الجبر الأمثلة

$(\frac{2 a + b}{a} - \frac{a + 2 b}{b}) \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

خطوة 1

لكتابة $\frac{2 a + b}{a}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{b}{b}$ .

$(\frac{2 a + b}{a} \cdot \frac{b}{b} - \frac{a + 2 b}{b}) \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

خطوة 2

لكتابة $- \frac{a + 2 b}{b}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{a}{a}$ .

$(\frac{2 a + b}{a} \cdot \frac{b}{b} - \frac{a + 2 b}{b} \cdot \frac{a}{a}) \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

خطوة 3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $a b$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $\frac{2 a + b}{a}$ في $\frac{b}{b}$ .

$(\frac{(2 a + b) b}{a b} - \frac{a + 2 b}{b} \cdot \frac{a}{a}) \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

خطوة 3.2

اضرب $\frac{a + 2 b}{b}$ في $\frac{a}{a}$ .

$(\frac{(2 a + b) b}{a b} - \frac{(a + 2 b) a}{b a}) \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

خطوة 3.3

أعِد ترتيب عوامل $b a$ .

$(\frac{(2 a + b) b}{a b} - \frac{(a + 2 b) a}{a b}) \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

خطوة 4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{(2 a + b) b - (a + 2 b) a}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

خطوة 5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 a b + b \cdot b - (a + 2 b) a}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

خطوة 5.2

اضرب $b$ في $b$ .

$\frac{2 a b + b^{2} - (a + 2 b) a}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

خطوة 5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 a b + b^{2} + (- a - (2 b)) a}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

خطوة 5.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{2 a b + b^{2} + (- a - 2 b) a}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

خطوة 5.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 a b + b^{2} - a \cdot a - 2 b a}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

خطوة 5.6

اضرب $a$ في $a$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

انقُل $a$ .

$\frac{2 a b + b^{2} - (a \cdot a) - 2 b a}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

خطوة 5.6.2

اضرب $a$ في $a$ .

$\frac{2 a b + b^{2} - a^{2} - 2 b a}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

خطوة 5.7

اطرح $2 b a$ من $2 a b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

انقُل $b$ .

$\frac{b^{2} - a^{2} + 2 a b - 2 a b}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

خطوة 5.7.2

اطرح $2 a b$ من $2 a b$ .

$\frac{b^{2} - a^{2} + 0}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

خطوة 5.8

أضف $b^{2} - a^{2}$ و $0$ .

$\frac{b^{2} - a^{2}}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

خطوة 5.9

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = b$ و $b = a$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

خطوة 6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أخرِج العامل $b$ من $b^{2} + a b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أخرِج العامل $b$ من $b^{2}$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b \cdot b + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

خطوة 6.1.2

أخرِج العامل $b$ من $a b$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b \cdot b + b a} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

خطوة 6.1.3

أخرِج العامل $b$ من $b \cdot b + b a$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b (b + a)} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

خطوة 6.2

أخرِج العامل $b$ من $b^{2} - a b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أخرِج العامل $b$ من $b^{2}$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b (b + a)} + \frac{a + b}{b \cdot b - a b})$

خطوة 6.2.2

أخرِج العامل $b$ من $- a b$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b (b + a)} + \frac{a + b}{b \cdot b + b (- a)})$

خطوة 6.2.3

أخرِج العامل $b$ من $b \cdot b + b (- a)$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b (b + a)} + \frac{a + b}{b (b - a)})$

خطوة 7

لكتابة $\frac{a - b}{b (b + a)}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{b - a}{b - a}$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b (b + a)} \cdot \frac{b - a}{b - a} + \frac{a + b}{b (b - a)})$

خطوة 8

لكتابة $\frac{a + b}{b (b - a)}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{b + a}{b + a}$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b (b + a)} \cdot \frac{b - a}{b - a} + \frac{a + b}{b (b - a)} \cdot \frac{b + a}{b + a})$

خطوة 9

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $b (b + a) (b - a)$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اضرب $\frac{a - b}{b (b + a)}$ في $\frac{b - a}{b - a}$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot (\frac{(a - b) (b - a)}{b (b + a) (b - a)} + \frac{a + b}{b (b - a)} \cdot \frac{b + a}{b + a})$

خطوة 9.2

اضرب $\frac{a + b}{b (b - a)}$ في $\frac{b + a}{b + a}$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot (\frac{(a - b) (b - a)}{b (b + a) (b - a)} + \frac{(a + b) (b + a)}{b (b - a) (b + a)})$

خطوة 9.3

أعِد ترتيب عوامل $b (b - a) (b + a)$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot (\frac{(a - b) (b - a)}{b (b + a) (b - a)} + \frac{(a + b) (b + a)}{b (b + a) (b - a)})$

خطوة 10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{(a - b) (b - a) + (a + b) (b + a)}{b (b + a) (b - a)}$

خطوة 11

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{(a - b) (b - a) + (a + b) (a + b)}{b (b + a) (b - a)}$

خطوة 11.2

ارفع $a + b$ إلى القوة $1$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{(a - b) (b - a) + {(a + b)}^{1} (a + b)}{b (b + a) (b - a)}$

خطوة 11.3

ارفع $a + b$ إلى القوة $1$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{(a - b) (b - a) + {(a + b)}^{1} {(a + b)}^{1}}{b (b + a) (b - a)}$

خطوة 11.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{(a - b) (b - a) + {(a + b)}^{1 + 1}}{b (b + a) (b - a)}$

خطوة 11.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{(a - b) (b - a) + {(a + b)}^{2}}{b (b + a) (b - a)}$

خطوة 11.6

أعِد كتابة $(- a + b) (b - a)$ بالصيغة ${(- a + b)}^{2}$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{- {(- a + b)}^{2} + {(a + b)}^{2}}{b (b + a) (b - a)}$

خطوة 11.7

أعِد ترتيب $- {(- a + b)}^{2}$ و ${(a + b)}^{2}$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{{(a + b)}^{2} - {(- a + b)}^{2}}{b (b + a) (b - a)}$

خطوة 11.8

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = a + b$ و $b = - a + b$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{(a + b - a + b) (a + b - (- a + b))}{b (b + a) (b - a)}$

خطوة 11.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.9.1

اطرح $a$ من $a$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{(b + 0 + b) (a + b - (- a + b))}{b (b + a) (b - a)}$

خطوة 11.9.2

أضف $b$ و $0$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{(b + b) (a + b - (- a + b))}{b (b + a) (b - a)}$

خطوة 11.9.3

أضف $b$ و $b$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{2 b (a + b - (- a + b))}{b (b + a) (b - a)}$

خطوة 11.9.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{2 b (a + b - - a - b)}{b (b + a) (b - a)}$

خطوة 11.9.5

اضرب $- - a$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.9.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{2 b (a + b + 1 a - b)}{b (b + a) (b - a)}$

خطوة 11.9.5.2

اضرب $a$ في $1$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{2 b (a + b + a - b)}{b (b + a) (b - a)}$

خطوة 11.9.6

أضف $a$ و $a$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{2 b (2 a + b - b)}{b (b + a) (b - a)}$

خطوة 11.9.7

اطرح $b$ من $b$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{2 b (2 a + 0)}{b (b + a) (b - a)}$

خطوة 11.9.8

أضف $2 a$ و $0$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{2 b \cdot 2 a}{b (b + a) (b - a)}$

خطوة 11.9.9

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{4 b a}{b (b + a) (b - a)}$

خطوة 12

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

ألغِ العامل المشترك لـ $(b + a) (b - a)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

أخرِج العامل $(b + a) (b - a)$ من $b (b + a) (b - a)$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{4 b a}{(b + a) (b - a) (b)}$

خطوة 12.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{4 b a}{(b + a) (b - a) b}$

خطوة 12.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{a b} \cdot \frac{4 b a}{b}$

خطوة 12.2

ألغِ العامل المشترك لـ $b a$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

أخرِج العامل $b a$ من $a b$ .

$\frac{1}{b a (1)} \cdot \frac{4 b a}{b}$

خطوة 12.2.2

أخرِج العامل $b a$ من $4 b a$ .

$\frac{1}{b a (1)} \cdot \frac{b a (4)}{b}$

خطوة 12.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{b a \cdot 1} \cdot \frac{b a \cdot 4}{b}$

خطوة 12.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4}{b}$