الجبر الأمثلة

$2 x - 2 y = x^{2} + 9$

خطوة 1

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $2 x$ من كلا المتعادلين.

$- 2 y = x^{2} + 9 - 2 x$

خطوة 1.2

اقسِم كل حد في $- 2 y = x^{2} + 9 - 2 x$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اقسِم كل حد في $- 2 y = x^{2} + 9 - 2 x$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{x^{2}}{- 2} + \frac{9}{- 2} + \frac{- 2 x}{- 2}$

خطوة 1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{x^{2}}{- 2} + \frac{9}{- 2} + \frac{- 2 x}{- 2}$

خطوة 1.2.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{- 2} + \frac{9}{- 2} + \frac{- 2 x}{- 2}$

خطوة 1.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{9}{- 2} + \frac{- 2 x}{- 2}$

خطوة 1.2.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{9}{2} + \frac{- 2 x}{- 2}$

خطوة 1.2.3.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{9}{2} + \frac{- 2 x}{- 2}$

خطوة 1.2.3.1.3.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{9}{2} + x$

خطوة 2

أوجِد خصائص القطع المكافئ المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة بصيغة الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

انقُل $- \frac{9}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x - \frac{9}{2}$

خطوة 2.1.2

أكمل المربع لـ $- \frac{x^{2}}{2} + x - \frac{9}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$b = 1$

$c = - \frac{9}{2}$

خطوة 2.1.2.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 2.1.2.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 (- \frac{1}{2})}$

خطوة 2.1.2.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $1$ و $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.2.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{- 1 (- 1)}{2 (- \frac{1}{2})}$

خطوة 2.1.2.3.2.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$d = - \frac{1}{2 (\frac{1}{2})}$

خطوة 2.1.2.3.2.2

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$d = - \frac{1}{\frac{2}{2}}$

خطوة 2.1.2.3.2.3

اقسِم $2$ على $2$ .

$d = - \frac{1}{1}$

خطوة 2.1.2.3.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$d = - \frac{1}{1}$

خطوة 2.1.2.3.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$d = - 1 \cdot 1$

خطوة 2.1.2.3.2.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$d = - 1$

خطوة 2.1.2.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

خطوة 2.1.2.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.4.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$e = - \frac{9}{2} - \frac{1}{4 (- \frac{1}{2})}$

خطوة 2.1.2.4.2.1.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.4.2.1.2.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$e = - \frac{9}{2} - \frac{1}{- 4 (\frac{1}{2})}$

خطوة 2.1.2.4.2.1.2.2

اجمع $- 4$ و $\frac{1}{2}$ .

$e = - \frac{9}{2} - \frac{1}{\frac{- 4}{2}}$

خطوة 2.1.2.4.2.1.3

اقسِم $- 4$ على $2$ .

$e = - \frac{9}{2} - \frac{1}{- 2}$

خطوة 2.1.2.4.2.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$e = - \frac{9}{2} - - \frac{1}{2}$

خطوة 2.1.2.4.2.1.5

اضرب $- - \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.4.2.1.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$e = - \frac{9}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

خطوة 2.1.2.4.2.1.5.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$e = - \frac{9}{2} + \frac{1}{2}$

خطوة 2.1.2.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$e = \frac{- 9 + 1}{2}$

خطوة 2.1.2.4.2.3

أضف $- 9$ و $1$ .

$e = \frac{- 8}{2}$

خطوة 2.1.2.4.2.4

اقسِم $- 8$ على $2$ .

$e = - 4$

خطوة 2.1.2.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $- \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} - 4$ .

$- \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} - 4$

خطوة 2.1.3

عيّن قيمة $y$ لتصبح مساوية للطرف الأيمن الجديد.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{2} - 4$

خطوة 2.2

استخدِم صيغة الرأس، $y = a {(x - h)}^{2} + k$ ، لتحديد قيم $a$ و $h$ و $k$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$h = 1$

$k = - 4$

خطوة 2.3

بما أن قيمة $a$ سالبة، إذن القطع المكافئ مفتوح إلى أسفل.

مفتوح إلى أسفل

خطوة 2.4

أوجِد الرأس $(h, k)$ .

$(1, - 4)$

خطوة 2.5

أوجِد $p$ ، المسافة من الرأس إلى البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أوجِد المسافة من الرأس إلى بؤرة القطع المكافئ باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{1}{4 a}$

خطوة 2.5.2

عوّض بقيمة $a$ في القاعدة.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

خطوة 2.5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $1$ و $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

خطوة 2.5.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

خطوة 2.5.3.2

اجمع $4$ و $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

خطوة 2.5.3.3

اقسِم $4$ على $2$ .

$- \frac{1}{2}$

خطوة 2.6

أوجِد البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

يمكن إيجاد بؤرة القطع المكافئ بجمع $p$ مع الإحداثي الصادي $k$ إذا كان القطع المكافئ مفتوحًا إلى أعلى أو إلى أسفل.

$(h, k + p)$

خطوة 2.6.2

عوّض بقيم $h$ و $p$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(1, - \frac{9}{2})$

خطوة 2.7

أوجِد محور التناظر بإيجاد الخط الذي يمر عبر الرأس والبؤرة.

$x = 1$

خطوة 2.8

أوجِد الدليل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

دليل القطع المكافئ هو الخط الأفقي الذي يمكن إيجاده بطرح $p$ من الإحداثي الصادي $k$ للرأس إذا كان القطع المكافئ مفتوح إلى أعلى أو إلى أسفل.

$y = k - p$

خطوة 2.8.2

عوّض بقيمتَي $p$ و $k$ المعروفتين في القاعدة وبسّط.

$y = - \frac{7}{2}$

خطوة 2.9

استخدِم خصائص القطع المكافئ لتحليل القطع المكافئ وتمثيله بيانيًا.

الاتجاه: مفتوح للأسفل

الرأس: $(1, - 4)$

البؤرة: $(1, - \frac{9}{2})$

محور التناظر: $x = 1$

الدليل: $y = - \frac{7}{2}$

الاتجاه: مفتوح للأسفل

الرأس: $(1, - 4)$

البؤرة: $(1, - \frac{9}{2})$

محور التناظر: $x = 1$

الدليل: $y = - \frac{7}{2}$

خطوة 3

حدد بعض قيم $x$ ، وعوّض بها في المعادلة لإيجاد قيم $y$ المناظرة. يجب تحديد قيم $x$ حول الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{2} - 1 - \frac{9}{2}$

خطوة 3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

احذِف الأقواس.

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{2} - 1 - \frac{9}{2}$

خطوة 3.2.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- 1) = - 1 + \frac{- {(- 1)}^{2} - 9}{2}$

خطوة 3.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اضرب $- 1$ في ${(- 1)}^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اضرب $- 1$ في ${(- 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $1$ .

$f (- 1) = - 1 + \frac{(- 1) {(- 1)}^{2} - 9}{2}$

خطوة 3.2.2.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (- 1) = - 1 + \frac{{(- 1)}^{1 + 2} - 9}{2}$

خطوة 3.2.2.1.2

أضف $1$ و $2$ .

$f (- 1) = - 1 + \frac{{(- 1)}^{3} - 9}{2}$

خطوة 3.2.2.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f (- 1) = - 1 + \frac{- 1 - 9}{2}$

خطوة 3.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

اطرح $9$ من $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 + \frac{- 10}{2}$

خطوة 3.2.3.2

اقسِم $- 10$ على $2$ .

$f (- 1) = - 1 - 5$

خطوة 3.2.3.3

اطرح $5$ من $- 1$ .

$f (- 1) = - 6$

خطوة 3.2.4

الإجابة النهائية هي $- 6$ .

$- 6$

خطوة 3.3

قيمة $y$ عند $x = - 1$ تساوي $- 6$ .

$y = - 6$

خطوة 3.4

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 0 - \frac{9}{2}$

خطوة 3.5

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1

احذِف الأقواس.

$f (0) = - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 0 - \frac{9}{2}$

خطوة 3.5.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (0) = \frac{- {(0)}^{2} - 9}{2}$

خطوة 3.5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = \frac{- 0 - 9}{2}$

خطوة 3.5.2.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f (0) = \frac{0 - 9}{2}$

خطوة 3.5.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

اطرح $9$ من $0$ .

$f (0) = \frac{- 9}{2}$

خطوة 3.5.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (0) = - \frac{9}{2}$

خطوة 3.5.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{9}{2}$ .

$- \frac{9}{2}$

خطوة 3.6

قيمة $y$ عند $x = 0$ تساوي $- \frac{9}{2}$ .

$y = - \frac{9}{2}$

خطوة 3.7

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f (3) = - \frac{{(3)}^{2}}{2} + 3 - \frac{9}{2}$

خطوة 3.8

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1.1

احذِف الأقواس.

$f (3) = - \frac{{(3)}^{2}}{2} + 3 - \frac{9}{2}$

خطوة 3.8.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (3) = 3 + \frac{- {(3)}^{2} - 9}{2}$

خطوة 3.8.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.2.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f (3) = 3 + \frac{- 1 \cdot 9 - 9}{2}$

خطوة 3.8.2.2

اضرب $- 1$ في $9$ .

$f (3) = 3 + \frac{- 9 - 9}{2}$

خطوة 3.8.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.3.1

اطرح $9$ من $- 9$ .

$f (3) = 3 + \frac{- 18}{2}$

خطوة 3.8.3.2

اقسِم $- 18$ على $2$ .

$f (3) = 3 - 9$

خطوة 3.8.3.3

اطرح $9$ من $3$ .

$f (3) = - 6$

خطوة 3.8.4

الإجابة النهائية هي $- 6$ .

$- 6$

خطوة 3.9

قيمة $y$ عند $x = 3$ تساوي $- 6$ .

$y = - 6$

خطوة 3.10

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{2} + 2 - \frac{9}{2}$

خطوة 3.11

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1.1

احذِف الأقواس.

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{2} + 2 - \frac{9}{2}$

خطوة 3.11.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (2) = 2 + \frac{- {(2)}^{2} - 9}{2}$

خطوة 3.11.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.2.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (2) = 2 + \frac{- 1 \cdot 4 - 9}{2}$

خطوة 3.11.2.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$f (2) = 2 + \frac{- 4 - 9}{2}$

خطوة 3.11.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.3.1

اطرح $9$ من $- 4$ .

$f (2) = 2 + \frac{- 13}{2}$

خطوة 3.11.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (2) = 2 - \frac{13}{2}$

خطوة 3.11.4

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{13}{2}$

خطوة 3.11.5

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{13}{2}$

خطوة 3.11.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (2) = \frac{2 \cdot 2 - 13}{2}$

خطوة 3.11.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.7.1

اضرب $2$ في $2$ .

$f (2) = \frac{4 - 13}{2}$

خطوة 3.11.7.2

اطرح $13$ من $4$ .

$f (2) = \frac{- 9}{2}$

خطوة 3.11.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (2) = - \frac{9}{2}$

خطوة 3.11.9

الإجابة النهائية هي $- \frac{9}{2}$ .

$- \frac{9}{2}$

خطوة 3.12

قيمة $y$ عند $x = 2$ تساوي $- \frac{9}{2}$ .

$y = - \frac{9}{2}$

خطوة 3.13

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 6 \\ 0 & - \frac{9}{2} \\ 1 & - 4 \\ 2 & - \frac{9}{2} \\ 3 & - 6 \end{array}$

خطوة 4

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

الاتجاه: مفتوح للأسفل

الرأس: $(1, - 4)$

البؤرة: $(1, - \frac{9}{2})$

محور التناظر: $x = 1$

الدليل: $y = - \frac{7}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 6 \\ 0 & - \frac{9}{2} \\ 1 & - 4 \\ 2 & - \frac{9}{2} \\ 3 & - 6 \end{array}$

خطوة 5