حساب المثلثات الأمثلة

$16 \sqrt{3} + 16 i$ , $n = 4$

خطوة 1

احسِب المسافة من $(a, b)$ إلى نقطة الأصل باستخدام القاعدة $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{{(16 \sqrt{3})}^{2} + 16^{2}}$

خطوة 2

بسّط $\sqrt{{(16 \sqrt{3})}^{2} + 16^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $16 \sqrt{3}$ .

$r = \sqrt{16^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 16^{2}}$

خطوة 2.1.2

ارفع $16$ إلى القوة $2$ .

$r = \sqrt{256 {\sqrt{3}}^{2} + 16^{2}}$

خطوة 2.2

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{256 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 16^{2}}$

خطوة 2.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{256 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 16^{2}}$

خطوة 2.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$r = \sqrt{256 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 16^{2}}$

خطوة 2.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$r = \sqrt{256 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 16^{2}}$

خطوة 2.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$r = \sqrt{256 \cdot 3^{1} + 16^{2}}$

خطوة 2.2.5

احسِب قيمة الأُس.

$r = \sqrt{256 \cdot 3 + 16^{2}}$

خطوة 2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب $256$ في $3$ .

$r = \sqrt{768 + 16^{2}}$

خطوة 2.3.2

ارفع $16$ إلى القوة $2$ .

$r = \sqrt{768 + 256}$

خطوة 2.3.3

أضف $768$ و $256$ .

$r = \sqrt{1024}$

خطوة 2.3.4

أعِد كتابة $1024$ بالصيغة $32^{2}$ .

$r = \sqrt{32^{2}}$

خطوة 2.3.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$r = 32$

خطوة 3

احسِب زاوية المرجع $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{16}{16 \sqrt{3}} |)$

خطوة 4

بسّط $\arctan (| \frac{16}{16 \sqrt{3}} |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

ألغِ العامل المشترك لـ $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$θ̂ = \arctan (| \frac{16}{16 \sqrt{3}} |)$

خطوة 4.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$θ̂ = \arctan (| \frac{1}{\sqrt{3}} |)$

خطوة 4.2

اضرب $\frac{1}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} |)$

خطوة 4.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} |)$

خطوة 4.3.2

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} |)$

خطوة 4.3.3

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} |)$

خطوة 4.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} |)$

خطوة 4.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} |)$

خطوة 4.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} |)$

خطوة 4.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} |)$

خطوة 4.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} |)$

خطوة 4.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} |)$

خطوة 4.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{3^{1}} |)$

خطوة 4.3.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{3} |)$

خطوة 4.4

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ تساوي تقريبًا $0.57735026$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$θ̂ = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

خطوة 4.5

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ هي $\frac{π}{6}$ .

$θ̂ = \frac{π}{6}$

خطوة 5

تقع النقطة في الربع الأول لأن كلاً من $x$ و $y$ موجبتان. وتُميّز الأرباع بترتيب عكس اتجاه عقارب الساعة، بدءًا من الربع العلوي الأيمن.

الربع $1$

خطوة 6

$(a, b)$ تقع في الربع الأول. $θ = θ̂$

$θ = \frac{π}{6}$

خطوة 7

استخدِم القاعدة لإيجاد جذور العدد المركّب.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

خطوة 8

عوّض بـ $r$ و $n$ و $θ$ في القاعدة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع ${(32)}^{\frac{1}{4}}$ و $\frac{(\frac{π}{6}) + 2 π k}{4}$ .

$c i s \frac{{(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k)}{4}$

خطوة 8.2

اجمع $c$ و $\frac{{(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k)}{4}$ .

$i s \frac{c ({(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k))}{4}$

خطوة 8.3

اجمع $i$ و $\frac{c ({(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k))}{4}$ .

$s \frac{i (c ({(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k)))}{4}$

خطوة 8.4

اجمع $s$ و $\frac{i (c ({(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k)))}{4}$ .

$\frac{s (i (c ({(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k))))}{4}$

خطوة 8.5

احذِف الأقواس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

احذِف الأقواس.

$\frac{s (i (c (32^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k))))}{4}$

خطوة 8.5.2

احذِف الأقواس.

$\frac{s (i (c (32^{\frac{1}{4}} (\frac{π}{6} + 2 π k))))}{4}$

خطوة 8.5.3

احذِف الأقواس.

$\frac{s (i (c \cdot 32^{\frac{1}{4}} (\frac{π}{6} + 2 π k)))}{4}$

خطوة 8.5.4

احذِف الأقواس.

$\frac{s (i (c \cdot 32^{\frac{1}{4}}) (\frac{π}{6} + 2 π k))}{4}$

خطوة 8.5.5

احذِف الأقواس.

$\frac{s (i c \cdot 32^{\frac{1}{4}} (\frac{π}{6} + 2 π k))}{4}$

خطوة 8.5.6

احذِف الأقواس.

$\frac{s (i c \cdot 32^{\frac{1}{4}}) (\frac{π}{6} + 2 π k)}{4}$

خطوة 8.5.7

احذِف الأقواس.

$\frac{s (i c) \cdot 32^{\frac{1}{4}} (\frac{π}{6} + 2 π k)}{4}$

خطوة 8.5.8

احذِف الأقواس.

$\frac{s i c \cdot 32^{\frac{1}{4}} (\frac{π}{6} + 2 π k)}{4}$

خطوة 9

عوّض بـ $k = 0$ في القاعدة وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

احذِف الأقواس.

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(\frac{π}{6}) + 2 π (0)}{4})$

خطوة 9.2

اضرب $2 π (0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اضرب $0$ في $2$ .

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 0 π}{4})$

خطوة 9.2.2

اضرب $0$ في $π$ .

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 0}{4})$

خطوة 9.3

أضف $\frac{π}{6}$ و $0$ .

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6}}{4})$

خطوة 9.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4})$

خطوة 9.5

اضرب $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1

اضرب $\frac{π}{6}$ في $\frac{1}{4}$ .

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{π}{6 \cdot 4})$

خطوة 9.5.2

اضرب $6$ في $4$ .

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{π}{24})$

خطوة 10

عوّض بـ $k = 1$ في القاعدة وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

احذِف الأقواس.

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(\frac{π}{6}) + 2 π (1)}{4})$

خطوة 10.2

اضرب $2$ في $1$ .

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 2 π}{4})$

خطوة 10.3

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 2 π \cdot \frac{6}{6}}{4})$

خطوة 10.4

اجمع $2 π$ و $\frac{6}{6}$ .

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 6}{6}}{4})$

خطوة 10.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 2 π \cdot 6}{6}}{4})$

خطوة 10.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.6.1

اضرب $6$ في $2$ .

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 12 π}{6}}{4})$

خطوة 10.6.2

أضف $π$ و $12 π$ .

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{13 π}{6}}{4})$

خطوة 10.7

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{13 π}{6} \cdot \frac{1}{4})$

خطوة 10.8

اضرب $\frac{13 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.8.1

اضرب $\frac{13 π}{6}$ في $\frac{1}{4}$ .

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{13 π}{6 \cdot 4})$

خطوة 10.8.2

اضرب $6$ في $4$ .

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{13 π}{24})$

خطوة 11

عوّض بـ $k = 2$ في القاعدة وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

احذِف الأقواس.

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(\frac{π}{6}) + 2 π (2)}{4})$

خطوة 11.2

اضرب $2$ في $2$ .

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 4 π}{4})$

خطوة 11.3

لكتابة $4 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 4 π \cdot \frac{6}{6}}{4})$

خطوة 11.4

اجمع $4 π$ و $\frac{6}{6}$ .

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + \frac{4 π \cdot 6}{6}}{4})$

خطوة 11.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 4 π \cdot 6}{6}}{4})$

خطوة 11.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.6.1

اضرب $6$ في $4$ .

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 24 π}{6}}{4})$

خطوة 11.6.2

أضف $π$ و $24 π$ .

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{25 π}{6}}{4})$

خطوة 11.7

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{25 π}{6} \cdot \frac{1}{4})$

خطوة 11.8

اضرب $\frac{25 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.8.1

اضرب $\frac{25 π}{6}$ في $\frac{1}{4}$ .

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{25 π}{6 \cdot 4})$

خطوة 11.8.2

اضرب $6$ في $4$ .

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{25 π}{24})$

خطوة 12

عوّض بـ $k = 3$ في القاعدة وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

احذِف الأقواس.

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(\frac{π}{6}) + 2 π (3)}{4})$

خطوة 12.2

اضرب $3$ في $2$ .

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 6 π}{4})$

خطوة 12.3

لكتابة $6 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 6 π \cdot \frac{6}{6}}{4})$

خطوة 12.4

اجمع $6 π$ و $\frac{6}{6}$ .

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + \frac{6 π \cdot 6}{6}}{4})$

خطوة 12.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 6 π \cdot 6}{6}}{4})$

خطوة 12.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.6.1

اضرب $6$ في $6$ .

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 36 π}{6}}{4})$

خطوة 12.6.2

أضف $π$ و $36 π$ .

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{37 π}{6}}{4})$

خطوة 12.7

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{37 π}{6} \cdot \frac{1}{4})$

خطوة 12.8

اضرب $\frac{37 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.8.1

اضرب $\frac{37 π}{6}$ في $\frac{1}{4}$ .

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{37 π}{6 \cdot 4})$

خطوة 12.8.2

اضرب $6$ في $4$ .

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{37 π}{24})$

خطوة 13

اسرِد الحلول.

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{π}{24})$

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{13 π}{24})$

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{25 π}{24})$

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{37 π}{24})$

إدخال مسألتك