الأمثلة

$4 x - y = 2$ , $6 x - 2 y = - 1$

خطوة 1

لإيجاد تقاطع الخط المار بالنقطة $(p, q, r)$ والعمودي على المستوى $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ والمستوى $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ :

1. أوجِد المتجهات العادية للمستوى $P_{1}$ والمستوى $P_{2}$ ، حيث تكون المتجهات العادية $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ و $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . تحقق لمعرفة ما إذا كان حاصل الضرب النقطي هو 0.

2. قم بإنشاء مجموعة من المعادلات الوسطية، مثل $x = p + a t$ و $y = q + b t$ و $z = r + c t$ .

3. استبدِل هذه المعادلات بمعادلة المستوى $P_{2}$ ، مثل $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ وأوجِد الحل لـ $t$ .

4. باستخدام قيمة $t$ ، أوجِد قيمة $t$ في المعادلات الوسطية $x = p + a t$ و $y = q + b t$ و $z = r + c t$ لإيجاد التقاطع $(x, y, z)$ .

خطوة 2

أوجِد المتجهات العادية لكل مستوى وحدد ما إذا كانت متعامدة بحساب حاصل الضرب القياسي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

$P_{1}$ هو $4 x - y = 2$ . أوجِد المتجه العادي $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ من معادلة السطح المستوي بالصيغة $a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ 4, - 1, 0 ⟩$

خطوة 2.2

$P_{2}$ هو $6 x - 2 y = - 1$ . أوجِد المتجه العادي $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ من معادلة السطح المستوي بالصيغة $e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ 6, - 2, 0 ⟩$

خطوة 2.3

احسب حاصل الضرب القياسي لـ $n_{1}$ و $n_{2}$ عن طريق جمع نواتج قيم $x$ و $y$ و $z$ المقابلة في المتجهات العادية.

$4 \cdot 6 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

خطوة 2.4

بسّط حاصل الضرب القياسي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

احذِف الأقواس.

$4 \cdot 6 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

خطوة 2.4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

اضرب $4$ في $6$ .

$24 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

خطوة 2.4.2.2

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$24 + 2 + 0 \cdot 0$

خطوة 2.4.2.3

اضرب $0$ في $0$ .

$24 + 2 + 0$

خطوة 2.4.3

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1

أضف $24$ و $2$ .

$26 + 0$

خطوة 2.4.3.2

أضف $26$ و $0$ .

$26$

خطوة 3

بعد ذلك، أنشئ مجموعة من المعادلات الوسطية $x = p + a t$ و $y = q + b t$ و $z = r + c t$ باستخدام نقطة الأصل $(0, 0, 0)$ للنقطة $(p, q, r)$ والقيم من المتجه العمودي $26$ للقيم $a$ و $b$ و $c$ . تمثِّل هذه المجموعة من المعادلات الوسطية الخط المارّ بالأصل المتعامد على $P_{1}$ $4 x - y = 2$ .

$x = 0 + 4 \cdot t$

$y = 0 + - 1 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

خطوة 4

استبدِل العبارة بـ $x$ و $y$ و $z$ وعوّض بقيمها في المعادلة $P_{2}$ $6 x - 2 y = - 1$ .

$6 (0 + 4 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 1$

خطوة 5

أوجِد قيمة $t$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط $6 (0 + 4 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $6 (0 + 4 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1

أضف $0$ و $4 \cdot t$ .

$6 (4 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 1$

خطوة 5.1.1.2

اطرح $1 \cdot t$ من $0$ .

$6 (4 \cdot t) - 2 (- 1 \cdot t) = - 1$

خطوة 5.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

اضرب $4$ في $6$ .

$24 t - 2 (- 1 \cdot t) = - 1$

خطوة 5.1.2.2

أعِد كتابة $- 1 t$ بالصيغة $- t$ .

$24 t - 2 (- t) = - 1$

خطوة 5.1.2.3

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$24 t + 2 t = - 1$

خطوة 5.1.3

أضف $24 t$ و $2 t$ .

$26 t = - 1$

خطوة 5.2

اقسِم كل حد في $26 t = - 1$ على $26$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اقسِم كل حد في $26 t = - 1$ على $26$ .

$\frac{26 t}{26} = \frac{- 1}{26}$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $26$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{26 t}{26} = \frac{- 1}{26}$

خطوة 5.2.2.1.2

اقسِم $t$ على $1$ .

$t = \frac{- 1}{26}$

خطوة 5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$t = - \frac{1}{26}$

خطوة 6

أوجِد قيم $x$ و $y$ و $z$ في المعادلات الوسطية مستخدمًا قيمة $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

احذِف الأقواس.

$x = 0 + 4 \cdot (- 1 (\frac{1}{26}))$

خطوة 6.1.2

احذِف الأقواس.

$x = 0 + 4 \cdot (- \frac{1}{26})$

خطوة 6.1.3

بسّط $0 + 4 \cdot (- \frac{1}{26})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{26}$ إلى بسط الكسر.

$x = 0 + 4 \cdot \frac{- 1}{26}$

خطوة 6.1.3.1.1.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$x = 0 + 2 (2) \cdot \frac{- 1}{26}$

خطوة 6.1.3.1.1.3

أخرِج العامل $2$ من $26$ .

$x = 0 + 2 \cdot 2 \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 13}$

خطوة 6.1.3.1.1.4

ألغِ العامل المشترك.

$x = 0 + 2 \cdot 2 \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 13}$

خطوة 6.1.3.1.1.5

أعِد كتابة العبارة.

$x = 0 + 2 \cdot \frac{- 1}{13}$

خطوة 6.1.3.1.2

اجمع $2$ و $\frac{- 1}{13}$ .

$x = 0 + \frac{2 \cdot - 1}{13}$

خطوة 6.1.3.1.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$x = 0 + \frac{- 2}{13}$

خطوة 6.1.3.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = 0 - \frac{2}{13}$

خطوة 6.1.3.2

اطرح $\frac{2}{13}$ من $0$ .

$x = - \frac{2}{13}$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $y$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 0 - 1 \cdot (- 1 (\frac{1}{26}))$

خطوة 6.2.2

احذِف الأقواس.

$y = 0 - 1 \cdot (- \frac{1}{26})$

خطوة 6.2.3

بسّط $0 - 1 \cdot (- \frac{1}{26})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

اضرب $- 1 (- \frac{1}{26})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y = 0 + 1 (\frac{1}{26})$

خطوة 6.2.3.1.2

اضرب $\frac{1}{26}$ في $1$ .

$y = 0 + \frac{1}{26}$

خطوة 6.2.3.2

أضف $0$ و $\frac{1}{26}$ .

$y = \frac{1}{26}$

خطوة 6.3

أوجِد قيمة $z$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

احذِف الأقواس.

$z = 0 + 0 \cdot (- 1 (\frac{1}{26}))$

خطوة 6.3.2

احذِف الأقواس.

$z = 0 + 0 \cdot (- \frac{1}{26})$

خطوة 6.3.3

بسّط $0 + 0 \cdot (- \frac{1}{26})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

اضرب $0 (- \frac{1}{26})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$z = 0 + 0 (\frac{1}{26})$

خطوة 6.3.3.1.2

اضرب $0$ في $\frac{1}{26}$ .

$z = 0 + 0$

خطوة 6.3.3.2

أضف $0$ و $0$ .

$z = 0$

خطوة 6.4

المعادلات الوسطية التي تم إيجاد بها قيم $x$ و $y$ و $z$ .

$x = - \frac{2}{13}$

$y = \frac{1}{26}$

$z = 0$

$x = - \frac{2}{13}$

$y = \frac{1}{26}$

$z = 0$

خطوة 7

باستخدام القيم المحسوبة لـ $x$ و $y$ و $z$ ، تم إيجاد أن نقطة التقاطع هي $(- \frac{2}{13}, \frac{1}{26}, 0)$ .

$(- \frac{2}{13}, \frac{1}{26}, 0)$

إدخال مسألتك