$

خطوة 3.4.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$5^{y} = {(x - 9)}^{3}$

خطوة 3.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

بسّط ${(x - 9)}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1.1

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$5^{y} = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 9 + 3 x {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3}$

خطوة 3.4.3.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1.2.1

اضرب $- 9$ في $3$ .

$5^{y} = x^{3} - 27 x^{2} + 3 x {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3}$

خطوة 3.4.3.1.2.2

ارفع $- 9$ إلى القوة $2$ .

$5^{y} = x^{3} - 27 x^{2} + 3 x \cdot 81 + {(- 9)}^{3}$

خطوة 3.4.3.1.2.3

اضرب $81$ في $3$ .

$5^{y} = x^{3} - 27 x^{2} + 243 x + {(- 9)}^{3}$

خطوة 3.4.3.1.2.4

ارفع $- 9$ إلى القوة $3$ .

$5^{y} = x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (5^{y}) = \ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)$

خطوة 3.5.2

وسّع $\ln (5^{y})$ بنقل $y$ خارج اللوغاريتم.

$y \ln (5) = \ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)$

خطوة 3.5.3

اقسِم كل حد في $y \ln (5) = \ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)$ على $\ln (5)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

اقسِم كل حد في $y \ln (5) = \ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)$ على $\ln (5)$ .

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$

خطوة 3.5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$

خطوة 3.5.3.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$ هي معكوس $f (x) = \sqrt[3]{5^{x}} + 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\sqrt[3]{5^{x}} + 9)$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{5^{x}} + 9) = \frac{\ln ({(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{3} - 27 {(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{2} + 243 (\sqrt[3]{5^{x}} + 9) - 729)}{\ln (5)}$

خطوة 5.2.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{5^{x}} + 9) = \frac{\ln ({(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{3} - 27 {(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{2} + 243 \sqrt[3]{5^{x}} + 243 \cdot 9 - 729)}{\ln (5)}$

خطوة 5.2.3.1.2

اضرب $243$ في $9$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{5^{x}} + 9) = \frac{\ln ({(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{3} - 27 {(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{2} + 243 \sqrt[3]{5^{x}} + 2187 - 729)}{\ln (5)}$

خطوة 5.2.3.2

اطرح $729$ من $2187$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{5^{x}} + 9) = \frac{\ln ({(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{3} - 27 {(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{2} + 243 \sqrt[3]{5^{x}} + 1458)}{\ln (5)}$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = \sqrt[3]{5^{\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}}} + 9$

خطوة 5.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

استخدِم قاعدة تغيير الأساس $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = \sqrt[3]{5^{\log_{5} (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}} + 9$

خطوة 5.3.3.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = \sqrt[3]{x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729} + 9$

خطوة 5.3.3.3

اجعل كل حد مطابقًا للحدود من قاعدة مبرهنة ذات الحدين.

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = \sqrt[3]{x^{3} - 3 \cdot (9 x^{2}) + 3 \cdot (9^{2} x) - 1 \cdot 9^{3}} + 9$

خطوة 5.3.3.4

حلّل $x^{3} - 3 \cdot 9 x^{2} + 3 \cdot 9^{2} x - 1 \cdot 9^{3}$ إلى عوامل باستخدام مبرهنة ذات الحدين.

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = \sqrt[3]{{(x - 9)}^{3}} + 9$

خطوة 5.3.3.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = x - 9 + 9$

خطوة 5.3.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $x - 9 + 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

أضف $- 9$ و $9$ .

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = x + 0$

خطوة 5.3.4.2

أضف $x$ و $0$ .

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$ هي معكوس $f (x) = \sqrt[3]{5^{x}} + 9$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$