الجبر الأمثلة

$3 e^{4 x} - 9 e^{2 x} - 15 = 0$

خطوة 1

أعِد كتابة $e^{4 x}$ في صورة أُس.

$3 {(e^{x})}^{4} - 9 e^{2 x} - 15 = 0$

خطوة 2

أعِد كتابة $e^{2 x}$ في صورة أُس.

$3 {(e^{x})}^{4} - 9 {(e^{x})}^{2} - 15 = 0$

خطوة 3

عوّض بقيمة $e^{x}$ التي تساوي $u$ .

$3 u^{4} - 9 u^{2} - 15 = 0$

خطوة 4

أوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بـ $u = u^{2}$ في المعادلة. سيسهّل ذلك استخدام الصيغة التربيعية.

$3 u^{2} - 9 u - 15 = 0$

$u = u^{2}$

خطوة 4.2

أخرِج العامل $3$ من $3 u^{2} - 9 u - 15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 u^{2}$ .

$3 (u^{2}) - 9 u - 15 = 0$

خطوة 4.2.2

أخرِج العامل $3$ من $- 9 u$ .

$3 (u^{2}) + 3 (- 3 u) - 15 = 0$

خطوة 4.2.3

أخرِج العامل $3$ من $- 15$ .

$3 u^{2} + 3 (- 3 u) + 3 \cdot - 5 = 0$

خطوة 4.2.4

أخرِج العامل $3$ من $3 u^{2} + 3 (- 3 u)$ .

$3 (u^{2} - 3 u) + 3 \cdot - 5 = 0$

خطوة 4.2.5

أخرِج العامل $3$ من $3 (u^{2} - 3 u) + 3 \cdot - 5$ .

$3 (u^{2} - 3 u - 5) = 0$

خطوة 4.3

اقسِم كل حد في $3 (u^{2} - 3 u - 5) = 0$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اقسِم كل حد في $3 (u^{2} - 3 u - 5) = 0$ على $3$ .

$\frac{3 (u^{2} - 3 u - 5)}{3} = \frac{0}{3}$

خطوة 4.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (u^{2} - 3 u - 5)}{3} = \frac{0}{3}$

خطوة 4.3.2.1.2

اقسِم $u^{2} - 3 u - 5$ على $1$ .

$u^{2} - 3 u - 5 = \frac{0}{3}$

خطوة 4.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

اقسِم $0$ على $3$ .

$u^{2} - 3 u - 5 = 0$

خطوة 4.4

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 4.5

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - 3$ و $c = - 5$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $u$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1.1

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.6.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.6.1.2.2

اضرب $- 4$ في $- 5$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 20}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.6.1.3

أضف $9$ و $20$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.6.2

اضرب $2$ في $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2}$

خطوة 4.7

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$u = \frac{3 + \sqrt{29}}{2}, \frac{3 - \sqrt{29}}{2}$

خطوة 4.8

عوّض بالقيمة الحقيقية لـ $u = u^{2}$ مرة أخرى في المعادلة المحلولة.

$u^{2} = 4.1925824$

${(u^{2})}^{1} = - 1.1925824$

خطوة 4.9

أوجِد قيمة $u$ في المعادلة الأولى.

$u^{2} = 4.1925824$

خطوة 4.10

أوجِد قيمة $u$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$u = \pm \sqrt{4.1925824}$

خطوة 4.10.2

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$u = \sqrt{4.1925824}$

خطوة 4.10.2.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$u = - \sqrt{4.1925824}$

خطوة 4.10.2.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$u = \sqrt{4.1925824}, - \sqrt{4.1925824}$

خطوة 4.11

أوجِد قيمة $u$ في المعادلة الثانية.

${(u^{2})}^{1} = - 1.1925824$

خطوة 4.12

أوجِد قيمة $u$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.1

احذِف الأقواس.

$u^{2} = - 1.1925824$

خطوة 4.12.2

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$u = \pm \sqrt{- 1.1925824}$

خطوة 4.12.3

بسّط $\pm \sqrt{- 1.1925824}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.3.1

أعِد كتابة $- 1.1925824$ بالصيغة $- 1 (1.1925824)$ .

$u = \pm \sqrt{- 1 (1.1925824)}$

خطوة 4.12.3.2

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (1.1925824)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.1925824}$ .

$u = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.1925824}$

خطوة 4.12.3.3

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$u = \pm i \sqrt{1.1925824}$

خطوة 4.12.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$u = i \sqrt{1.1925824}$

خطوة 4.12.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$u = - i \sqrt{1.1925824}$

خطوة 4.12.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$u = i \sqrt{1.1925824}, - i \sqrt{1.1925824}$

خطوة 4.13

حل $3 u^{4} - 9 u^{2} - 15 = 0$ هو $u = \sqrt{4.1925824}, - \sqrt{4.1925824}, i \sqrt{1.1925824}, - i \sqrt{1.1925824}$ .

$u = \sqrt{4.1925824}, - \sqrt{4.1925824}, i \sqrt{1.1925824}, - i \sqrt{1.1925824}$

خطوة 5

عوّض بـ $\sqrt{4.1925824}$ عن $u$ في $u = e^{x}$ .

$\sqrt{4.1925824} = e^{x}$

خطوة 6

أوجِد حل $\sqrt{4.1925824} = e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $e^{x} = \sqrt{4.1925824}$ .

$e^{x} = \sqrt{4.1925824}$

خطوة 6.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{x}) = \ln (\sqrt{4.1925824})$

خطوة 6.3

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

وسّع $\ln (e^{x})$ بنقل $x$ خارج اللوغاريتم.

$x \ln (e) = \ln (\sqrt{4.1925824})$

خطوة 6.3.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\sqrt{4.1925824})$

خطوة 6.3.3

اضرب $x$ في $1$ .

$x = \ln (\sqrt{4.1925824})$

خطوة 7

عوّض بـ $- \sqrt{4.1925824}$ عن $u$ في $u = e^{x}$ .

$- \sqrt{4.1925824} = e^{x}$

خطوة 8

أوجِد حل $- \sqrt{4.1925824} = e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $e^{x} = - \sqrt{4.1925824}$ .

$e^{x} = - \sqrt{4.1925824}$

خطوة 8.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{x}) = \ln (- \sqrt{4.1925824})$

خطوة 8.3

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (- \sqrt{4.1925824})$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 8.4

لا يوجد حل لـ $e^{x} = - \sqrt{4.1925824}$

لا يوجد حل

خطوة 9

عوّض بـ $i \sqrt{1.1925824}$ عن $u$ في $u = e^{x}$ .

$i \sqrt{1.1925824} = e^{x}$

خطوة 10

أوجِد حل $i \sqrt{1.1925824} = e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $e^{x} = i \sqrt{1.1925824}$ .

$e^{x} = i \sqrt{1.1925824}$

خطوة 10.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{x}) = \ln (i \sqrt{1.1925824})$

خطوة 10.3

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

وسّع $\ln (e^{x})$ بنقل $x$ خارج اللوغاريتم.

$x \ln (e) = \ln (i \sqrt{1.1925824})$

خطوة 10.3.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (i \sqrt{1.1925824})$

خطوة 10.3.3

اضرب $x$ في $1$ .

$x = \ln (i \sqrt{1.1925824})$

خطوة 10.4

وسّع الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

أعِد كتابة $\ln (i \sqrt{1.1925824})$ بالصيغة $\ln (i) + \ln (\sqrt{1.1925824})$ .

$x = \ln (i) + \ln (\sqrt{1.1925824})$

خطوة 10.4.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{1.1925824}$ في صورة ${1.1925824}^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \ln (i) + \ln ({1.1925824}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 10.4.3

وسّع $\ln ({1.1925824}^{\frac{1}{2}})$ بنقل $\frac{1}{2}$ خارج اللوغاريتم.

$x = \ln (i) + \frac{1}{2} \ln (1.1925824)$

خطوة 10.4.4

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln (1.1925824)$ .

$x = \ln (i) + \frac{\ln (1.1925824)}{2}$

خطوة 10.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1.1

أعِد كتابة $\frac{\ln (1.1925824)}{2}$ بالصيغة $\frac{1}{2} \ln (1.1925824)$ .

$x = \ln (i) + \frac{1}{2} \ln (1.1925824)$

خطوة 10.5.1.2

بسّط $\frac{1}{2} \ln (1.1925824)$ بنقل $\frac{1}{2}$ داخل اللوغاريتم.

$x = \ln (i) + \ln ({1.1925824}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 10.5.1.3

أعِد كتابة $1.1925824$ بالصيغة ${1.09205421}^{2}$ .

$x = \ln (i) + \ln ({({1.09205421}^{2})}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 10.5.1.4

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \ln (i) + \ln ({1.09205421}^{2 (\frac{1}{2})})$

خطوة 10.5.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = \ln (i) + \ln ({1.09205421}^{2 (\frac{1}{2})})$

خطوة 10.5.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = \ln (i) + \ln ({1.09205421}^{1})$

خطوة 10.5.1.6

احسِب قيمة الأُس.

$x = \ln (i) + \ln (1.09205421)$

خطوة 10.5.2

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x = \ln (i \cdot 1.09205421)$

خطوة 10.5.3

انقُل $1.09205421$ إلى يسار $i$ .

$x = \ln (1.09205421 i)$

خطوة 11

عوّض بـ $- i \sqrt{1.1925824}$ عن $u$ في $u = e^{x}$ .

$- i \sqrt{1.1925824} = e^{x}$

خطوة 12

أوجِد حل $- i \sqrt{1.1925824} = e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $e^{x} = - i \sqrt{1.1925824}$ .

$e^{x} = - i \sqrt{1.1925824}$

خطوة 12.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{x}) = \ln (- i \sqrt{1.1925824})$

خطوة 12.3

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (- i \sqrt{1.1925824})$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 12.4

لا يوجد حل لـ $e^{x} = - i \sqrt{1.1925824}$

لا يوجد حل

خطوة 13

اسرِد الحلول التي تجعل المعادلة صحيحة.

$x = \ln (\sqrt{4.1925824}), \ln (1.09205421 i)$