الجبر الخطي الأمثلة

a = [\begin{matrix} 1 & 0 & 3 \end{matrix}]

$a = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ ,

b = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \end{matrix}]

$b = [\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \end{array}]$

خطوة 1

أوجِد حاصل الضرب القياسي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

حاصل الضرب القياسي لمتجهين هو مجموع حاصل ضرب مكوناتهما.

b⃗ \cdot a⃗ = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3$

خطوة 1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

اضرب

1

$1$ في

1

$1$ .

b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3$

خطوة 1.2.1.2

اضرب

0

$0$ في

1

$1$ .

b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 1 \cdot 3

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 1 \cdot 3$

خطوة 1.2.1.3

اضرب

3

$3$ في

1

$1$ .

b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 3

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 3$

b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 3

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 3$

خطوة 1.2.2

أضف

1

$1$ و

0

$0$ .

b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 3

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 3$

خطوة 1.2.3

أضف

1

$1$ و

3

$3$ .

b⃗ \cdot a⃗ = 4

$b⃗ \cdot a⃗ = 4$

b⃗ \cdot a⃗ = 4

$b⃗ \cdot a⃗ = 4$

b⃗ \cdot a⃗ = 4

$b⃗ \cdot a⃗ = 4$

خطوة 2

أوجِد معيار

a⃗ = [\begin{matrix} 1 & 0 & 3 \end{matrix}]

$a⃗ = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

المعيار هو الجذر التربيعي لمجموع تربيع كل عنصر في المتجه.

| | a⃗ | | = \sqrt{1^{2} + 0^{2} + 3^{2}}

$| | a⃗ | | = \sqrt{1^{2} + 0^{2} + 3^{2}}$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0^{2} + 3^{2}}

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0^{2} + 3^{2}}$

خطوة 2.2.2

ينتج

0

$0$ عن رفع

0

$0$ إلى أي قوة موجبة.

| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0 + 3^{2}}

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0 + 3^{2}}$

خطوة 2.2.3

ارفع

3

$3$ إلى القوة

2

$2$ .

| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0 + 9}

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0 + 9}$

خطوة 2.2.4

أضف

1

$1$ و

0

$0$ .

| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 9}

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 9}$

خطوة 2.2.5

أضف

1

$1$ و

9

$9$ .

| | a⃗ | | = \sqrt{10}

$| | a⃗ | | = \sqrt{10}$

| | a⃗ | | = \sqrt{10}

$| | a⃗ | | = \sqrt{10}$

| | a⃗ | | = \sqrt{10}

$| | a⃗ | | = \sqrt{10}$

خطوة 3

أوجِد إسقاط

b⃗

$b⃗$ على

a⃗

$a⃗$ باستخدام قاعدة الإسقاط.

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{b⃗ \cdot a⃗}{{| | a⃗ | |}^{2}} \times a⃗

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{b⃗ \cdot a⃗}{{| | a⃗ | |}^{2}} \times a⃗$

خطوة 4

عوّض بقيمة

b⃗ \cdot a⃗

$b⃗ \cdot a⃗$ التي تساوي

4

$4$ .

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{| | a⃗ | |}^{2}} \times a⃗

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{| | a⃗ | |}^{2}} \times a⃗$

خطوة 5

عوّض بقيمة

| | a⃗ | |

$| | a⃗ | |$ التي تساوي

\sqrt{10}

$\sqrt{10}$ .

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{\sqrt{10}}^{2}} \times a⃗

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{\sqrt{10}}^{2}} \times a⃗$

خطوة 6

عوّض بقيمة

a⃗

$a⃗$ التي تساوي

[\begin{matrix} 1 & 0 & 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ .

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{\sqrt{10}}^{2}} \times [\begin{matrix} 1 & 0 & 3 \end{matrix}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{\sqrt{10}}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

خطوة 7

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة

{\sqrt{10}}^{2}

${\sqrt{10}}^{2}$ بالصيغة

10

$10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

استخدِم

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة

\sqrt{10}

$\sqrt{10}$ في صورة

10^{\frac{1}{2}}

$10^{\frac{1}{2}}$ .

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times [\begin{matrix} 1 & 0 & 3 \end{matrix}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

خطوة 7.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس،

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times [\begin{matrix} 1 & 0 & 3 \end{matrix}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

خطوة 7.1.3

اجمع

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ و

2

$2$ .

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{matrix} 1 & 0 & 3 \end{matrix}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

خطوة 7.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ

2

$2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

خطوة 7.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{1}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

خطوة 7.1.5

احسِب قيمة الأُس.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

خطوة 7.2

احذِف العامل المشترك لـ

$4$ و

$10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أخرِج العامل

$2$ من

$4$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 (2)}{10} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

خطوة 7.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

أخرِج العامل

$2$ من

$10$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

خطوة 7.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

خطوة 7.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2}{5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

خطوة 7.3

اضرب

$\frac{2}{5}$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} \cdot 1 & \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

خطوة 7.4

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

اضرب

$\frac{2}{5}$ في

$1$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

خطوة 7.4.2

اضرب

$\frac{2}{5}$ في

$0$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

خطوة 7.4.3

اضرب

$\frac{2}{5} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.3.1

اجمع

$\frac{2}{5}$ و

$3$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{2 \cdot 3}{5} \end{array}]$

خطوة 7.4.3.2

اضرب

$2$ في

$3$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{6}{5} \end{array}]$

إدخال مسألتك