الأمثلة

$f (x) = - x^{2} - 5 x - 5$

خطوة 1

اكتب $f (x) = - x^{2} - 5 x - 5$ في صورة معادلة.

$y = - x^{2} - 5 x - 5$

خطوة 2

أعِد كتابة المعادلة بصيغة الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أكمل المربع لـ $- x^{2} - 5 x - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = - 1$

$b = - 5$

$c = - 5$

خطوة 2.1.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 2.1.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 5}{2 \cdot - 1}$

خطوة 2.1.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.2.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$d = \frac{- 5}{- 2}$

خطوة 2.1.3.2.2

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$d = \frac{5}{2}$

خطوة 2.1.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 5 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

خطوة 2.1.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.2.1.1

ارفع $- 5$ إلى القوة $2$ .

$e = - 5 - \frac{25}{4 \cdot - 1}$

خطوة 2.1.4.2.1.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$e = - 5 - \frac{25}{- 4}$

خطوة 2.1.4.2.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$e = - 5 - - \frac{25}{4}$

خطوة 2.1.4.2.1.4

اضرب $- - \frac{25}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.2.1.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$e = - 5 + 1 (\frac{25}{4})$

خطوة 2.1.4.2.1.4.2

اضرب $\frac{25}{4}$ في $1$ .

$e = - 5 + \frac{25}{4}$

خطوة 2.1.4.2.2

لكتابة $- 5$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$e = - 5 \cdot \frac{4}{4} + \frac{25}{4}$

خطوة 2.1.4.2.3

اجمع $- 5$ و $\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{- 5 \cdot 4}{4} + \frac{25}{4}$

خطوة 2.1.4.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$e = \frac{- 5 \cdot 4 + 25}{4}$

خطوة 2.1.4.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.2.5.1

اضرب $- 5$ في $4$ .

$e = \frac{- 20 + 25}{4}$

خطوة 2.1.4.2.5.2

أضف $- 20$ و $25$ .

$e = \frac{5}{4}$

خطوة 2.1.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $- {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{5}{4}$ .

$- {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{5}{4}$

خطوة 2.2

عيّن قيمة $y$ لتصبح مساوية للطرف الأيمن الجديد.

$y = - {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{5}{4}$

خطوة 3

استخدِم صيغة الرأس، $y = a {(x - h)}^{2} + k$ ، لتحديد قيم $a$ و $h$ و $k$ .

$a = - 1$

$h = - \frac{5}{2}$

$k = \frac{5}{4}$

خطوة 4

بما أن قيمة $a$ سالبة، إذن القطع المكافئ مفتوح إلى أسفل.

مفتوح إلى أسفل

خطوة 5

أوجِد الرأس $(h, k)$ .

$(- \frac{5}{2}, \frac{5}{4})$

خطوة 6

أوجِد $p$ ، المسافة من الرأس إلى البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أوجِد المسافة من الرأس إلى بؤرة القطع المكافئ باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{1}{4 a}$

خطوة 6.2

عوّض بقيمة $a$ في القاعدة.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

خطوة 6.3

احذِف العامل المشترك لـ $1$ و $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

خطوة 6.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{4}$

خطوة 7

أوجِد البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

يمكن إيجاد بؤرة القطع المكافئ بجمع $p$ مع الإحداثي الصادي $k$ إذا كان القطع المكافئ مفتوحًا إلى أعلى أو إلى أسفل.

$(h, k + p)$

خطوة 7.2

عوّض بقيم $h$ و $p$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(- \frac{5}{2}, 1)$

خطوة 8

أوجِد محور التناظر بإيجاد الخط الذي يمر عبر الرأس والبؤرة.

$x = - \frac{5}{2}$

خطوة 9

أوجِد الدليل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

دليل القطع المكافئ هو الخط الأفقي الذي يمكن إيجاده بطرح $p$ من الإحداثي الصادي $k$ للرأس إذا كان القطع المكافئ مفتوح إلى أعلى أو إلى أسفل.

$y = k - p$

خطوة 9.2

عوّض بقيمتَي $p$ و $k$ المعروفتين في القاعدة وبسّط.

$y = \frac{3}{2}$

خطوة 10

استخدِم خصائص القطع المكافئ لتحليل القطع المكافئ وتمثيله بيانيًا.

الاتجاه: مفتوح للأسفل

الرأس: $(- \frac{5}{2}, \frac{5}{4})$

البؤرة: $(- \frac{5}{2}, 1)$

محور التناظر: $x = - \frac{5}{2}$

الدليل: $y = \frac{3}{2}$

خطوة 11

إدخال مسألتك