الأمثلة

$(- 1, - 2)$ , $(2, - 2)$ , $(4, - 2)$

خطوة 1

يوجد نوعان من المعادلات العامة لقطع ناقص.

معادلة القطع الناقص الأفقي $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

معادلة القطع الناقص الرأسي $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

خطوة 2

$a$ هي المسافة بين الرأس $(4, - 2)$ والنقطة المركزية $(- 1, - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم قاعدة المسافة لتحديد المسافة بين النقطتين.

$المسافة = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

خطوة 2.2

عوّض بالقيم الفعلية للنقاط في قاعدة المسافة.

$a = \sqrt{{(4 - (- 1))}^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$a = \sqrt{{(4 + 1)}^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

خطوة 2.3.2

أضف $4$ و $1$ .

$a = \sqrt{5^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

خطوة 2.3.3

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$a = \sqrt{25 + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

خطوة 2.3.4

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$a = \sqrt{25 + {(- 2 + 2)}^{2}}$

خطوة 2.3.5

أضف $- 2$ و $2$ .

$a = \sqrt{25 + 0^{2}}$

خطوة 2.3.6

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$a = \sqrt{25 + 0}$

خطوة 2.3.7

أضف $25$ و $0$ .

$a = \sqrt{25}$

خطوة 2.3.8

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$a = \sqrt{5^{2}}$

خطوة 2.3.9

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$a = 5$

خطوة 3

$c$ هي المسافة بين البؤرة $(2, - 2)$ والمركز $(- 1, - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم قاعدة المسافة لتحديد المسافة بين النقطتين.

$المسافة = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

خطوة 3.2

عوّض بالقيم الفعلية للنقاط في قاعدة المسافة.

$c = \sqrt{{(2 - (- 1))}^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$c = \sqrt{{(2 + 1)}^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

خطوة 3.3.2

أضف $2$ و $1$ .

$c = \sqrt{3^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

خطوة 3.3.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$c = \sqrt{9 + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

خطوة 3.3.4

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$c = \sqrt{9 + {(- 2 + 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.5

أضف $- 2$ و $2$ .

$c = \sqrt{9 + 0^{2}}$

خطوة 3.3.6

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$c = \sqrt{9 + 0}$

خطوة 3.3.7

أضف $9$ و $0$ .

$c = \sqrt{9}$

خطوة 3.3.8

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$c = \sqrt{3^{2}}$

خطوة 3.3.9

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$c = 3$

خطوة 4

باستخدام المعادلة $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ ، عوّض بقيمة $a$ التي تساوي $5$ وبقيمة $c$ التي تساوي $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة ${(5)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$ .

${(5)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$

خطوة 4.2

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$25 - b^{2} = 3^{2}$

خطوة 4.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$25 - b^{2} = 9$

خطوة 4.4

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $b$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

اطرح $25$ من كلا المتعادلين.

$- b^{2} = 9 - 25$

خطوة 4.4.2

اطرح $25$ من $9$ .

$- b^{2} = - 16$

خطوة 4.5

اقسِم كل حد في $- b^{2} = - 16$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

اقسِم كل حد في $- b^{2} = - 16$ على $- 1$ .

$\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

خطوة 4.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

خطوة 4.5.2.2

اقسِم $b^{2}$ على $1$ .

$b^{2} = \frac{- 16}{- 1}$

خطوة 4.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.3.1

اقسِم $- 16$ على $- 1$ .

$b^{2} = 16$

خطوة 4.6

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$b = \pm \sqrt{16}$

خطوة 4.7

بسّط $\pm \sqrt{16}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$b = \pm \sqrt{4^{2}}$

خطوة 4.7.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$b = \pm 4$

خطوة 4.8

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$b = 4$

خطوة 4.8.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$b = - 4$

خطوة 4.8.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$b = 4, - 4$

خطوة 5

$b$ هي مسافة، ما يعني أنها يجب أن تكون عددًا موجبًا.

$b = 4$

خطوة 6

يحدد ميل الخط المستقيم الفاصل بين البؤرة $(2, - 2)$ والمركز $(- 1, - 2)$ ما إذا كان القطع الناقص رأسيًا أم أفقيًا. إذا كان الميل يساوي $0$ ، يكون الرسم البياني أفقيًا. أما إذا كان الميل يساوي قيمة غير معرّفة، يكون الرسم البياني رأسيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

الميل يساوي التغيير في $y$ على التغيير في $x$ ، أو فرق الصادات على فرق السينات.

$m = \frac{تغيير في ص}{تغيير في س}$

خطوة 6.2

التغيير في $x$ يساوي الفرق في الإحداثيات السينية (يُعرف أيضًا بفرق السينات)، أما التغيير في $y$ يساوي الفرق في الإحداثيات الصادية (يُعرف أيضًا بفرق الصادات).

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

خطوة 6.3

عوّض بقيمتَي $x$ و $y$ في المعادلة لإيجاد الميل.

$m = \frac{- 2 - (- 2)}{- 1 - (2)}$

خطوة 6.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1.1

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$m = \frac{- 2 + 2}{- 1 - (2)}$

خطوة 6.4.1.2

أضف $- 2$ و $2$ .

$m = \frac{0}{- 1 - (2)}$

خطوة 6.4.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$m = \frac{0}{- 1 - 2}$

خطوة 6.4.2.2

اطرح $2$ من $- 1$ .

$m = \frac{0}{- 3}$

خطوة 6.4.3

اقسِم $0$ على $- 3$ .

$m = 0$

خطوة 6.5

المعادلة العامة لقطع ناقص أفقي هي $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

خطوة 7

عوّض بقيم $h = - 1$ و $k = - 2$ و $a = 5$ و $b = 4$ في $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ لإيجاد معادلة القطع الناقص $\frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(5)}^{2}} + \frac{{(y - (- 2))}^{2}}{{(4)}^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(5)}^{2}} + \frac{{(y - (- 2))}^{2}}{{(4)}^{2}} = 1$

خطوة 8

بسّط لإيجاد المعادلة النهائية للقطع الناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{5^{2}} + \frac{{(y - (- 2))}^{2}}{{(4)}^{2}} = 1$

خطوة 8.2

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} + \frac{{(y - (- 2))}^{2}}{{(4)}^{2}} = 1$

خطوة 8.3

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{4^{2}} = 1$

خطوة 8.4

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{16} = 1$

خطوة 9

إدخال مسألتك