الجبر الأمثلة

$R (x) = - x^{2} + 6 x$ , $C (x) = x + 4$

خطوة 1

مثّل $R (x) = - x^{2} + 6 x$ بيانيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد خصائص القطع المكافئ المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أعِد كتابة المعادلة بصيغة الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أكمل المربع لـ $- x^{2} + 6 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = - 1$

$b = 6$

$c = 0$

خطوة 1.1.1.1.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.1.1.1.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{6}{2 \cdot - 1}$

خطوة 1.1.1.1.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 1}$

خطوة 1.1.1.1.3.2.1.2

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 3$

خطوة 1.1.1.1.3.2.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$d = - 3$

خطوة 1.1.1.1.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot - 1}$

خطوة 1.1.1.1.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1.4.2.1.1

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

خطوة 1.1.1.1.4.2.1.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$e = 0 - \frac{36}{- 4}$

خطوة 1.1.1.1.4.2.1.3

اقسِم $36$ على $- 4$ .

$e = 0 - - 9$

خطوة 1.1.1.1.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $- 9$ .

$e = 0 + 9$

خطوة 1.1.1.1.4.2.2

أضف $0$ و $9$ .

$e = 9$

خطوة 1.1.1.1.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $- {(x - 3)}^{2} + 9$ .

$- {(x - 3)}^{2} + 9$

خطوة 1.1.1.2

عيّن قيمة $y$ لتصبح مساوية للطرف الأيمن الجديد.

$y = - {(x - 3)}^{2} + 9$

خطوة 1.1.2

استخدِم صيغة الرأس، $y = a {(x - h)}^{2} + k$ ، لتحديد قيم $a$ و $h$ و $k$ .

$a = - 1$

$h = 3$

$k = 9$

خطوة 1.1.3

بما أن قيمة $a$ سالبة، إذن القطع المكافئ مفتوح إلى أسفل.

مفتوح إلى أسفل

خطوة 1.1.4

أوجِد الرأس $(h, k)$ .

$(3, 9)$

خطوة 1.1.5

أوجِد $p$ ، المسافة من الرأس إلى البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

أوجِد المسافة من الرأس إلى بؤرة القطع المكافئ باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{1}{4 a}$

خطوة 1.1.5.2

عوّض بقيمة $a$ في القاعدة.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

خطوة 1.1.5.3

احذِف العامل المشترك لـ $1$ و $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.3.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

خطوة 1.1.5.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{4}$

خطوة 1.1.6

أوجِد البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1

يمكن إيجاد بؤرة القطع المكافئ بجمع $p$ مع الإحداثي الصادي $k$ إذا كان القطع المكافئ مفتوحًا إلى أعلى أو إلى أسفل.

$(h, k + p)$

خطوة 1.1.6.2

عوّض بقيم $h$ و $p$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(3, \frac{35}{4})$

خطوة 1.1.7

أوجِد محور التناظر بإيجاد الخط الذي يمر عبر الرأس والبؤرة.

$x = 3$

خطوة 1.1.8

أوجِد الدليل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.8.1

دليل القطع المكافئ هو الخط الأفقي الذي يمكن إيجاده بطرح $p$ من الإحداثي الصادي $k$ للرأس إذا كان القطع المكافئ مفتوح إلى أعلى أو إلى أسفل.

$y = k - p$

خطوة 1.1.8.2

عوّض بقيمتَي $p$ و $k$ المعروفتين في القاعدة وبسّط.

$y = \frac{37}{4}$

خطوة 1.1.9

استخدِم خصائص القطع المكافئ لتحليل القطع المكافئ وتمثيله بيانيًا.

الاتجاه: مفتوح للأسفل

الرأس: $(3, 9)$

البؤرة: $(3, \frac{35}{4})$

محور التناظر: $x = 3$

الدليل: $y = \frac{37}{4}$

الاتجاه: مفتوح للأسفل

الرأس: $(3, 9)$

البؤرة: $(3, \frac{35}{4})$

محور التناظر: $x = 3$

الدليل: $y = \frac{37}{4}$

خطوة 1.2

حدد بعض قيم $x$ ، وعوّض بها في المعادلة لإيجاد قيم $y$ المناظرة. يجب تحديد قيم $x$ حول الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f (2) = - {(2)}^{2} + 6 (2)$

خطوة 1.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (2) = - 1 \cdot 4 + 6 (2)$

خطوة 1.2.2.1.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$f (2) = - 4 + 6 (2)$

خطوة 1.2.2.1.3

اضرب $6$ في $2$ .

$f (2) = - 4 + 12$

خطوة 1.2.2.2

أضف $- 4$ و $12$ .

$f (2) = 8$

خطوة 1.2.2.3

الإجابة النهائية هي $8$ .

$8$

خطوة 1.2.3

قيمة $y$ عند $x = 2$ تساوي $8$ .

$y = 8$

خطوة 1.2.4

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = - {(1)}^{2} + 6 (1)$

خطوة 1.2.5

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = - 1 \cdot 1 + 6 (1)$

خطوة 1.2.5.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (1) = - 1 + 6 (1)$

خطوة 1.2.5.1.3

اضرب $6$ في $1$ .

$f (1) = - 1 + 6$

خطوة 1.2.5.2

أضف $- 1$ و $6$ .

$f (1) = 5$

خطوة 1.2.5.3

الإجابة النهائية هي $5$ .

$5$

خطوة 1.2.6

قيمة $y$ عند $x = 1$ تساوي $5$ .

$y = 5$

خطوة 1.2.7

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$f (4) = - {(4)}^{2} + 6 (4)$

خطوة 1.2.8

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.8.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$f (4) = - 1 \cdot 16 + 6 (4)$

خطوة 1.2.8.1.2

اضرب $- 1$ في $16$ .

$f (4) = - 16 + 6 (4)$

خطوة 1.2.8.1.3

اضرب $6$ في $4$ .

$f (4) = - 16 + 24$

خطوة 1.2.8.2

أضف $- 16$ و $24$ .

$f (4) = 8$

خطوة 1.2.8.3

الإجابة النهائية هي $8$ .

$8$

خطوة 1.2.9

قيمة $y$ عند $x = 4$ تساوي $8$ .

$y = 8$

خطوة 1.2.10

استبدِل المتغير $x$ بـ $5$ في العبارة.

$f (5) = - {(5)}^{2} + 6 (5)$

خطوة 1.2.11

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.11.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.11.1.1

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$f (5) = - 1 \cdot 25 + 6 (5)$

خطوة 1.2.11.1.2

اضرب $- 1$ في $25$ .

$f (5) = - 25 + 6 (5)$

خطوة 1.2.11.1.3

اضرب $6$ في $5$ .

$f (5) = - 25 + 30$

خطوة 1.2.11.2

أضف $- 25$ و $30$ .

$f (5) = 5$

خطوة 1.2.11.3

الإجابة النهائية هي $5$ .

$5$

خطوة 1.2.12

قيمة $y$ عند $x = 5$ تساوي $5$ .

$y = 5$

خطوة 1.2.13

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 5 \\ 2 & 8 \\ 3 & 9 \\ 4 & 8 \\ 5 & 5 \end{array}$

خطوة 1.3

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

الاتجاه: مفتوح للأسفل

الرأس: $(3, 9)$

البؤرة: $(3, \frac{35}{4})$

محور التناظر: $x = 3$

الدليل: $y = \frac{37}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 5 \\ 2 & 8 \\ 3 & 9 \\ 4 & 8 \\ 5 & 5 \end{array}$

الاتجاه: مفتوح للأسفل

الرأس: $(3, 9)$

البؤرة: $(3, \frac{35}{4})$

محور التناظر: $x = 3$

الدليل: $y = \frac{37}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 5 \\ 2 & 8 \\ 3 & 9 \\ 4 & 8 \\ 5 & 5 \end{array}$

خطوة 2

مثّل $C (x) = x + 4$ بيانيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة الدالة في صورة معادلة.

$y = x + 4$

خطوة 2.2

استخدِم صيغة تقاطع الميل لإيجاد الميل ونقطة التقاطع مع المحور الصادي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

صيغة تقاطع الميل هي $y = m x + b$ ، حيث $m$ هي الميل و $b$ هي نقطة التقاطع مع المحور الصادي.

$y = m x + b$

خطوة 2.2.2

أوجِد قيمتَي $m$ و $b$ باستخدام الصيغة $y = m x + b$ .

$m = 1$

$b = 4$

خطوة 2.2.3

ميل الخط المستقيم يمثل قيمة $m$ ، ونقطة التقاطع مع المحور الصادي تمثل قيمة $b$ .

الميل: $1$

نقطة التقاطع مع المحور الصادي: $(0, 4)$

الميل: $1$

نقطة التقاطع مع المحور الصادي: $(0, 4)$

خطوة 2.3

يمكن تمثيل أي خط بيانيًا باستخدام نقطتين. اختر قيمتين من قيم $x$ ، وعوّض بهما في المعادلة لإيجاد قيم $y$ المناظرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أنشئ جدولاً بقيمتَي $x$ و $y$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 4 \\ 1 & 5 \end{array}$

خطوة 2.4

مثّل الخط بيانيًا باستخدام الميل ونقطة التقاطع مع المحور الصادي أو النقاط.

الميل: $1$

نقطة التقاطع مع المحور الصادي: $(0, 4)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 4 \\ 1 & 5 \end{array}$

الميل: $1$

نقطة التقاطع مع المحور الصادي: $(0, 4)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 4 \\ 1 & 5 \end{array}$

خطوة 3

عيّن النقاط على كل رسم بياني على نفس نظام الإحداثيات.

$R (x) = - x^{2} + 6 x$

$C (x) = x + 4$

خطوة 4