الجبر الأمثلة

$f (x) = x^{4} - x^{3} - 21 x^{2} + x + 20$

خطوة 1

أوجِد نقاط التقاطع مع المحور السيني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لإيجاد نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور السيني، عوّض بـ $0$ عن $y$ وأوجِد قيمة $x$ .

$0 = x^{4} - x^{3} - 21 x^{2} + x + 20$

خطوة 1.2

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x^{4} - x^{3} - 21 x^{2} + x + 20 = 0$ .

$x^{4} - x^{3} - 21 x^{2} + x + 20 = 0$

خطوة 1.2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أخرِج العامل $x^{3}$ من $x^{4} - x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1

أخرِج العامل $x^{3}$ من $x^{4}$ .

$x^{3} x - x^{3} - 21 x^{2} + x + 20 = 0$

خطوة 1.2.2.1.2

أخرِج العامل $x^{3}$ من $- x^{3}$ .

$x^{3} x + x^{3} \cdot - 1 - 21 x^{2} + x + 20 = 0$

خطوة 1.2.2.1.3

أخرِج العامل $x^{3}$ من $x^{3} x + x^{3} \cdot - 1$ .

$x^{3} (x - 1) - 21 x^{2} + x + 20 = 0$

خطوة 1.2.2.2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = - 21 \cdot 20 = - 420$ ومجموعهما $b = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1.1

اضرب في $1$ .

$x^{3} (x - 1) - 21 x^{2} + 1 x + 20 = 0$

خطوة 1.2.2.2.1.2

أعِد كتابة $1$ في صورة $- 20$ زائد $21$

$x^{3} (x - 1) - 21 x^{2} + (- 20 + 21) x + 20 = 0$

خطوة 1.2.2.2.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{3} (x - 1) - 21 x^{2} - 20 x + 21 x + 20 = 0$

خطوة 1.2.2.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$x^{3} (x - 1) - 21 x^{2} - 20 x + 21 x + 20 = 0$

خطوة 1.2.2.2.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$x^{3} (x - 1) + x (- 21 x - 20) - (- 21 x - 20) = 0$

خطوة 1.2.2.2.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- 21 x - 20$ .

$x^{3} (x - 1) + (- 21 x - 20) (x - 1) = 0$

خطوة 1.2.2.3

أخرِج العامل $x - 1$ من $x^{3} (x - 1) + (- 21 x - 20) (x - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.1

أخرِج العامل $x - 1$ من $x^{3} (x - 1)$ .

$(x - 1) x^{3} + (- 21 x - 20) (x - 1) = 0$

خطوة 1.2.2.3.2

أخرِج العامل $x - 1$ من $(- 21 x - 20) (x - 1)$ .

$(x - 1) x^{3} + (x - 1) (- 21 x - 20) = 0$

خطوة 1.2.2.3.3

أخرِج العامل $x - 1$ من $(x - 1) x^{3} + (x - 1) (- 21 x - 20)$ .

$(x - 1) (x^{3} - 21 x - 20) = 0$

خطوة 1.2.2.4

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.4.1

أعِد كتابة $x^{3} - 21 x - 20$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.4.1.1

حلّل $x^{3} - 21 x - 20$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.4.1.1.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

خطوة 1.2.2.4.1.1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

خطوة 1.2.2.4.1.1.3

عوّض بـ $- 1$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $- 1$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.4.1.1.3.1

عوّض بـ $- 1$ في متعدد الحدود.

${(- 1)}^{3} - 21 \cdot - 1 - 20$

خطوة 1.2.2.4.1.1.3.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$- 1 - 21 \cdot - 1 - 20$

خطوة 1.2.2.4.1.1.3.3

اضرب $- 21$ في $- 1$ .

$- 1 + 21 - 20$

خطوة 1.2.2.4.1.1.3.4

أضف $- 1$ و $21$ .

$20 - 20$

خطوة 1.2.2.4.1.1.3.5

اطرح $20$ من $20$ .

$0$

خطوة 1.2.2.4.1.1.4

بما أن $- 1$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $x + 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{3} - 21 x - 20}{x + 1}$

خطوة 1.2.2.4.1.1.5

اقسِم $x^{3} - 21 x - 20$ على $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.4.1.1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$20$

خطوة 1.2.2.4.1.1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$

خطوة 1.2.2.4.1.1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

خطوة 1.2.2.4.1.1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

خطوة 1.2.2.4.1.1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

خطوة 1.2.2.4.1.1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$

خطوة 1.2.2.4.1.1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$

خطوة 1.2.2.4.1.1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

خطوة 1.2.2.4.1.1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- x^{2} - x$

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

خطوة 1.2.2.4.1.1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$

خطوة 1.2.2.4.1.1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$	-	$20$

خطوة 1.2.2.4.1.1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 20 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$	-	$20$

خطوة 1.2.2.4.1.1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$	-	$20$
							-	$20 x$	-	$20$

خطوة 1.2.2.4.1.1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 20 x - 20$

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$	-	$20$
							+	$20 x$	+	$20$

خطوة 1.2.2.4.1.1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$	-	$20$
							+	$20 x$	+	$20$
										$0$

خطوة 1.2.2.4.1.1.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$x^{2} - x - 20$

خطوة 1.2.2.4.1.1.6

اكتب $x^{3} - 21 x - 20$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(x - 1) ((x + 1) (x^{2} - x - 20)) = 0$

خطوة 1.2.2.4.1.2

حلّل $x^{2} - x - 20$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.4.1.2.1

حلّل $x^{2} - x - 20$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.4.1.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 20$ ومجموعهما $- 1$ .

$- 5, 4$

خطوة 1.2.2.4.1.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(x - 1) ((x + 1) ((x - 5) (x + 4))) = 0$

خطوة 1.2.2.4.1.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(x - 1) ((x + 1) (x - 5) (x + 4)) = 0$

خطوة 1.2.2.4.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(x - 1) (x + 1) (x - 5) (x + 4) = 0$

خطوة 1.2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

خطوة 1.2.4

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 1.2.4.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 1.2.5

عيّن قيمة العبارة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

عيّن قيمة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 1 = 0$

خطوة 1.2.5.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 1.2.6

عيّن قيمة العبارة $x - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

عيّن قيمة $x - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 5 = 0$

خطوة 1.2.6.2

أضف $5$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 5$

خطوة 1.2.7

عيّن قيمة العبارة $x + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1

عيّن قيمة $x + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 4 = 0$

خطوة 1.2.7.2

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$x = - 4$

خطوة 1.2.8

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x - 1) (x + 1) (x - 5) (x + 4) = 0$ صحيحة.

$x = 1, - 1, 5, - 4$

خطوة 1.3

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور السيني بصيغة النقطة.

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور السيني: $(1, 0), (- 1, 0), (5, 0), (- 4, 0)$

خطوة 2

أوجِد نقاط التقاطع مع المحور الصادي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لإيجاد نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور الصادي، عوّض بـ $0$ عن $x$ وأوجِد قيمة $y$ .

$y = {(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

خطوة 2.2

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

احذِف الأقواس.

$y = {(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

خطوة 2.2.2

احذِف الأقواس.

$y = 0^{4} - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

خطوة 2.2.3

احذِف الأقواس.

$y = 0^{4} - 0^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

خطوة 2.2.4

احذِف الأقواس.

$y = 0^{4} - 0^{3} - 21 \cdot 0^{2} + 0 + 20$

خطوة 2.2.5

احذِف الأقواس.

$y = {(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

خطوة 2.2.6

بسّط ${(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$y = 0 - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

خطوة 2.2.6.1.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$y = 0 - 0 - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

خطوة 2.2.6.1.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$y = 0 + 0 - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

خطوة 2.2.6.1.4

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$y = 0 + 0 - 21 \cdot 0 + 0 + 20$

خطوة 2.2.6.1.5

اضرب $- 21$ في $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 0 + 20$

خطوة 2.2.6.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 20$

خطوة 2.2.6.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$y = 0 + 0 + 20$

خطوة 2.2.6.2.3

أضف $0$ و $0$ .

$y = 0 + 20$

خطوة 2.2.6.2.4

أضف $0$ و $20$ .

$y = 20$

خطوة 2.3

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور الصادي بصيغة النقطة.

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور الصادي: $(0, 20)$

خطوة 3

اسرِد التقاطعات.

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور السيني: $(1, 0), (- 1, 0), (5, 0), (- 4, 0)$

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور الصادي: $(0, 20)$

خطوة 4