الأمثلة

7 x - y = - 4

$7 x - y = - 4$ ,

3 x - y = 0

$3 x - y = 0$

خطوة 1

لإيجاد تقاطع الخط المار بالنقطة

(p, q, r)

$(p, q, r)$ والعمودي على المستوى

P_{1}

$P_{1}$

a x + b y + c z = d

$a x + b y + c z = d$ والمستوى

P_{2}

$P_{2}$

e x + f y + g z = h

$e x + f y + g z = h$ :

1. أوجِد المتجهات العادية للمستوى

P_{1}

$P_{1}$ والمستوى

P_{2}

$P_{2}$ ، حيث تكون المتجهات العادية

n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ و

n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . تحقق لمعرفة ما إذا كان حاصل الضرب النقطي هو 0.

2. قم بإنشاء مجموعة من المعادلات الوسطية، مثل

x = p + a t

$x = p + a t$ و

y = q + b t

$y = q + b t$ و

z = r + c t

$z = r + c t$ .

3. استبدِل هذه المعادلات بمعادلة المستوى

P_{2}

$P_{2}$ ، مثل

e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h

$e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ وأوجِد الحل لـ

t

$t$ .

4. باستخدام قيمة

t

$t$ ، أوجِد قيمة

t

$t$ في المعادلات الوسطية

x = p + a t

$x = p + a t$ و

y = q + b t

$y = q + b t$ و

z = r + c t

$z = r + c t$ لإيجاد التقاطع

(x, y, z)

$(x, y, z)$ .

خطوة 2

أوجِد المتجهات العادية لكل مستوى وحدد ما إذا كانت متعامدة بحساب حاصل الضرب القياسي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

P_{1}

$P_{1}$ هو

7 x - y = - 4

$7 x - y = - 4$ . أوجِد المتجه العادي

n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ من معادلة السطح المستوي بالصيغة

a x + b y + c z = d

$a x + b y + c z = d$ .

n_{1} = ⟨ 7, - 1, 0 ⟩

$n_{1} = ⟨ 7, - 1, 0 ⟩$

خطوة 2.2

P_{2}

$P_{2}$ هو

3 x - y = 0

$3 x - y = 0$ . أوجِد المتجه العادي

n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ من معادلة السطح المستوي بالصيغة

e x + f y + g z = h

$e x + f y + g z = h$ .

n_{2} = ⟨ 3, - 1, 0 ⟩

$n_{2} = ⟨ 3, - 1, 0 ⟩$

خطوة 2.3

احسب حاصل الضرب القياسي لـ

n_{1}

$n_{1}$ و

n_{2}

$n_{2}$ عن طريق جمع نواتج قيم

x

$x$ و

y

$y$ و

z

$z$ المقابلة في المتجهات العادية.

7 \cdot 3 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0

$7 \cdot 3 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

خطوة 2.4

بسّط حاصل الضرب القياسي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

احذِف الأقواس.

7 \cdot 3 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0

$7 \cdot 3 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

خطوة 2.4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

اضرب

7

$7$ في

3

$3$ .

21 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0

$21 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

خطوة 2.4.2.2

اضرب

- 1

$- 1$ في

- 1

$- 1$ .

21 + 1 + 0 \cdot 0

$21 + 1 + 0 \cdot 0$

خطوة 2.4.2.3

اضرب

0

$0$ في

0

$0$ .

21 + 1 + 0

$21 + 1 + 0$

21 + 1 + 0

$21 + 1 + 0$

خطوة 2.4.3

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1

أضف

21

$21$ و

1

$1$ .

22 + 0

$22 + 0$

خطوة 2.4.3.2

أضف

22

$22$ و

0

$0$ .

22

$22$

22

$22$

22

$22$

22

$22$

خطوة 3

بعد ذلك، أنشئ مجموعة من المعادلات الوسطية

x = p + a t

$x = p + a t$ و

y = q + b t

$y = q + b t$ و

z = r + c t

$z = r + c t$ باستخدام نقطة الأصل

(0, 0, 0)

$(0, 0, 0)$ للنقطة

(p, q, r)

$(p, q, r)$ والقيم من المتجه العمودي

22

$22$ للقيم

a

$a$ و

b

$b$ و

c

$c$ . تمثِّل هذه المجموعة من المعادلات الوسطية الخط المارّ بالأصل المتعامد على

P_{1}

$P_{1}$

7 x - y = - 4

$7 x - y = - 4$ .

x = 0 + 7 \cdot t

$x = 0 + 7 \cdot t$

y = 0 + - 1 \cdot t

$y = 0 + - 1 \cdot t$

z = 0 + 0 \cdot t

$z = 0 + 0 \cdot t$

خطوة 4

استبدِل العبارة بـ

x

$x$ و

y

$y$ و

z

$z$ وعوّض بقيمها في المعادلة

P_{2}

$P_{2}$

3 x - y = 0

$3 x - y = 0$ .

3 (0 + 7 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = 0

$3 (0 + 7 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة

t

$t$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط

3 (0 + 7 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)

$3 (0 + 7 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

جمّع الحدود المتعاكسة في

3 (0 + 7 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)

$3 (0 + 7 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1

أضف

0

$0$ و

7 \cdot t

$7 \cdot t$ .

3 (7 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = 0

$3 (7 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = 0$

خطوة 5.1.1.2

اطرح

1 \cdot t

$1 \cdot t$ من

0

$0$ .

3 (7 \cdot t) - (- 1 \cdot t) = 0

$3 (7 \cdot t) - (- 1 \cdot t) = 0$

3 (7 \cdot t) - (- 1 \cdot t) = 0

$3 (7 \cdot t) - (- 1 \cdot t) = 0$

خطوة 5.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

اضرب

7

$7$ في

3

$3$ .

21 t - (- 1 \cdot t) = 0

$21 t - (- 1 \cdot t) = 0$

خطوة 5.1.2.2

أعِد كتابة

- 1 t

$- 1 t$ بالصيغة

- t

$- t$ .

21 t - - t = 0

$21 t - - t = 0$

خطوة 5.1.2.3

اضرب

- - t

$- - t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.3.1

اضرب

- 1

$- 1$ في

- 1

$- 1$ .

21 t + 1 t = 0

$21 t + 1 t = 0$

خطوة 5.1.2.3.2

اضرب

t

$t$ في

1

$1$ .

21 t + t = 0

$21 t + t = 0$

21 t + t = 0

$21 t + t = 0$

21 t + t = 0

$21 t + t = 0$

خطوة 5.1.3

أضف

21 t

$21 t$ و

t

$t$ .

22 t = 0

$22 t = 0$

22 t = 0

$22 t = 0$

خطوة 5.2

اقسِم كل حد في

22 t = 0

$22 t = 0$ على

22

$22$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اقسِم كل حد في

22 t = 0

$22 t = 0$ على

22

$22$ .

\frac{22 t}{22} = \frac{0}{22}

$\frac{22 t}{22} = \frac{0}{22}$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ

22

$22$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

\frac{22 t}{22} = \frac{0}{22}

$\frac{22 t}{22} = \frac{0}{22}$

خطوة 5.2.2.1.2

اقسِم

t

$t$ على

1

$1$ .

t = \frac{0}{22}

$t = \frac{0}{22}$

t = \frac{0}{22}

$t = \frac{0}{22}$

t = \frac{0}{22}

$t = \frac{0}{22}$

خطوة 5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اقسِم

0

$0$ على

22

$22$ .

t = 0

$t = 0$

t = 0

$t = 0$

t = 0

$t = 0$

t = 0

$t = 0$

خطوة 6

أوجِد قيم

x

$x$ و

y

$y$ و

z

$z$ في المعادلات الوسطية مستخدمًا قيمة

t

$t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أوجِد قيمة

x

$x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

احذِف الأقواس.

x = 0 + 7 \cdot (0)

$x = 0 + 7 \cdot (0)$

خطوة 6.1.2

بسّط

0 + 7 \cdot (0)

$0 + 7 \cdot (0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

اضرب

7

$7$ في

0

$0$ .

x = 0 + 0

$x = 0 + 0$

خطوة 6.1.2.2

أضف

0

$0$ و

0

$0$ .

x = 0

$x = 0$

x = 0

$x = 0$

x = 0

$x = 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة

y

$y$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

احذِف الأقواس.

y = 0 - 1 \cdot 0

$y = 0 - 1 \cdot 0$

خطوة 6.2.2

اطرح

0

$0$ من

0

$0$ .

y = 0

$y = 0$

y = 0

$y = 0$

خطوة 6.3

أوجِد قيمة

z

$z$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

احذِف الأقواس.

z = 0 + 0 \cdot (0)

$z = 0 + 0 \cdot (0)$

خطوة 6.3.2

بسّط

0 + 0 \cdot (0)

$0 + 0 \cdot (0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

اضرب

0

$0$ في

0

$0$ .

z = 0 + 0

$z = 0 + 0$

خطوة 6.3.2.2

أضف

0

$0$ و

0

$0$ .

z = 0

$z = 0$

z = 0

$z = 0$

z = 0

$z = 0$

خطوة 6.4

المعادلات الوسطية التي تم إيجاد بها قيم

x

$x$ و

y

$y$ و

z

$z$ .

x = 0

$x = 0$

y = 0

$y = 0$

z = 0

$z = 0$

x = 0

$x = 0$

y = 0

$y = 0$

z = 0

$z = 0$

خطوة 7

باستخدام القيم المحسوبة لـ

x

$x$ و

y

$y$ و

z

$z$ ، تم إيجاد أن نقطة التقاطع هي

(0, 0, 0)

$(0, 0, 0)$ .

(0, 0, 0)

$(0, 0, 0)$

إدخال مسألتك