الجبر الأمثلة

$y^{3} - 27 = 9 y^{2} - 27 y$

خطوة 1

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بما أن $y$ موجودة على المتعادل الأيمن، بدّل الأطراف بحيث تصبح على المتعادل الأيسر.

$9 y^{2} - 27 y = y^{3} - 27$

خطوة 1.2

اطرح $y^{3}$ من كلا المتعادلين.

$9 y^{2} - 27 y - y^{3} = - 27$

خطوة 1.3

أضف $27$ إلى كلا المتعادلين.

$9 y^{2} - 27 y - y^{3} + 27 = 0$

خطوة 1.4

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27 = 0$

خطوة 1.4.2

حلّل $- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9$

$q = \pm 1$

خطوة 1.4.2.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9$

خطوة 1.4.2.3

عوّض بـ $3$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $3$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.3.1

عوّض بـ $3$ في متعدد الحدود.

$- 3^{3} + 9 \cdot 3^{2} - 27 \cdot 3 + 27$

خطوة 1.4.2.3.2

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$- 1 \cdot 27 + 9 \cdot 3^{2} - 27 \cdot 3 + 27$

خطوة 1.4.2.3.3

اضرب $- 1$ في $27$ .

$- 27 + 9 \cdot 3^{2} - 27 \cdot 3 + 27$

خطوة 1.4.2.3.4

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$- 27 + 9 \cdot 9 - 27 \cdot 3 + 27$

خطوة 1.4.2.3.5

اضرب $9$ في $9$ .

$- 27 + 81 - 27 \cdot 3 + 27$

خطوة 1.4.2.3.6

أضف $- 27$ و $81$ .

$54 - 27 \cdot 3 + 27$

خطوة 1.4.2.3.7

اضرب $- 27$ في $3$ .

$54 - 81 + 27$

خطوة 1.4.2.3.8

اطرح $81$ من $54$ .

$- 27 + 27$

خطوة 1.4.2.3.9

أضف $- 27$ و $27$ .

$0$

خطوة 1.4.2.4

بما أن $3$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $y - 3$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27}{y - 3}$

خطوة 1.4.2.5

اقسِم $- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27$ على $y - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$y$

$3$

$y^{3}$

$9 y^{2}$

$27 y$

$27$

خطوة 1.4.2.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- y^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $y$ .

				-	$y^{2}$
	$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$

خطوة 1.4.2.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

			-	$y^{2}$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$

خطوة 1.4.2.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- y^{3} + 3 y^{2}$

			-	$y^{2}$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$

خطوة 1.4.2.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

			-	$y^{2}$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$

خطوة 1.4.2.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

			-	$y^{2}$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$

خطوة 1.4.2.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $6 y^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $y$ .

			-	$y^{2}$	+	$6 y$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$

خطوة 1.4.2.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

			-	$y^{2}$	+	$6 y$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					+	$6 y^{2}$	-	$18 y$

خطوة 1.4.2.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $6 y^{2} - 18 y$

			-	$y^{2}$	+	$6 y$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$

خطوة 1.4.2.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

			-	$y^{2}$	+	$6 y$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$

خطوة 1.4.2.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

			-	$y^{2}$	+	$6 y$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$

خطوة 1.4.2.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 9 y$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $y$ .

			-	$y^{2}$	+	$6 y$	-	$9$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$

خطوة 1.4.2.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

			-	$y^{2}$	+	$6 y$	-	$9$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$
							-	$9 y$	+	$27$

خطوة 1.4.2.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 9 y + 27$

			-	$y^{2}$	+	$6 y$	-	$9$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$
							+	$9 y$	-	$27$

خطوة 1.4.2.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

			-	$y^{2}$	+	$6 y$	-	$9$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$
							+	$9 y$	-	$27$
										$0$

خطوة 1.4.2.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$- y^{2} + 6 y - 9$

خطوة 1.4.2.6

اكتب $- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(y - 3) (- y^{2} + 6 y - 9) = 0$

خطوة 1.4.3

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = - 1 \cdot - 9 = 9$ ومجموعهما $b = 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1.1.1

أخرِج العامل $6$ من $6 y$ .

$(y - 3) (- y^{2} + 6 (y) - 9) = 0$

خطوة 1.4.3.1.1.2

أعِد كتابة $6$ في صورة $3$ زائد $3$

$(y - 3) (- y^{2} + (3 + 3) y - 9) = 0$

خطوة 1.4.3.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$(y - 3) (- y^{2} + 3 y + 3 y - 9) = 0$

خطوة 1.4.3.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(y - 3) ((- y^{2} + 3 y) + 3 y - 9) = 0$

خطوة 1.4.3.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$(y - 3) (y (- y + 3) - 3 (- y + 3)) = 0$

خطوة 1.4.3.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- y + 3$ .

$(y - 3) ((- y + 3) (y - 3)) = 0$

خطوة 1.4.3.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(y - 3) (- y + 3) (y - 3) = 0$

خطوة 1.4.4

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.1

أخرِج العامل $- 1$ من $y$ .

$(- 1 (- y) - 3) (- y + 3) (y - 3) = 0$

خطوة 1.4.4.2

أعِد كتابة $- 3$ بالصيغة $- 1 (3)$ .

$(- 1 (- y) - 1 \cdot 3) (- y + 3) (y - 3) = 0$

خطوة 1.4.4.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (- y) - 1 (3)$ .

$- 1 (- y + 3) (- y + 3) (y - 3) = 0$

خطوة 1.4.4.4

ارفع $- y + 3$ إلى القوة $1$ .

$- 1 ((- y + 3) (- y + 3)) (y - 3) = 0$

خطوة 1.4.4.5

ارفع $- y + 3$ إلى القوة $1$ .

$- 1 ((- y + 3) (- y + 3)) (y - 3) = 0$

خطوة 1.4.4.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 1 {(- y + 3)}^{1 + 1} (y - 3) = 0$

خطوة 1.4.4.7

أضف $1$ و $1$ .

$- 1 {(- y + 3)}^{2} (y - 3) = 0$

خطوة 1.4.4.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- y$ .

$- 1 {(- (y) + 3)}^{2} (y - 3) = 0$

خطوة 1.4.4.9

أعِد كتابة $3$ بالصيغة $- 1 (- 3)$ .

$- 1 {(- (y) - 1 \cdot - 3)}^{2} (y - 3) = 0$

خطوة 1.4.4.10

أخرِج العامل $- 1$ من $- (y) - 1 (- 3)$ .

$- 1 {(- (y - 3))}^{2} (y - 3) = 0$

خطوة 1.4.4.11

أعِد كتابة $- (y - 3)$ بالصيغة $- 1 (y - 3)$ .

$- 1 {(- 1 (y - 3))}^{2} (y - 3) = 0$

خطوة 1.4.4.12

طبّق قاعدة الضرب على $- 1 (y - 3)$ .

$- 1 ({(- 1)}^{2} {(y - 3)}^{2}) (y - 3) = 0$

خطوة 1.4.4.13

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$- 1 (1 {(y - 3)}^{2}) (y - 3) = 0$

خطوة 1.4.4.14

اضرب ${(y - 3)}^{2}$ في $1$ .

$- 1 {(y - 3)}^{2} (y - 3) = 0$

خطوة 1.4.4.15

ارفع $y - 3$ إلى القوة $1$ .

$- 1 ((y - 3) {(y - 3)}^{2}) = 0$

خطوة 1.4.4.16

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 1 {(y - 3)}^{1 + 2} = 0$

خطوة 1.4.4.17

أضف $1$ و $2$ .

$- 1 {(y - 3)}^{3} = 0$

خطوة 1.5

اقسِم كل حد في $- 1 {(y - 3)}^{3} = 0$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اقسِم كل حد في $- 1 {(y - 3)}^{3} = 0$ على $- 1$ .

$\frac{- 1 {(y - 3)}^{3}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

خطوة 1.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{{(y - 3)}^{3}}{1} = \frac{0}{- 1}$

خطوة 1.5.2.2

اقسِم ${(y - 3)}^{3}$ على $1$ .

${(y - 3)}^{3} = \frac{0}{- 1}$

خطوة 1.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

اقسِم $0$ على $- 1$ .

${(y - 3)}^{3} = 0$

خطوة 1.6

عيّن قيمة $y - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$y - 3 = 0$

خطوة 1.7

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$y = 3$

خطوة 2

عيّن قيمة $9 y^{2} - 27 y$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 = 0$

خطوة 3

بما أن $3 \neq 0$ ، إذن لا توجد حلول.

لا يوجد حل