الجبر الأمثلة

$\log_{2} (x) + \log_{2} (x + 4) < 5$

خطوة 1

حوّل التباين إلى تساوٍ.

$\log_{2} (x) + \log_{2} (x + 4) = 5$

خطوة 2

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} (x (x + 4)) = 5$

خطوة 2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot 4) = 5$

خطوة 2.1.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

اضرب $x$ في $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + x \cdot 4) = 5$

خطوة 2.1.3.2

انقُل $4$ إلى يسار $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + 4 x) = 5$

خطوة 2.2

أعِد كتابة $\log_{2} (x^{2} + 4 x) = 5$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$2^{5} = x^{2} + 4 x$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x^{2} + 4 x = 2^{5}$ .

$x^{2} + 4 x = 2^{5}$

خطوة 2.3.2

ارفع $2$ إلى القوة $5$ .

$x^{2} + 4 x = 32$

خطوة 2.3.3

اطرح $32$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} + 4 x - 32 = 0$

خطوة 2.3.4

حلّل $x^{2} + 4 x - 32$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 32$ ومجموعهما $4$ .

$- 4, 8$

خطوة 2.3.4.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(x - 4) (x + 8) = 0$

خطوة 2.3.5

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 8 = 0$

خطوة 2.3.6

عيّن قيمة العبارة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

عيّن قيمة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 4 = 0$

خطوة 2.3.6.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 4$

خطوة 2.3.7

عيّن قيمة العبارة $x + 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

عيّن قيمة $x + 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 8 = 0$

خطوة 2.3.7.2

اطرح $8$ من كلا المتعادلين.

$x = - 8$

خطوة 2.3.8

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x - 4) (x + 8) = 0$ صحيحة.

$x = 4, - 8$

خطوة 3

أوجِد نطاق $\log_{2} (x^{2} + 4 x) - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\log_{2} (x^{2} + 4 x)$ بحيث تصبح أكبر من $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$x^{2} + 4 x > 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

حوّل المتباينة إلى معادلة.

$x^{2} + 4 x = 0$

خطوة 3.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} + 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$x \cdot x + 4 x = 0$

خطوة 3.2.2.2

أخرِج العامل $x$ من $4 x$ .

$x \cdot x + x \cdot 4 = 0$

خطوة 3.2.2.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x \cdot 4$ .

$x (x + 4) = 0$

خطوة 3.2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

خطوة 3.2.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 3.2.5

عيّن قيمة العبارة $x + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

عيّن قيمة $x + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 4 = 0$

خطوة 3.2.5.2

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$x = - 4$

خطوة 3.2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $x (x + 4) = 0$ صحيحة.

$x = 0, - 4$

خطوة 3.2.7

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < - 4$

$- 4 < x < 0$

$x > 0$

خطوة 3.2.8

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.8.1

اختبر قيمة في الفترة $x < - 4$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.8.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < - 4$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 6$

خطوة 3.2.8.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 6$ في المتباينة الأصلية.

${(- 6)}^{2} + 4 (- 6) > 0$

خطوة 3.2.8.1.3

الطرف الأيسر $12$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

صائب

خطوة 3.2.8.2

اختبر قيمة في الفترة $- 4 < x < 0$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.8.2.1

اختر قيمة من الفترة $- 4 < x < 0$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 2$

خطوة 3.2.8.2.2

استبدِل $x$ بـ $- 2$ في المتباينة الأصلية.

${(- 2)}^{2} + 4 (- 2) > 0$

خطوة 3.2.8.2.3

الطرف الأيسر $- 4$ ليس أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

خطأ

خطوة 3.2.8.3

اختبر قيمة في الفترة $x > 0$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.8.3.1

اختر قيمة من الفترة $x > 0$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 2$

خطوة 3.2.8.3.2

استبدِل $x$ بـ $2$ في المتباينة الأصلية.

${(2)}^{2} + 4 (2) > 0$

خطوة 3.2.8.3.3

الطرف الأيسر $12$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

صائب

خطوة 3.2.8.4

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < - 4$ صحيحة

$- 4 < x < 0$ خطأ

$x > 0$ صحيحة

$x < - 4$ صحيحة

$- 4 < x < 0$ خطأ

$x > 0$ صحيحة

خطوة 3.2.9

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$x < - 4$ أو $x > 0$

خطوة 3.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$(- \infty, - 4) \cup (0, \infty)$

خطوة 4

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 4$

$- 4 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

خطوة 5

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اختبر قيمة في الفترة $x < - 8$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < - 8$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 10$

خطوة 5.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 10$ في المتباينة الأصلية.

$\log_{2} (- 10) + \log_{2} ((- 10) + 4) < 5$

خطوة 5.1.3

حدد ما إذا كانت المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

لا يمكن حل المعادلة لأنها غير معرّفة.

$غير معرّف$

خطوة 5.1.3.2

الطرف الأيسر ليس له حل، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

خطأ

خطوة 5.2

اختبر قيمة في الفترة $- 8 < x < - 4$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اختر قيمة من الفترة $- 8 < x < - 4$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 6$

خطوة 5.2.2

استبدِل $x$ بـ $- 6$ في المتباينة الأصلية.

$\log_{2} (- 6) + \log_{2} ((- 6) + 4) < 5$

خطوة 5.2.3

حدد ما إذا كانت المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

لا يمكن حل المعادلة لأنها غير معرّفة.

$غير معرّف$

خطوة 5.2.3.2

الطرف الأيسر ليس له حل، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

خطأ

خطوة 5.3

اختبر قيمة في الفترة $- 4 < x < 0$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اختر قيمة من الفترة $- 4 < x < 0$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 2$

خطوة 5.3.2

استبدِل $x$ بـ $- 2$ في المتباينة الأصلية.

$\log_{2} (- 2) + \log_{2} ((- 2) + 4) < 5$

خطوة 5.3.3

حدد ما إذا كانت المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

لا يمكن حل المعادلة لأنها غير معرّفة.

$غير معرّف$

خطوة 5.3.3.2

الطرف الأيسر ليس له حل، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

خطأ

خطوة 5.4

اختبر قيمة في الفترة $0 < x < 4$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اختر قيمة من الفترة $0 < x < 4$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 2$

خطوة 5.4.2

استبدِل $x$ بـ $2$ في المتباينة الأصلية.

$\log_{2} (2) + \log_{2} ((2) + 4) < 5$

خطوة 5.4.3

الطرف الأيسر $3.5849625$ أصغر من الطرف الأيمن $5$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

صائب

خطوة 5.5

اختبر قيمة في الفترة $x > 4$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اختر قيمة من الفترة $x > 4$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 6$

خطوة 5.5.2

استبدِل $x$ بـ $6$ في المتباينة الأصلية.

$\log_{2} (6) + \log_{2} ((6) + 4) < 5$

خطوة 5.5.3

الطرف الأيسر $5.90689059$ ليس أصغر من الطرف الأيمن $5$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

خطأ

خطوة 5.6

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < - 8$ خطأ

$- 8 < x < - 4$ خطأ

$- 4 < x < 0$ خطأ

$0 < x < 4$ صحيحة

$x > 4$ خطأ

$x < - 8$ خطأ

$- 8 < x < - 4$ خطأ

$- 4 < x < 0$ خطأ

$0 < x < 4$ صحيحة

$x > 4$ خطأ

خطوة 6

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$0 < x < 4$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

صيغة التباين:

$0 < x < 4$

ترميز الفترة:

$(0, 4)$

خطوة 8