الأمثلة

بمعلومية النقطتين ${\displaystyle C=(2,9,7)}$ و${\displaystyle D=(3,3,3)}$، أوجِد مستوى يحتوي على النقطتين ${\displaystyle A=(1,2,3)}$ و${\displaystyle B=(2,5,6)}$ ويكون موازيًا للخط ${\displaystyle \mathrm{CD}}$.

أولاً، احسِب متجه الاتجاه للخط المار بالنقطتين ${\displaystyle C}$ و${\displaystyle D}$. يمكن إجراء ذلك عن طريق أخذ قيم إحداثيات النقطة ${\displaystyle C}$ وطرحها من النقطة ${\displaystyle D}$.

عوّض بقيم ${\displaystyle x}$ و${\displaystyle y}$ و${\displaystyle z}$، ثم بسّط لإيجاد متجه الاتجاه ${\displaystyle V_{\mathrm{CD}}}$ للخط ${\displaystyle \mathrm{CD}}$.

احسب متجه الاتجاه لخط يمر بالنقطتين ${\displaystyle A}$ و${\displaystyle B}$ باستخدام نفس الطريقة.

عوّض بقيم ${\displaystyle x}$ و${\displaystyle y}$ و${\displaystyle z}$، ثم بسّط لإيجاد متجه الاتجاه ${\displaystyle V_{\mathrm{AB}}}$ للخط ${\displaystyle \mathrm{AB}}$.

سيحتوي مستوى الحل على خط مستقيم يتضمن النقطتين ${\displaystyle A}$ و${\displaystyle B}$ وبه متجه الاتجاه ${\displaystyle V_{AB}}$. ولكي يكون هذا المستوى موازيًا للخط المستقيم ${\displaystyle CD}$، أوجِد المتجه الطبيعي للمستوى الذي يُعد متعامدًا أيضًا على متجه الاتجاه للخط المستقيم ${\displaystyle CD}$. واحسِب قيمة المتجه الطبيعي بإيجاد حاصل الضرب الاتجاهي لـ ${\displaystyle V_{AB}}$ في ${\displaystyle V_{CD}}$ بإيجاد محدد المصفوفة ${\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}i& j& k\\ x_B-x_A& y_B-y_A& z_B-z_A\\ x_D-x_C& y_D-y_C& z_D-z_C\end{array}\right]}$.

أضف الثابت لتجد أن معادلة المستوى ستصبح ${\displaystyle \left(6\right)x+\left(7\right)y+(-9)z=-7}$.