الأمثلة

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 5 & 4 & 3 \\ 2 & - 4 & 8 \end{array}]$

خطوة 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

خطوة 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

Calculate the minor for element $a_{11}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 3 \\ - 4 & 8 \end{array} |$

خطوة 2.1.2

Evaluate the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{11} = 4 \cdot 8 - (- 4 \cdot 3)$

خطوة 2.1.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1.1

اضرب $4$ في $8$ .

$a_{11} = 32 - (- 4 \cdot 3)$

خطوة 2.1.2.2.1.2

اضرب $- (- 4 \cdot 3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1.2.1

اضرب $- 4$ في $3$ .

$a_{11} = 32 - - 12$

خطوة 2.1.2.2.1.2.2

اضرب $- 1$ في $- 12$ .

$a_{11} = 32 + 12$

خطوة 2.1.2.2.2

أضف $32$ و $12$ .

$a_{11} = 44$

خطوة 2.2

Calculate the minor for element $a_{12}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & 3 \\ 2 & 8 \end{array} |$

خطوة 2.2.2

Evaluate the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{12} = 5 \cdot 8 - 2 \cdot 3$

خطوة 2.2.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1.1

اضرب $5$ في $8$ .

$a_{12} = 40 - 2 \cdot 3$

خطوة 2.2.2.2.1.2

اضرب $- 2$ في $3$ .

$a_{12} = 40 - 6$

خطوة 2.2.2.2.2

اطرح $6$ من $40$ .

$a_{12} = 34$

خطوة 2.3

Calculate the minor for element $a_{13}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & 4 \\ 2 & - 4 \end{array} |$

خطوة 2.3.2

Evaluate the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{13} = 5 \cdot - 4 - 2 \cdot 4$

خطوة 2.3.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1.1

اضرب $5$ في $- 4$ .

$a_{13} = - 20 - 2 \cdot 4$

خطوة 2.3.2.2.1.2

اضرب $- 2$ في $4$ .

$a_{13} = - 20 - 8$

خطوة 2.3.2.2.2

اطرح $8$ من $- 20$ .

$a_{13} = - 28$

خطوة 2.4

Calculate the minor for element $a_{21}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 4 & 8 \end{array} |$

خطوة 2.4.2

Evaluate the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = 2 \cdot 8 - (- 4 \cdot - 1)$

خطوة 2.4.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1.1

اضرب $2$ في $8$ .

$a_{21} = 16 - (- 4 \cdot - 1)$

خطوة 2.4.2.2.1.2

اضرب $- (- 4 \cdot - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1.2.1

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$a_{21} = 16 - 1 \cdot 4$

خطوة 2.4.2.2.1.2.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$a_{21} = 16 - 4$

خطوة 2.4.2.2.2

اطرح $4$ من $16$ .

$a_{21} = 12$

خطوة 2.5

Calculate the minor for element $a_{22}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 8 \end{array} |$

خطوة 2.5.2

Evaluate the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = 1 \cdot 8 - 2 \cdot - 1$

خطوة 2.5.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.1.1

اضرب $8$ في $1$ .

$a_{22} = 8 - 2 \cdot - 1$

خطوة 2.5.2.2.1.2

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$a_{22} = 8 + 2$

خطوة 2.5.2.2.2

أضف $8$ و $2$ .

$a_{22} = 10$

خطوة 2.6

Calculate the minor for element $a_{23}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & - 4 \end{array} |$

خطوة 2.6.2

Evaluate the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = 1 \cdot - 4 - 2 \cdot 2$

خطوة 2.6.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.2.1.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$a_{23} = - 4 - 2 \cdot 2$

خطوة 2.6.2.2.1.2

اضرب $- 2$ في $2$ .

$a_{23} = - 4 - 4$

خطوة 2.6.2.2.2

اطرح $4$ من $- 4$ .

$a_{23} = - 8$

خطوة 2.7

Calculate the minor for element $a_{31}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 4 & 3 \end{array} |$

خطوة 2.7.2

Evaluate the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = 2 \cdot 3 - 4 \cdot - 1$

خطوة 2.7.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.2.1.1

اضرب $2$ في $3$ .

$a_{31} = 6 - 4 \cdot - 1$

خطوة 2.7.2.2.1.2

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$a_{31} = 6 + 4$

خطوة 2.7.2.2.2

أضف $6$ و $4$ .

$a_{31} = 10$

خطوة 2.8

Calculate the minor for element $a_{32}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 5 & 3 \end{array} |$

خطوة 2.8.2

Evaluate the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = 1 \cdot 3 - 5 \cdot - 1$

خطوة 2.8.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.2.1.1

اضرب $3$ في $1$ .

$a_{32} = 3 - 5 \cdot - 1$

خطوة 2.8.2.2.1.2

اضرب $- 5$ في $- 1$ .

$a_{32} = 3 + 5$

خطوة 2.8.2.2.2

أضف $3$ و $5$ .

$a_{32} = 8$

خطوة 2.9

Calculate the minor for element $a_{33}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 4 \end{array} |$

خطوة 2.9.2

Evaluate the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = 1 \cdot 4 - 5 \cdot 2$

خطوة 2.9.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.2.2.1.1

اضرب $4$ في $1$ .

$a_{33} = 4 - 5 \cdot 2$

خطوة 2.9.2.2.1.2

اضرب $- 5$ في $2$ .

$a_{33} = 4 - 10$

خطوة 2.9.2.2.2

اطرح $10$ من $4$ .

$a_{33} = - 6$

خطوة 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the $-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} 44 & - 34 & - 28 \\ - 12 & 10 & 8 \\ 10 & - 8 & - 6 \end{array}]$

خطوة 3

Transpose the matrix by switching its rows to columns.

$[\begin{array}{c} 44 & - 12 & 10 \\ - 34 & 10 & - 8 \\ - 28 & 8 & - 6 \end{array}]$

إدخال مسألتك