الأمثلة

$S = {(1, 1, 1), (0, 1, 1)}$

خطوة 1

عيّن اسمًا لكل متجه.

${u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

${u⃗}_{2} = (0, 1, 1)$

خطوة 2

المتجه المتعامد الأول هو المتجه الأول في مجموعة المتجهات المحددة.

${v⃗}_{1} = {u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

خطوة 3

استخدم القاعدة لإيجاد المتجهات المتعامدة الأخرى.

${v⃗}_{k} = {u⃗}_{k} - \sum_{i = 1}^{k - 1} {proj}_{{v⃗}_{i}} ({u⃗}_{k})$

خطوة 4

أوجِد المتجه المتعامد ${v⃗}_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استخدم القاعدة لإيجاد ${v⃗}_{2}$ .

${v⃗}_{2} = {u⃗}_{2} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة ${u⃗}_{2}$ التي تساوي $(0, 1, 1)$ .

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

خطوة 4.3

أوجِد ${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أوجِد حاصل الضرب القياسي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

حاصل الضرب القياسي لمتجهين هو مجموع حاصل ضرب مكوناتهما.

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

خطوة 4.3.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.2.1.1

اضرب $0$ في $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

خطوة 4.3.1.2.1.2

اضرب $1$ في $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1 \cdot 1$

خطوة 4.3.1.2.1.3

اضرب $1$ في $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1$

خطوة 4.3.1.2.2

أضف $0$ و $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 1 + 1$

خطوة 4.3.1.2.3

أضف $1$ و $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2$

خطوة 4.3.2

أوجِد معيار ${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

المعيار هو الجذر التربيعي لمجموع تربيع كل عنصر في المتجه.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

خطوة 4.3.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

خطوة 4.3.2.2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

خطوة 4.3.2.2.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}$

خطوة 4.3.2.2.4

أضف $1$ و $1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}$

خطوة 4.3.2.2.5

أضف $2$ و $1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

خطوة 4.3.3

أوجِد إسقاط ${u⃗}_{2}$ على ${v⃗}_{1}$ باستخدام قاعدة الإسقاط.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

خطوة 4.3.4

عوّض بقيمة ${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}$ التي تساوي $2$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

خطوة 4.3.5

عوّض بقيمة $| | {v⃗}_{1} | |$ التي تساوي $\sqrt{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

خطوة 4.3.6

عوّض بقيمة ${v⃗}_{1}$ التي تساوي $(1, 1, 1)$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)$

خطوة 4.3.7

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.1

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)$

خطوة 4.3.7.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)$

خطوة 4.3.7.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

خطوة 4.3.7.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

خطوة 4.3.7.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{1}} \times (1, 1, 1)$

خطوة 4.3.7.1.5

احسِب قيمة الأُس.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3} \times (1, 1, 1)$

خطوة 4.3.7.2

اضرب $\frac{2}{3}$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

خطوة 4.3.7.3

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.3.1

اضرب $\frac{2}{3}$ في $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

خطوة 4.3.7.3.2

اضرب $\frac{2}{3}$ في $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1)$

خطوة 4.3.7.3.3

اضرب $\frac{2}{3}$ في $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

خطوة 4.4

عوّض الإسقاط.

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

خطوة 4.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

اجمع كل مكون من مكونات المتجهات.

$(0 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

خطوة 4.5.2

اطرح $\frac{2}{3}$ من $0$ .

$(- \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

خطوة 4.5.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$(- \frac{2}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

خطوة 4.5.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$(- \frac{2}{3}, \frac{3 - 2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

خطوة 4.5.5

اطرح $2$ من $3$ .

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

خطوة 4.5.6

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

خطوة 4.5.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3 - 2}{3})$

خطوة 4.5.8

اطرح $2$ من $3$ .

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

خطوة 5

أوجِد الأساس العياري المتعامد بقسمة كل متجه متعامد على معياره.

$Span {\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}, \frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}}$

خطوة 6

أوجِد متجه الوحدة $\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}$ عند ${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

لإيجاد متجه وحدة في نفس اتجاه المتجه (VARIABLE 0)، اقسم على معيار (VARIABLE 0).

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

خطوة 6.2

المعيار هو الجذر التربيعي لمجموع تربيع كل عنصر في المتجه.

$\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

خطوة 6.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

خطوة 6.3.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

خطوة 6.3.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\sqrt{1 + 1 + 1}$

خطوة 6.3.4

أضف $1$ و $1$ .

$\sqrt{2 + 1}$

خطوة 6.3.5

أضف $2$ و $1$ .

$\sqrt{3}$

خطوة 6.4

اقسِم المتجه على معياره.

$\frac{(1, 1, 1)}{\sqrt{3}}$

خطوة 6.5

اقسِم كل عنصر في المتجه على $\sqrt{3}$ .

$(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$

خطوة 7

أوجِد متجه الوحدة $\frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}$ عند ${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

لإيجاد متجه وحدة في نفس اتجاه المتجه (VARIABLE 0)، اقسم على معيار (VARIABLE 0).

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

خطوة 7.2

المعيار هو الجذر التربيعي لمجموع تربيع كل عنصر في المتجه.

$\sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{2}{3}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

خطوة 7.3.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{2}{3}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

خطوة 7.3.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{1 \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

خطوة 7.3.3

اضرب $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ في $1$ .

$\sqrt{\frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

خطوة 7.3.4

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

خطوة 7.3.5

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

خطوة 7.3.6

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

خطوة 7.3.7

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

خطوة 7.3.8

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

خطوة 7.3.9

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

خطوة 7.3.10

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3^{2}}}$

خطوة 7.3.11

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}}$

خطوة 7.3.12

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\sqrt{\frac{4 + 1}{9} + \frac{1}{9}}$

خطوة 7.3.13

أضف $4$ و $1$ .

$\sqrt{\frac{5}{9} + \frac{1}{9}}$

خطوة 7.3.14

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\sqrt{\frac{5 + 1}{9}}$

خطوة 7.3.15

أضف $5$ و $1$ .

$\sqrt{\frac{6}{9}}$

خطوة 7.3.16

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.16.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$\sqrt{\frac{3 (2)}{9}}$

خطوة 7.3.16.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.16.2.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

خطوة 7.3.16.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

خطوة 7.3.16.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\sqrt{\frac{2}{3}}$

خطوة 7.3.17

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{2}{3}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

خطوة 7.4

اقسِم المتجه على معياره.

$\frac{(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$

خطوة 7.5

اقسِم كل عنصر في المتجه على $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$(\frac{- \frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

خطوة 7.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$(- \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

خطوة 7.6.2

اضرب $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ في $\frac{2}{3}$ .

$(- \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

خطوة 7.6.3

انقُل $2$ إلى يسار $\sqrt{3}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

خطوة 7.6.4

انقُل $3$ إلى يسار $\sqrt{2}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

خطوة 7.6.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

خطوة 7.6.6

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

خطوة 7.6.7

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$

خطوة 7.6.8

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})$

خطوة 8

عوّض بالقيم المعروفة.

$Span {(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}), (- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})}$

إدخال مسألتك