الأمثلة

(6, 7, 2)

$(6, 7, 2)$ ,

(- 8, 3, - 1)

$(- 8, 3, - 1)$ ,

(7, 0, - 1)

$(7, 0, - 1)$ ,

(0, - 4, 0)

$(0, - 4, 0)$

خطوة 1

بمعلومية النقطتين

C = (7, 0, - 1)

$C = (7, 0, - 1)$ و

D = (0, - 4, 0)

$D = (0, - 4, 0)$ ، أوجِد مستوى يحتوي على النقطتين

A = (6, 7, 2)

$A = (6, 7, 2)$ و

B = (- 8, 3, - 1)

$B = (- 8, 3, - 1)$ ويكون موازيًا للخط

CD

$CD$ .

A = (6, 7, 2)

$A = (6, 7, 2)$

B = (- 8, 3, - 1)

$B = (- 8, 3, - 1)$

C = (7, 0, - 1)

$C = (7, 0, - 1)$

D = (0, - 4, 0)

$D = (0, - 4, 0)$

خطوة 2

أولاً، احسِب متجه الاتجاه للخط المار بالنقطتين

C

$C$ و

D

$D$ . يمكن إجراء ذلك عن طريق أخذ قيم إحداثيات النقطة

C

$C$ وطرحها من النقطة

D

$D$ .

V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >

$V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >$

خطوة 3

عوّض بقيم

x

$x$ و

y

$y$ و

z

$z$ ، ثم بسّط لإيجاد متجه الاتجاه

V_{CD}

$V_{CD}$ للخط

CD

$CD$ .

V_{CD} = ⟨ - 7, - 4, 1 ⟩

$V_{CD} = ⟨ - 7, - 4, 1 ⟩$

خطوة 4

احسب متجه الاتجاه لخط يمر بالنقطتين

A

$A$ و

B

$B$ باستخدام نفس الطريقة.

V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >

$V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >$

خطوة 5

عوّض بقيم

x

$x$ و

y

$y$ و

z

$z$ ، ثم بسّط لإيجاد متجه الاتجاه

V_{AB}

$V_{AB}$ للخط

AB

$AB$ .

V_{AB} = ⟨ - 14, - 4, - 3 ⟩

$V_{AB} = ⟨ - 14, - 4, - 3 ⟩$

خطوة 6

سيحتوي مستوى الحل على خط مستقيم يتضمن النقطتين

A

$A$ و

B

$B$ وبه متجه الاتجاه

V_{A B}

$V_{A B}$ . ولكي يكون هذا المستوى موازيًا للخط المستقيم

C D

$C D$ ، أوجِد المتجه الطبيعي للمستوى الذي يُعد متعامدًا أيضًا على متجه الاتجاه للخط المستقيم

C D

$C D$ . واحسِب قيمة المتجه الطبيعي بإيجاد حاصل الضرب الاتجاهي لـ

V_{A B}

$V_{A B}$ في

V_{C D}

$V_{C D}$ بإيجاد محدد المصفوفة

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} i & j & k x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} \\ x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{array}]$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} i & j & k - 14 & - 4 & - 3 - 7 & - 4 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ - 14 & - 4 & - 3 \\ - 7 & - 4 & 1 \end{array}]$

خطوة 7

احسب المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اختر الصف أو العمود الذي يحتوي على أكثر عدد من

0

$0$ من العناصر. إذا لم تكن هناك

0

$0$ من العناصر، فاختر أي صف أو عمود. اضرب كل عنصر في الصف

1

$1$ في العامل المساعد وأضف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

ضع في اعتبارك مخطط الإشارة المقابل.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

خطوة 7.1.2

العامل المساعد هو المختصر مع تغير العلامة إذا تطابقت المؤشرات مع موضع

-

$-$ على مخطط الإشارة.

خطوة 7.1.3

المختصر لـ

a_{11}

$a_{11}$ هو المحدد مع حذف الصف

1

$1$ والعمود

1

$1$ .

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 4 & - 3 - 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 4 & - 3 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

خطوة 7.1.4

اضرب العنصر

a_{11}

$a_{11}$ بعامله المساعد.

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 4 & - 3 - 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$i | \begin{array}{c} - 4 & - 3 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

خطوة 7.1.5

المختصر لـ

a_{12}

$a_{12}$ هو المحدد مع حذف الصف

1

$1$ والعمود

2

$2$ .

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 3 - 7 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 14 & - 3 \\ - 7 & 1 \end{array} |$

خطوة 7.1.6

اضرب العنصر

a_{12}

$a_{12}$ بعامله المساعد.

- ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 3 - 7 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j

$- | \begin{array}{c} - 14 & - 3 \\ - 7 & 1 \end{array} | j$

خطوة 7.1.7

المختصر لـ

a_{13}

$a_{13}$ هو المحدد مع حذف الصف

1

$1$ والعمود

3

$3$ .

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} |$

خطوة 7.1.8

اضرب العنصر

a_{13}

$a_{13}$ بعامله المساعد.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$| \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

خطوة 7.1.9

أضف الحدود معًا.

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 4 & - 3 - 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 3 - 7 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i | \begin{array}{c} - 4 & - 3 \\ - 4 & 1 \end{array} | - | \begin{array}{c} - 14 & - 3 \\ - 7 & 1 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 4 & - 3 - 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 3 - 7 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i | \begin{array}{c} - 4 & - 3 \\ - 4 & 1 \end{array} | - | \begin{array}{c} - 14 & - 3 \\ - 7 & 1 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

خطوة 7.2

احسِب قيمة

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 4 & - 3 - 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 4 & - 3 \\ - 4 & 1 \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة

2 \times 2

$2 \times 2$ باستخدام القاعدة

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

i (- 4 \cdot 1 - (- 4 \cdot - 3)) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 3 - 7 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (- 4 \cdot 1 - (- 4 \cdot - 3)) - | \begin{array}{c} - 14 & - 3 \\ - 7 & 1 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

خطوة 7.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1.1

اضرب

- 4

$- 4$ في

1

$1$ .

i (- 4 - (- 4 \cdot - 3)) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 3 - 7 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (- 4 - (- 4 \cdot - 3)) - | \begin{array}{c} - 14 & - 3 \\ - 7 & 1 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

خطوة 7.2.2.1.2

اضرب

- (- 4 \cdot - 3)

$- (- 4 \cdot - 3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1.2.1

اضرب

- 4

$- 4$ في

- 3

$- 3$ .

i (- 4 - 1 \cdot 12) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 3 - 7 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (- 4 - 1 \cdot 12) - | \begin{array}{c} - 14 & - 3 \\ - 7 & 1 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

خطوة 7.2.2.1.2.2

اضرب

- 1

$- 1$ في

12

$12$ .

i (- 4 - 12) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 3 - 7 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (- 4 - 12) - | \begin{array}{c} - 14 & - 3 \\ - 7 & 1 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

i (- 4 - 12) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 3 - 7 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (- 4 - 12) - | \begin{array}{c} - 14 & - 3 \\ - 7 & 1 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

i (- 4 - 12) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 3 - 7 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (- 4 - 12) - | \begin{array}{c} - 14 & - 3 \\ - 7 & 1 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

خطوة 7.2.2.2

اطرح

12

$12$ من

- 4

$- 4$ .

i \cdot - 16 - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 3 - 7 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 16 - | \begin{array}{c} - 14 & - 3 \\ - 7 & 1 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

i \cdot - 16 - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 3 - 7 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 16 - | \begin{array}{c} - 14 & - 3 \\ - 7 & 1 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

i \cdot - 16 - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 3 - 7 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 16 - | \begin{array}{c} - 14 & - 3 \\ - 7 & 1 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

خطوة 7.3

احسِب قيمة

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 3 - 7 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 14 & - 3 \\ - 7 & 1 \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة

2 \times 2

$2 \times 2$ باستخدام القاعدة

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

i \cdot - 16 - (- 14 \cdot 1 - (- 7 \cdot - 3)) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 16 - (- 14 \cdot 1 - (- 7 \cdot - 3)) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

خطوة 7.3.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1.1

اضرب

- 14

$- 14$ في

1

$1$ .

i \cdot - 16 - (- 14 - (- 7 \cdot - 3)) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 16 - (- 14 - (- 7 \cdot - 3)) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

خطوة 7.3.2.1.2

اضرب

- (- 7 \cdot - 3)

$- (- 7 \cdot - 3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1.2.1

اضرب

- 7

$- 7$ في

- 3

$- 3$ .

i \cdot - 16 - (- 14 - 1 \cdot 21) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 16 - (- 14 - 1 \cdot 21) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

خطوة 7.3.2.1.2.2

اضرب

- 1

$- 1$ في

21

$21$ .

i \cdot - 16 - (- 14 - 21) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 16 - (- 14 - 21) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

i \cdot - 16 - (- 14 - 21) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 16 - (- 14 - 21) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

i \cdot - 16 - (- 14 - 21) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 16 - (- 14 - 21) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

خطوة 7.3.2.2

اطرح

21

$21$ من

- 14

$- 14$ .

i \cdot - 16 - - 35 j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 16 - - 35 j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

i \cdot - 16 - - 35 j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 16 - - 35 j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

i \cdot - 16 - - 35 j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 16 - - 35 j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

خطوة 7.4

احسِب قيمة

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة

$2 \times 2$ باستخدام القاعدة

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$i \cdot - 16 - - 35 j + (- 14 \cdot - 4 - (- 7 \cdot - 4)) k$

خطوة 7.4.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.1.1

اضرب

$- 14$ في

$- 4$ .

$i \cdot - 16 - - 35 j + (56 - (- 7 \cdot - 4)) k$

خطوة 7.4.2.1.2

اضرب

$- (- 7 \cdot - 4)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.1.2.1

اضرب

$- 7$ في

$- 4$ .

$i \cdot - 16 - - 35 j + (56 - 1 \cdot 28) k$

خطوة 7.4.2.1.2.2

اضرب

$- 1$ في

$28$ .

$i \cdot - 16 - - 35 j + (56 - 28) k$

خطوة 7.4.2.2

اطرح

$28$ من

$56$ .

$i \cdot - 16 - - 35 j + 28 k$

خطوة 7.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

انقُل

$- 16$ إلى يسار

$i$ .

$- 16 \cdot i - - 35 j + 28 k$

خطوة 7.5.2

اضرب

$- 1$ في

$- 35$ .

$- 16 i + 35 j + 28 k$

خطوة 8

أوجِد حل العبارة

$(- 16) x + (35) y + (28) z$ عند النقطة

$A$ بما أنها واقعة على المستوى. تُستخدم هذه الطريقة لحساب قيمة الثابت في معادلة المستوى.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

اضرب

$- 16$ في

$6$ .

$- 96 + (35) \cdot 7 + (28) \cdot 2$

خطوة 8.1.2

اضرب

$35$ في

$7$ .

$- 96 + 245 + (28) \cdot 2$

خطوة 8.1.3

اضرب

$28$ في

$2$ .

$- 96 + 245 + 56$

خطوة 8.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

أضف

$- 96$ و

$245$ .

$149 + 56$

خطوة 8.2.2

أضف

$149$ و

$56$ .

$205$

خطوة 9

أضف الثابت لتجد أن معادلة المستوى ستصبح

$(- 16) x + (35) y + (28) z = 205$ .

$(- 16) x + (35) y + (28) z = 205$

خطوة 10

اضرب

$28$ في

$z$ .

$- 16 x + 35 y + 28 z = 205$

إدخال مسألتك