الجبر الأمثلة

$1 = \cot^{2} (x) + \csc (x)$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\cot^{2} (x) + \csc (x) = 1$ .

$\cot^{2} (x) + \csc (x) = 1$

خطوة 2

استبدِل $\cot^{2} (x)$ بـ $\csc^{2} (x) - 1$ بناءً على المتطابقة $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\csc^{2} (x) - 1) + \csc (x) = 1$

خطوة 3

أعِد ترتيب متعدد الحدود.

$\csc^{2} (x) + \csc (x) - 1 = 1$

خطوة 4

عوّض بقيمة $\csc (x)$ التي تساوي $u$ .

${(u)}^{2} + u - 1 = 1$

خطوة 5

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$u^{2} + u - 1 - 1 = 0$

خطوة 6

اطرح $1$ من $- 1$ .

$u^{2} + u - 2 = 0$

خطوة 7

حلّل $u^{2} + u - 2$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 2$ ومجموعهما $1$ .

$- 1, 2$

خطوة 7.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(u - 1) (u + 2) = 0$

خطوة 8

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

خطوة 9

عيّن قيمة العبارة $u - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

عيّن قيمة $u - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u - 1 = 0$

خطوة 9.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$u = 1$

خطوة 10

عيّن قيمة العبارة $u + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

عيّن قيمة $u + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u + 2 = 0$

خطوة 10.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$u = - 2$

خطوة 11

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(u - 1) (u + 2) = 0$ صحيحة.

$u = 1, - 2$

خطوة 12

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\csc (x)$ .

$\csc (x) = 1, - 2$

خطوة 13

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\csc (x) = 1$

$\csc (x) = - 2$

خطوة 14

أوجِد قيمة $x$ في $\csc (x) = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

خُذ دالة قاطع التمام العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل قاطع التمام.

$x = arccsc (1)$

خطوة 14.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

القيمة الدقيقة لـ $arccsc (1)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 14.3

دالة قاطع التمام موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = π - \frac{π}{2}$

خطوة 14.4

بسّط $π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 14.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.2.1

اجمع $π$ و $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 14.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 14.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.3.1

انقُل $2$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

خطوة 14.4.3.2

اطرح $π$ من $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 14.5

أوجِد فترة $\csc (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 14.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 14.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 14.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 14.6

فترة دالة $\csc (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 15

أوجِد قيمة $x$ في $\csc (x) = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

خُذ دالة قاطع التمام العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل قاطع التمام.

$x = arccsc (- 2)$

خطوة 15.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

القيمة الدقيقة لـ $arccsc (- 2)$ هي $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

خطوة 15.3

دالة قاطع التمام سالبة في الربعين الثالث والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح الحل من $2 π$ ، لإيجاد زاوية المرجع. وبعد ذلك، اجمع زاوية المرجع المذكورة مع $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

خطوة 15.4

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.4.1

اطرح $2 π$ من $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

خطوة 15.4.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{7 π}{6}$ موجبة وأصغر من $2 π$ ومشتركة النهاية مع $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

خطوة 15.5

أوجِد فترة $\csc (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 15.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 15.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 15.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 15.6

اجمع $2 π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.6.1

اجمع $2 π$ مع $- \frac{π}{6}$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

خطوة 15.6.2

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 15.6.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.6.3.1

اجمع $2 π$ و $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 15.6.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

خطوة 15.6.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.6.4.1

اضرب $6$ في $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

خطوة 15.6.4.2

اطرح $π$ من $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

خطوة 15.6.5

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = \frac{11 π}{6}$

خطوة 15.7

فترة دالة $\csc (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 16

اسرِد جميع الحلول.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 17

وحّد الإجابات.

$x = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ ، لأي عدد صحيح $n$