الجبر الأمثلة

$\tan (θ) < 0$ , $\cos (θ) < 0$

خطوة 1

أوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل المماس.

$θ < \arctan (0)$

خطوة 1.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (0)$ هي $0$ .

$θ < 0$

خطوة 1.3

دالة المماس موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، أضِف زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$θ = π + 0$

خطوة 1.4

أضف $π$ و $0$ .

$θ = π$

خطوة 1.5

أوجِد فترة $\tan (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 1.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 1.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 1.5.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 1.6

فترة دالة $\tan (θ)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$θ = π n, π + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 1.7

وحّد الإجابات.

$θ = π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 1.8

أوجِد نطاق $\tan (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\tan (θ)$ بحيث تصبح مساوية لـ $\frac{π}{2} + π n$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$θ = \frac{π}{2} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 1.8.2

النطاق هو جميع قيم $θ$ التي تجعل العبارة معرّفة.

${θ | θ \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 1.9

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$0 < θ < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < θ < π$

خطوة 1.10

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.10.1

اختبر قيمة في الفترة $0 < θ < \frac{π}{2}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.10.1.1

اختر قيمة من الفترة $0 < θ < \frac{π}{2}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$θ = 1$

خطوة 1.10.1.2

استبدِل $θ$ بـ $1$ في المتباينة الأصلية.

$\tan (1) < 0$

خطوة 1.10.1.3

الطرف الأيسر $1.55740772$ ليس أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

خطأ

خطوة 1.10.2

اختبر قيمة في الفترة $\frac{π}{2} < θ < π$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.10.2.1

اختر قيمة من الفترة $\frac{π}{2} < θ < π$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$θ = 2$

خطوة 1.10.2.2

استبدِل $θ$ بـ $2$ في المتباينة الأصلية.

$\tan (2) < 0$

خطوة 1.10.2.3

الطرف الأيسر $- 2.18503986$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

صائب

خطوة 1.10.3

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$0 < θ < \frac{π}{2}$ خطأ

$\frac{π}{2} < θ < π$ صحيحة

$0 < θ < \frac{π}{2}$ خطأ

$\frac{π}{2} < θ < π$ صحيحة

خطوة 1.11

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$\frac{π}{2} + π n < θ < π + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2

أوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل جيب التمام.

$θ < \arccos (0)$

خطوة 2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$θ < \frac{π}{2}$

خطوة 2.3

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$θ = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 2.4

بسّط $2 π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 2.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 2.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 2.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$θ = \frac{4 π - π}{2}$

خطوة 2.4.3.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

خطوة 2.5

أوجِد فترة $\cos (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 2.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 2.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 2.6

فترة دالة $\cos (θ)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.7

وحّد الإجابات.

$θ = \frac{π}{2} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.8

النطاق هو جميع قيم $θ$ التي تجعل العبارة معرّفة.

${θ | θ \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.9

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$

خطوة 2.10

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.1

اختبر قيمة في الفترة $\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.1.1

اختر قيمة من الفترة $\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$θ = 3$

خطوة 2.10.1.2

استبدِل $θ$ بـ $3$ في المتباينة الأصلية.

$\tan (3) < 0$

خطوة 2.10.1.3

الطرف الأيسر $- 0.14254654$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

صائب

خطوة 2.10.2

اختبر قيمة في الفترة $\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.2.1

اختر قيمة من الفترة $\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$θ = 6$

خطوة 2.10.2.2

استبدِل $θ$ بـ $6$ في المتباينة الأصلية.

$\tan (6) < 0$

خطوة 2.10.2.3

الطرف الأيسر $- 0.29100619$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

صائب

خطوة 2.10.3

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ صحيحة

$\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ صحيحة

$\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ صحيحة

$\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ صحيحة

خطوة 2.11

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$\frac{π}{2} + 2 π n < θ < \frac{3 π}{2} + 2 π n$ أو $\frac{3 π}{2} + 2 π n < θ < \frac{5 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3

عيّن النقاط على كل رسم بياني على نفس نظام الإحداثيات.

$\tan (θ) < 0$

$\cos (θ) < 0$

خطوة 4