الجبر الأمثلة

$y = x^{4} + x^{3} - 7 x^{2} - x + 6$

خطوة 1

أعِد تجميع الحدود.

$y = x^{4} + x^{3} - 7 x^{2} - x + 6$

خطوة 2

أخرِج العامل $x^{3}$ من $x^{4} + x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أخرِج العامل $x^{3}$ من $x^{4}$ .

$y = x^{3} x + x^{3} - 7 x^{2} - x + 6$

خطوة 2.2

اضرب في $1$ .

$y = x^{3} x + x^{3} \cdot 1 - 7 x^{2} - x + 6$

خطوة 2.3

أخرِج العامل $x^{3}$ من $x^{3} x + x^{3} \cdot 1$ .

$y = x^{3} (x + 1) - 7 x^{2} - x + 6$

خطوة 3

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = - 7 \cdot 6 = - 42$ ومجموعهما $b = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$y = x^{3} (x + 1) - 7 x^{2} - (x) + 6$

خطوة 3.1.2

أعِد كتابة $- 1$ في صورة $6$ زائد $- 7$

$y = x^{3} (x + 1) - 7 x^{2} + (6 - 7) x + 6$

خطوة 3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y = x^{3} (x + 1) - 7 x^{2} + 6 x - 7 x + 6$

خطوة 3.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$y = x^{3} (x + 1) + (- 7 x^{2} + 6 x) - 7 x + 6$

خطوة 3.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$y = x^{3} (x + 1) + x (- 7 x + 6) + 1 (- 7 x + 6)$

خطوة 3.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- 7 x + 6$ .

$y = x^{3} (x + 1) + (- 7 x + 6) (x + 1)$

خطوة 4

أخرِج العامل $x + 1$ من $x^{3} (x + 1) + (- 7 x + 6) (x + 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أخرِج العامل $x + 1$ من $x^{3} (x + 1)$ .

$y = (x + 1) x^{3} + (- 7 x + 6) (x + 1)$

خطوة 4.2

أخرِج العامل $x + 1$ من $(- 7 x + 6) (x + 1)$ .

$y = (x + 1) x^{3} + (x + 1) (- 7 x + 6)$

خطوة 4.3

أخرِج العامل $x + 1$ من $(x + 1) x^{3} + (x + 1) (- 7 x + 6)$ .

$y = (x + 1) (x^{3} - 7 x + 6)$

خطوة 5

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة $x^{3} - 7 x + 6$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

حلّل $x^{3} - 7 x + 6$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

خطوة 5.1.1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

خطوة 5.1.1.3

عوّض بـ $1$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $1$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.3.1

عوّض بـ $1$ في متعدد الحدود.

$1^{3} - 7 \cdot 1 + 6$

خطوة 5.1.1.3.2

ارفع $1$ إلى القوة $3$ .

$1 - 7 \cdot 1 + 6$

خطوة 5.1.1.3.3

اضرب $- 7$ في $1$ .

$1 - 7 + 6$

خطوة 5.1.1.3.4

اطرح $7$ من $1$ .

$- 6 + 6$

خطوة 5.1.1.3.5

أضف $- 6$ و $6$ .

$0$

خطوة 5.1.1.4

بما أن $1$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $x - 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{3} - 7 x + 6}{x - 1}$

خطوة 5.1.1.5

اقسِم $x^{3} - 7 x + 6$ على $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$6$

خطوة 5.1.1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$

خطوة 5.1.1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

خطوة 5.1.1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

خطوة 5.1.1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

خطوة 5.1.1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$7 x$

خطوة 5.1.1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$7 x$

خطوة 5.1.1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

خطوة 5.1.1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{2} - x$

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$7 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

خطوة 5.1.1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$7 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$

خطوة 5.1.1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$7 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	+	$6$

خطوة 5.1.1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 6 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$7 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	+	$6$

خطوة 5.1.1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$7 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	+	$6$
							-	$6 x$	+	$6$

خطوة 5.1.1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 6 x + 6$

				$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$7 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	+	$6$
							+	$6 x$	-	$6$

خطوة 5.1.1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$7 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	+	$6$
							+	$6 x$	-	$6$
										$0$

خطوة 5.1.1.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$x^{2} + x - 6$

خطوة 5.1.1.6

اكتب $x^{3} - 7 x + 6$ في صورة مجموعة من العوامل.

$y = (x + 1) ((x - 1) (x^{2} + x - 6))$

خطوة 5.1.2

حلّل $x^{2} + x - 6$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

حلّل $x^{2} + x - 6$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 6$ ومجموعهما $1$ .

$- 2, 3$

خطوة 5.1.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$y = (x + 1) ((x - 1) ((x - 2) (x + 3)))$

خطوة 5.1.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$y = (x + 1) ((x - 1) (x - 2) (x + 3))$

خطوة 5.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$y = (x + 1) (x - 1) (x - 2) (x + 3)$