الجبر الأمثلة

$x^{4} - x^{2} + 2 x + 2$

خطوة 1

أعِد تجميع الحدود.

$x^{4} - x^{2} + 2 x + 2$

خطوة 2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{4} - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - x^{2} + 2 x + 2$

خطوة 2.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $- x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2$

خطوة 2.3

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$ .

$x^{2} (x^{2} - 1) + 2 x + 2$

خطوة 3

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 1^{2}) + 2 x + 2$

خطوة 4

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$x^{2} ((x + 1) (x - 1)) + 2 x + 2$

خطوة 4.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 2 x + 2$

خطوة 5

أخرِج العامل $2$ من $2 x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 2 (x) + 2$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 2 (x) + 2 (1)$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (x) + 2 (1)$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 2 (x + 1)$

خطوة 6

أخرِج العامل $x + 1$ من $x^{2} (x + 1) (x - 1) + 2 (x + 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أخرِج العامل $x + 1$ من $x^{2} (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + 2 (x + 1)$

خطوة 6.2

أخرِج العامل $x + 1$ من $2 (x + 1)$ .

$(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + (x + 1) \cdot 2$

خطوة 6.3

أخرِج العامل $x + 1$ من $(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + (x + 1) \cdot 2$ .

$(x + 1) (x^{2} (x - 1) + 2)$

خطوة 7

طبّق خاصية التوزيع.

$(x + 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + 2)$

خطوة 8

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$(x + 1) (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 1 + 2)$

خطوة 8.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(x + 1) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1 + 2)$

خطوة 8.2

أضف $2$ و $1$ .

$(x + 1) (x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + 2)$

خطوة 9

انقُل $- 1$ إلى يسار $x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{3} - 1 x^{2} + 2)$

خطوة 10

أعِد كتابة $- 1 x^{2}$ بالصيغة $- x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} + 2)$

خطوة 11

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

حلّل $x^{3} - x^{2} + 2$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

خطوة 11.1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 2$

خطوة 11.1.3

عوّض بـ $- 1$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $- 1$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.3.1

عوّض بـ $- 1$ في متعدد الحدود.

${(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} + 2$

خطوة 11.1.3.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$- 1 - {(- 1)}^{2} + 2$

خطوة 11.1.3.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$- 1 - 1 \cdot 1 + 2$

خطوة 11.1.3.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1 - 1 + 2$

خطوة 11.1.3.5

اطرح $1$ من $- 1$ .

$- 2 + 2$

خطوة 11.1.3.6

أضف $- 2$ و $2$ .

$0$

خطوة 11.1.4

بما أن $- 1$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $x + 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{3} - x^{2} + 2}{x + 1}$

خطوة 11.1.5

اقسِم $x^{3} - x^{2} + 2$ على $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

خطوة 11.1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$

خطوة 11.1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

خطوة 11.1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

خطوة 11.1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

خطوة 11.1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

خطوة 11.1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 2 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

خطوة 11.1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$2 x$

خطوة 11.1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 2 x^{2} - 2 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$

خطوة 11.1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$

خطوة 11.1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$

خطوة 11.1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $2 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$

خطوة 11.1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

خطوة 11.1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $2 x + 2$

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

خطوة 11.1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$
										$0$

خطوة 11.1.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$x^{2} - 2 x + 2$

خطوة 11.1.6

اكتب $x^{3} - x^{2} + 2$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(x + 1) ((x + 1) (x^{2} - 2 x + 2))$

خطوة 11.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(x + 1) (x + 1) (x^{2} - 2 x + 2)$

خطوة 12

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

ارفع $x + 1$ إلى القوة $1$ .

${(x + 1)}^{1} (x + 1) (x^{2} - 2 x + 2)$

خطوة 12.2

ارفع $x + 1$ إلى القوة $1$ .

${(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1} (x^{2} - 2 x + 2)$

خطوة 12.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

${(x + 1)}^{1 + 1} (x^{2} - 2 x + 2)$

خطوة 12.4

أضف $1$ و $1$ .

${(x + 1)}^{2} (x^{2} - 2 x + 2)$