الجبر الأمثلة

$y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$

خطوة 1

بادِل المتغيرات.

$x = \frac{2 y + 1}{y - 1}$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب المعادلة في $y - 1$ .

$(y - 1) (x) = (\frac{2 y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

خطوة 2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط $(y - 1) (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y x - 1 x = (\frac{2 y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$y x - x = (\frac{2 y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

خطوة 2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y x - x = \frac{2 y + 1}{y - 1} (y - 1)$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y x - x = 2 y + 1$

خطوة 2.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

اطرح $2 y$ من كلا المتعادلين.

$y x - x - 2 y = 1$

خطوة 2.4.2

أضف $x$ إلى كلا المتعادلين.

$y x - 2 y = 1 + x$

خطوة 2.4.3

أخرِج العامل $y$ من $y x - 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1

أخرِج العامل $y$ من $y x$ .

$y (x) - 2 y = 1 + x$

خطوة 2.4.3.2

أخرِج العامل $y$ من $- 2 y$ .

$y (x) + y \cdot - 2 = 1 + x$

خطوة 2.4.3.3

أخرِج العامل $y$ من $y (x) + y \cdot - 2$ .

$y (x - 2) = 1 + x$

خطوة 2.4.4

اقسِم كل حد في $y (x - 2) = 1 + x$ على $x - 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.4.1

اقسِم كل حد في $y (x - 2) = 1 + x$ على $x - 2$ .

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{1}{x - 2} + \frac{x}{x - 2}$

خطوة 2.4.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{1}{x - 2} + \frac{x}{x - 2}$

خطوة 2.4.4.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{1}{x - 2} + \frac{x}{x - 2}$

خطوة 2.4.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.4.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{1 + x}{x - 2}$

خطوة 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 2}$

خطوة 4

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 2}$ هي معكوس $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 4.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 4.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1})$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{1 + \frac{2 x + 1}{x - 1}}{(\frac{2 x + 1}{x - 1}) - 2}$

خطوة 4.2.3

احذِف الأقواس.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{1 + \frac{2 x + 1}{x - 1}}{(\frac{2 x + 1}{x - 1}) - 2}$

خطوة 4.2.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

اضرب $\frac{1 + \frac{2 x + 1}{x - 1}}{\frac{2 x + 1}{x - 1} - 2}$ في $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{1 + \frac{2 x + 1}{x - 1}}{\frac{2 x + 1}{x - 1} - 2}$

خطوة 4.2.4.2

اجمع.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (1 + \frac{2 x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1} - 2)}$

خطوة 4.2.5

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + (x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

خطوة 4.2.6

بسّط بالحذف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + (x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

خطوة 4.2.6.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + 2 x + 1}{(x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

خطوة 4.2.6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + 2 x + 1}{(x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

خطوة 4.2.6.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + 2 x + 1}{2 x + 1 + (x - 1) \cdot - 2}$

خطوة 4.2.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.7.1

اضرب $x - 1$ في $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{x - 1 + 2 x + 1}{2 x + 1 + (x - 1) \cdot - 2}$

خطوة 4.2.7.2

أضف $x$ و $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x - 1 + 1}{2 x + 1 + (x - 1) \cdot - 2}$

خطوة 4.2.7.3

أضف $- 1$ و $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x + 0}{2 x + 1 + (x - 1) \cdot - 2}$

خطوة 4.2.7.4

أضف $3 x$ و $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{2 x + 1 + (x - 1) \cdot - 2}$

خطوة 4.2.8

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{2 x + 1 + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2}$

خطوة 4.2.8.2

انقُل $- 2$ إلى يسار $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{2 x + 1 - 2 \cdot x - 1 \cdot - 2}$

خطوة 4.2.8.3

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{2 x + 1 - 2 \cdot x + 2}$

خطوة 4.2.8.4

اطرح $2 x$ من $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{0 + 1 + 2}$

خطوة 4.2.8.5

أضف $0$ و $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{1 + 2}$

خطوة 4.2.8.6

أضف $1$ و $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{3}$

خطوة 4.2.9

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.9.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{3}$

خطوة 4.2.9.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = x$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 4.3.2

احسِب قيمة $f (\frac{1 + x}{x - 2})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{2 (\frac{1 + x}{x - 2}) + 1}{(\frac{1 + x}{x - 2}) - 1}$

خطوة 4.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

اضرب $\frac{2 \frac{1 + x}{x - 2} + 1}{\frac{1 + x}{x - 2} - 1}$ في $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{x - 2}{x - 2} \cdot \frac{2 (\frac{1 + x}{x - 2}) + 1}{\frac{1 + x}{x - 2} - 1}$

خطوة 4.3.3.2

اجمع.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2}) + 1)}{(x - 2) (\frac{1 + x}{x - 2} - 1)}$

خطوة 4.3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2})) + (x - 2) \cdot 1}{(x - 2) (\frac{1 + x}{x - 2}) + (x - 2) \cdot - 1}$

خطوة 4.3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2})) + (x - 2) \cdot 1}{(x - 2) (\frac{1 + x}{x - 2}) + (x - 2) \cdot - 1}$

خطوة 4.3.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2})) + (x - 2) \cdot 1}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

خطوة 4.3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.6.1

أخرِج العامل $x - 2$ من $(x - 2) \cdot 2 \frac{1 + x}{x - 2} + (x - 2) \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.6.1.1

أخرِج العامل $x - 2$ من $(x - 2) \cdot 2 \frac{1 + x}{x - 2}$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2})) + (x - 2) \cdot 1}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

خطوة 4.3.6.1.2

أخرِج العامل $x - 2$ من $(x - 2) \cdot 1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2})) + (x - 2) (1)}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

خطوة 4.3.6.1.3

أخرِج العامل $x - 2$ من $(x - 2) (2 \frac{1 + x}{x - 2}) + (x - 2) (1)$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2}) + 1)}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

خطوة 4.3.6.2

اجمع $2$ و $\frac{1 + x}{x - 2}$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{2 (1 + x)}{x - 2} + 1)}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

خطوة 4.3.6.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{2 (1 + x)}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

خطوة 4.3.6.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{2 (1 + x) + x - 2}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

خطوة 4.3.6.5

أعِد ترتيب الحدود.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x + 2 (1 + x) - 2}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

خطوة 4.3.6.6

أعِد كتابة $\frac{x + 2 (1 + x) - 2}{x - 2}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.6.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x + 2 \cdot 1 + 2 x - 2}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

خطوة 4.3.6.6.2

اضرب $2$ في $1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x + 2 + 2 x - 2}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

خطوة 4.3.6.6.3

أضف $x$ و $2 x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x + 2 - 2}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

خطوة 4.3.6.6.4

اطرح $2$ من $2$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x + 0}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

خطوة 4.3.6.6.5

أضف $3 x$ و $0$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

خطوة 4.3.7

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{1 + x + x \cdot - 1 - 2 \cdot - 1}$

خطوة 4.3.7.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{1 + x - 1 \cdot x - 2 \cdot - 1}$

خطوة 4.3.7.3

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{1 + x - 1 \cdot x + 2}$

خطوة 4.3.7.4

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{1 + x - x + 2}$

خطوة 4.3.7.5

أضف $1$ و $2$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{x - x + 3}$

خطوة 4.3.7.6

اطرح $x$ من $x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{0 + 3}$

خطوة 4.3.7.7

أضف $0$ و $3$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{3}$

خطوة 4.3.8

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.8.1

أخرِج العامل $\frac{3 x}{x - 2}$ من $\frac{(x - 2) \frac{3 x}{x - 2}}{3}$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{3 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{3}$

خطوة 4.3.8.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.8.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{3 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{3}$

خطوة 4.3.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{3 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{3}$

خطوة 4.3.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

خطوة 4.3.8.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.8.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

خطوة 4.3.8.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = x$

خطوة 4.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 2}$ هي معكوس $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 2}$