الأمثلة

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}]$

خطوة 1

أوجِد القيم الذاتية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة $p (λ)$ .

$p (λ) = محدِّد (A - λ I_{2})$

خطوة 1.2

المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم $2$ هي المصفوفة المربعة $2 \times 2$ التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 1.3

عوّض بالقيم المعروفة في $p (λ) = محدِّد (A - λ I_{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $A$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] - λ I_{2})$

خطوة 1.3.2

عوّض بقيمة $I_{2}$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

اضرب $- λ$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.2

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.2.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.3

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.3.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.3.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

خطوة 1.4.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

أضف $3$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 \\ 12 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.2

أضف $12$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 \\ 12 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 1.5

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (2 - λ) - 12 \cdot 3$

خطوة 1.5.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1.1

وسّع $(1 - λ) (2 - λ)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 1 (2 - λ) - λ (2 - λ) - 12 \cdot 3$

خطوة 1.5.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 1 \cdot 2 + 1 (- λ) - λ (2 - λ) - 12 \cdot 3$

خطوة 1.5.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 1 \cdot 2 + 1 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 12 \cdot 3$

خطوة 1.5.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1.2.1.1

اضرب $2$ في $1$ .

$p (λ) = 2 + 1 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 12 \cdot 3$

خطوة 1.5.2.1.2.1.2

اضرب $- λ$ في $1$ .

$p (λ) = 2 - λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 12 \cdot 3$

خطوة 1.5.2.1.2.1.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ - λ (- λ) - 12 \cdot 3$

خطوة 1.5.2.1.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 12 \cdot 3$

خطوة 1.5.2.1.2.1.5

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1.2.1.5.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 12 \cdot 3$

خطوة 1.5.2.1.2.1.5.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 12 \cdot 3$

خطوة 1.5.2.1.2.1.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 12 \cdot 3$

خطوة 1.5.2.1.2.1.7

اضرب $λ^{2}$ في $1$ .

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ + λ^{2} - 12 \cdot 3$

خطوة 1.5.2.1.2.2

اطرح $2 λ$ من $- λ$ .

$p (λ) = 2 - 3 λ + λ^{2} - 12 \cdot 3$

خطوة 1.5.2.1.3

اضرب $- 12$ في $3$ .

$p (λ) = 2 - 3 λ + λ^{2} - 36$

خطوة 1.5.2.2

اطرح $36$ من $2$ .

$p (λ) = - 3 λ + λ^{2} - 34$

خطوة 1.5.2.3

أعِد ترتيب $- 3 λ$ و $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 3 λ - 34$

خطوة 1.6

عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد القيم الذاتية $λ$ .

$λ^{2} - 3 λ - 34 = 0$

خطوة 1.7

أوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 1.7.2

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - 3$ و $c = - 34$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $λ$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 34)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1.1

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 34}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.7.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot - 34$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 34}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.7.3.1.2.2

اضرب $- 4$ في $- 34$ .

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 136}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.7.3.1.3

أضف $9$ و $136$ .

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{145}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.7.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{145}}{2}$

خطوة 1.7.4

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$λ = \frac{3 + \sqrt{145}}{2}, \frac{3 - \sqrt{145}}{2}$

خطوة 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

خطوة 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = \frac{3 + \sqrt{145}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

اضرب $- \frac{3 + \sqrt{145}}{2}$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.2

اضرب $- \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \\ - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.2.2

اضرب $0$ في $\frac{3 + \sqrt{145}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 \\ - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.3

اضرب $- \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.3.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 \\ 0 \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.3.2

اضرب $0$ في $\frac{3 + \sqrt{145}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

خطوة 3.2.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

خطوة 3.2.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

خطوة 3.2.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$[\begin{array}{c} \frac{2 - (3 + \sqrt{145})}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

خطوة 3.2.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 1 \cdot 3 - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

خطوة 3.2.3.3.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 3 - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

خطوة 3.2.3.3.3

اطرح $3$ من $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

خطوة 3.2.3.4

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1) - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

خطوة 3.2.3.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sqrt{145}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1) - (\sqrt{145})}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

خطوة 3.2.3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (1) - (\sqrt{145})$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1 + \sqrt{145})}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

خطوة 3.2.3.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

خطوة 3.2.3.8

أضف $3$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

خطوة 3.2.3.9

أضف $12$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

خطوة 3.2.3.10

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

خطوة 3.2.3.11

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

خطوة 3.2.3.12

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{2 \cdot 2 - (3 + \sqrt{145})}{2} \end{array}]$

خطوة 3.2.3.13

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.13.1

اضرب $2$ في $2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{4 - (3 + \sqrt{145})}{2} \end{array}]$

خطوة 3.2.3.13.2

طبّق خاصية التوزيع.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{4 - 1 \cdot 3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

خطوة 3.2.3.13.3

اضرب $- 1$ في $3$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{4 - 3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

خطوة 3.2.3.13.4

اطرح $3$ من $4$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{1 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

خطوة 3.3

Find the null space when $λ = \frac{3 + \sqrt{145}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 & 0 \\ 12 & \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{2}{1 + \sqrt{145}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{2}{1 + \sqrt{145}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{1 + \sqrt{145}} (- \frac{1 + \sqrt{145}}{2}) & - \frac{2}{1 + \sqrt{145}} \cdot 3 & - \frac{2}{1 + \sqrt{145}} \cdot 0 \\ 12 & \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.1.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1 - \sqrt{145}}{24} & 0 \\ 12 & \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 12 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 12 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1 - \sqrt{145}}{24} & 0 \\ 12 - 12 \cdot 1 & \frac{1 - \sqrt{145}}{2} - 12 \frac{1 - \sqrt{145}}{24} & 0 - 12 \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.2.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1 - \sqrt{145}}{24} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{1 - \sqrt{145}}{24} y = 0$

$0 = 0$

خطوة 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{y}{24} + \frac{\sqrt{145} y}{24} \\ y \end{array}]$

خطوة 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{1}{24} + \frac{\sqrt{145}}{24} \\ 1 \end{array}]$

خطوة 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - \frac{1}{24} + \frac{\sqrt{145}}{24} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

خطوة 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{24} + \frac{\sqrt{145}}{24} \\ 1 \end{array}]}$

خطوة 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = \frac{3 - \sqrt{145}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اضرب $- \frac{3 - \sqrt{145}}{2}$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.2

اضرب $- \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 0 \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \\ - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.2.2

اضرب $0$ في $\frac{3 - \sqrt{145}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 0 \\ - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.3

اضرب $- \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.3.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 0 \\ 0 \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.3.2

اضرب $0$ في $\frac{3 - \sqrt{145}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$[\begin{array}{c} \frac{2 - (3 - \sqrt{145})}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 1 \cdot 3 - - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.3.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 3 - - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.3.3

اضرب $- - \sqrt{145}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.3.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 3 + 1 \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.3.3.2

اضرب $\sqrt{145}$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 3 + \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.3.4

اطرح $3$ من $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 + \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.4

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1) + \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.5

أخرِج العامل $- 1$ من $\sqrt{145}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1) - 1 (- \sqrt{145})}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{145})$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1 - \sqrt{145})}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.8

أضف $3$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.9

أضف $12$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.10

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.11

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.12

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{2 \cdot 2 - (3 - \sqrt{145})}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.13

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.13.1

اضرب $2$ في $2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{4 - (3 - \sqrt{145})}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.13.2

طبّق خاصية التوزيع.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{4 - 1 \cdot 3 - - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.13.3

اضرب $- 1$ في $3$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{4 - 3 - - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.13.4

اضرب $- - \sqrt{145}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.13.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{4 - 3 + 1 \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.13.4.2

اضرب $\sqrt{145}$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{4 - 3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.13.5

اطرح $3$ من $4$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{1 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.3

Find the null space when $λ = \frac{3 - \sqrt{145}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 & 0 \\ 12 & \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{2}{1 - \sqrt{145}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{2}{1 - \sqrt{145}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{1 - \sqrt{145}} (- \frac{1 - \sqrt{145}}{2}) & - \frac{2}{1 - \sqrt{145}} \cdot 3 & - \frac{2}{1 - \sqrt{145}} \cdot 0 \\ 12 & \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.1.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1 + \sqrt{145}}{24} & 0 \\ 12 & \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 12 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 12 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1 + \sqrt{145}}{24} & 0 \\ 12 - 12 \cdot 1 & \frac{1 + \sqrt{145}}{2} - 12 \frac{1 + \sqrt{145}}{24} & 0 - 12 \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.2.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1 + \sqrt{145}}{24} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{1 + \sqrt{145}}{24} y = 0$

$0 = 0$

خطوة 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{y}{24} - \frac{\sqrt{145} y}{24} \\ y \end{array}]$

خطوة 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{1}{24} - \frac{\sqrt{145}}{24} \\ 1 \end{array}]$

خطوة 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - \frac{1}{24} - \frac{\sqrt{145}}{24} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

خطوة 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{24} - \frac{\sqrt{145}}{24} \\ 1 \end{array}]}$

خطوة 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{24} + \frac{\sqrt{145}}{24} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{24} - \frac{\sqrt{145}}{24} \\ 1 \end{array}]}$

إدخال مسألتك