الجبر الأمثلة

$f (x) = e^{x} - 3$

خطوة 1

اكتب $f (x) = e^{x} - 3$ في صورة معادلة.

$y = e^{x} - 3$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = e^{y} - 3$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $e^{y} - 3 = x$ .

$e^{y} - 3 = x$

خطوة 3.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$e^{y} = x + 3$

خطوة 3.3

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{y}) = \ln (x + 3)$

خطوة 3.4

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

وسّع $\ln (e^{y})$ بنقل $y$ خارج اللوغاريتم.

$y \ln (e) = \ln (x + 3)$

خطوة 3.4.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (x + 3)$

خطوة 3.4.3

اضرب $y$ في $1$ .

$y = \ln (x + 3)$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = \ln (x + 3)$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \ln (x + 3)$ هي معكوس $f (x) = e^{x} - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (e^{x} - 3)$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = \ln ((e^{x} - 3) + 3)$

خطوة 5.2.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $(e^{x} - 3) + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

أضف $- 3$ و $3$ .

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = \ln (e^{x} + 0)$

خطوة 5.2.3.2

أضف $e^{x}$ و $0$ .

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = \ln (e^{x})$

خطوة 5.2.4

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $x$ خارج الأُس.

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = x \ln (e)$

خطوة 5.2.5

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = x \cdot 1$

خطوة 5.2.6

اضرب $x$ في $1$ .

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (\ln (x + 3))$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\ln (x + 3)) = e^{\ln (x + 3)} - 3$

خطوة 5.3.3

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f (\ln (x + 3)) = x + 3 - 3$

خطوة 5.3.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $x + 3 - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

اطرح $3$ من $3$ .

$f (\ln (x + 3)) = x + 0$

خطوة 5.3.4.2

أضف $x$ و $0$ .

$f (\ln (x + 3)) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \ln (x + 3)$ هي معكوس $f (x) = e^{x} - 3$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (x + 3)$