الجبر الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{2} \sqrt{2 x + 1}$

خطوة 1

اكتب $f (x) = \frac{1}{2} \sqrt{2 x + 1}$ في صورة معادلة.

$y = \frac{1}{2} \sqrt{2 x + 1}$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 y + 1}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 y + 1} = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 y + 1} = x$

خطوة 3.2

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 y + 1}) = 2 x$

خطوة 3.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 y + 1})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sqrt{2 y + 1}$ .

$2 \frac{\sqrt{2 y + 1}}{2} = 2 x$

خطوة 3.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{\sqrt{2 y + 1}}{2} = 2 x$

خطوة 3.3.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sqrt{2 y + 1} = 2 x$

خطوة 3.4

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{2 y + 1}}^{2} = {(2 x)}^{2}$

خطوة 3.5

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2 y + 1}$ في صورة ${(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

خطوة 3.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

بسّط ${({(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.1

اضرب الأُسس في ${({(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

خطوة 3.5.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(2 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

خطوة 3.5.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(2 y + 1)}^{1} = {(2 x)}^{2}$

خطوة 3.5.2.1.2

بسّط.

$2 y + 1 = {(2 x)}^{2}$

خطوة 3.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

بسّط ${(2 x)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 x$ .

$2 y + 1 = 2^{2} x^{2}$

خطوة 3.5.3.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$2 y + 1 = 4 x^{2}$

خطوة 3.6

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2 y = 4 x^{2} - 1$

خطوة 3.6.2

اقسِم كل حد في $2 y = 4 x^{2} - 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1

اقسِم كل حد في $2 y = 4 x^{2} - 1$ على $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.6.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.6.2.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{4 x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.6.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.3.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 (2 x^{2})}{2} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.6.2.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.3.1.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$y = \frac{2 (2 x^{2})}{2 (1)} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.6.2.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot 1} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.6.2.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.6.2.3.1.1.2.4

اقسِم $2 x^{2}$ على $1$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.6.2.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = 2 x^{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = 2 x^{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = 2 x^{2} - \frac{1}{2}$ هي معكوس $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1})$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1})}^{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 5.2.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sqrt{2 x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 {(\frac{\sqrt{2 x + 1}}{2})}^{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 5.2.3.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{2 x + 1}}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{{\sqrt{2 x + 1}}^{2}}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

خطوة 5.2.3.3

أعِد كتابة ${\sqrt{2 x + 1}}^{2}$ بالصيغة $2 x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2 x + 1}$ في صورة ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{{({(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

خطوة 5.2.3.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

خطوة 5.2.3.3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

خطوة 5.2.3.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

خطوة 5.2.3.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{2 x + 1}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

خطوة 5.2.3.3.5

بسّط.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{2 x + 1}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

خطوة 5.2.3.4

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{2 x + 1}{4}) - \frac{1}{2}$

خطوة 5.2.3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.5.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{2 x + 1}{2 (2)}) - \frac{1}{2}$

خطوة 5.2.3.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{2 x + 1}{2 \cdot 2}) - \frac{1}{2}$

خطوة 5.2.3.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = \frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 5.2.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = \frac{2 x + 1 - 1}{2}$

خطوة 5.2.4.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 x + 1 - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.2.1

اطرح $1$ من $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = \frac{2 x + 0}{2}$

خطوة 5.2.4.2.2

أضف $2 x$ و $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = \frac{2 x}{2}$

خطوة 5.2.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = \frac{2 x}{2}$

خطوة 5.2.4.3.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (2 x^{2} - \frac{1}{2})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 (2 x^{2} - \frac{1}{2}) + 1}$

خطوة 5.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 (2 x^{2}) + 2 (- \frac{1}{2}) + 1}$

خطوة 5.3.4

اضرب $2$ في $2$ .

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} + 2 (- \frac{1}{2}) + 1}$

خطوة 5.3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{2}$ إلى بسط الكسر.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} + 2 (\frac{- 1}{2}) + 1}$

خطوة 5.3.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} + 2 (\frac{- 1}{2}) + 1}$

خطوة 5.3.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} - 1 + 1}$

خطوة 5.3.6

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.6.1

أضف $- 1$ و $1$ .

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} + 0}$

خطوة 5.3.6.2

أضف $4 x^{2}$ و $0$ .

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2}}$

خطوة 5.3.7

أعِد كتابة $4 x^{2}$ بالصيغة ${(2 x)}^{2}$ .

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{{(2 x)}^{2}}$

خطوة 5.3.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

خطوة 5.3.9

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.9.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

خطوة 5.3.9.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

خطوة 5.3.9.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = 2 x^{2} - \frac{1}{2}$ هي معكوس $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = 2 x^{2} - \frac{1}{2}$