الجبر الأمثلة

$y = {(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2$

خطوة 1

بادِل المتغيرات.

$x = {(\frac{1}{2})}^{y - 1} + 2$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة ${(\frac{1}{2})}^{y - 1} + 2 = x$ .

${(\frac{1}{2})}^{y - 1} + 2 = x$

خطوة 2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1^{y - 1}}{2^{y - 1}} + 2 = x$

خطوة 2.2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{2^{y - 1}} + 2 = x$

خطوة 2.3

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$\frac{1}{2^{y - 1}} = x - 2$

خطوة 2.4

اضرب كلا المتعادلين في $2^{y - 1}$ .

$1 = 2^{y - 1} (x - 2)$

خطوة 2.5

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2^{y - 1} (x - 2) = 1$ .

$2^{y - 1} (x - 2) = 1$

خطوة 2.6

اقسِم كل حد في $2^{y - 1} (x - 2) = 1$ على $x - 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

اقسِم كل حد في $2^{y - 1} (x - 2) = 1$ على $x - 2$ .

$\frac{2^{y - 1} (x - 2)}{x - 2} = \frac{1}{x - 2}$

خطوة 2.6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2^{y - 1} (x - 2)}{x - 2} = \frac{1}{x - 2}$

خطوة 2.6.2.1.2

اقسِم $2^{y - 1}$ على $1$ .

$2^{y - 1} = \frac{1}{x - 2}$

خطوة 2.7

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (2^{y - 1}) = \ln (\frac{1}{x - 2})$

خطوة 2.8

وسّع $\ln (2^{y - 1})$ بنقل $y - 1$ خارج اللوغاريتم.

$(y - 1) \ln (2) = \ln (\frac{1}{x - 2})$

خطوة 2.9

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1

بسّط $(y - 1) \ln (2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y \ln (2) - 1 \ln (2) = \ln (\frac{1}{x - 2})$

خطوة 2.9.1.2

أعِد كتابة $- 1 \ln (2)$ بالصيغة $- \ln (2)$ .

$y \ln (2) - \ln (2) = \ln (\frac{1}{x - 2})$

خطوة 2.10

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$y \ln (2) - \ln (2) - \ln (\frac{1}{x - 2}) = 0$

خطوة 2.11

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1

أضف $\ln (2)$ إلى كلا المتعادلين.

$y \ln (2) - \ln (\frac{1}{x - 2}) = \ln (2)$

خطوة 2.11.2

أضف $\ln (\frac{1}{x - 2})$ إلى كلا المتعادلين.

$y \ln (2) = \ln (2) + \ln (\frac{1}{x - 2})$

خطوة 2.12

اقسِم كل حد في $y \ln (2) = \ln (2) + \ln (\frac{1}{x - 2})$ على $\ln (2)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.1

اقسِم كل حد في $y \ln (2) = \ln (2) + \ln (\frac{1}{x - 2})$ على $\ln (2)$ .

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

خطوة 2.12.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

خطوة 2.12.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

خطوة 2.12.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

خطوة 2.12.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

خطوة 3

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

خطوة 4

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$ هي معكوس $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 4.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 4.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2)$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) - 2})}{\ln (2)}$

خطوة 4.2.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $1 + \frac{\ln (\frac{1}{({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) - 2})}{\ln (2)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

اطرح $2$ من $2$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 0})}{\ln (2)}$

خطوة 4.2.3.2

أضف ${(\frac{1}{2})}^{x - 1}$ و $0$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{x - 1}})}{\ln (2)}$

خطوة 4.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{\frac{1^{x - 1}}{2^{x - 1}}})}{\ln (2)}$

خطوة 4.2.4.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{\frac{1}{2^{x - 1}}})}{\ln (2)}$

خطوة 4.2.4.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.2.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (1 \cdot 2^{x - 1})}{\ln (2)}$

خطوة 4.2.4.2.2

اضرب $2^{x - 1}$ في $1$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (2^{x - 1})}{\ln (2)}$

خطوة 4.2.4.3

وسّع $\ln (2^{x - 1})$ بنقل $x - 1$ خارج اللوغاريتم.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (2)}{\ln (2)}$

خطوة 4.2.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (2)}{\ln (2)}$

خطوة 4.2.4.4.2

اقسِم $x - 1$ على $1$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + x - 1$

خطوة 4.2.5

جمّع الحدود المتعاكسة في $1 + x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

اطرح $1$ من $1$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = x + 0$

خطوة 4.2.5.2

أضف $x$ و $0$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = x$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 4.3.2

احسِب قيمة $f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = {(\frac{1}{2})}^{(1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) - 1} + 2$

خطوة 4.3.3

جمّع الحدود المتعاكسة في ${(\frac{1}{2})}^{(1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) - 1} + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

اطرح $1$ من $1$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = {(\frac{1}{2})}^{0 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}} + 2$

خطوة 4.3.3.2

أضف $0$ و $\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = {(\frac{1}{2})}^{\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}} + 2$

خطوة 4.3.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = \frac{1^{\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}}}{2^{\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}}} + 2$

خطوة 4.3.4.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = \frac{1}{2^{\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}}} + 2$

خطوة 4.3.4.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.3.1

استخدِم قاعدة تغيير الأساس $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = \frac{1}{2^{\log_{2} (\frac{1}{x - 2})}} + 2$

خطوة 4.3.4.3.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = \frac{1}{\frac{1}{x - 2}} + 2$

خطوة 4.3.4.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = 1 (x - 2) + 2$

خطوة 4.3.4.5

اضرب $x - 2$ في $1$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = x - 2 + 2$

خطوة 4.3.5

جمّع الحدود المتعاكسة في $x - 2 + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

أضف $- 2$ و $2$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = x + 0$

خطوة 4.3.5.2

أضف $x$ و $0$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = x$

خطوة 4.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$ هي معكوس $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2$ .

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$