الجبر الخطي الأمثلة

$a = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ , $b = [\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \end{array}]$

خطوة 1

أوجِد حاصل الضرب القياسي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

حاصل الضرب القياسي لمتجهين هو مجموع حاصل ضرب مكوناتهما.

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3$

خطوة 1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

اضرب $1$ في $1$ .

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3$

خطوة 1.2.1.2

اضرب $0$ في $1$ .

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 1 \cdot 3$

خطوة 1.2.1.3

اضرب $3$ في $1$ .

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 3$

خطوة 1.2.2

أضف $1$ و $0$ .

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 3$

خطوة 1.2.3

أضف $1$ و $3$ .

$b⃗ \cdot a⃗ = 4$

خطوة 2

أوجِد معيار $a⃗ = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

المعيار هو الجذر التربيعي لمجموع تربيع كل عنصر في المتجه.

$| | a⃗ | | = \sqrt{1^{2} + 0^{2} + 3^{2}}$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0^{2} + 3^{2}}$

خطوة 2.2.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0 + 3^{2}}$

خطوة 2.2.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0 + 9}$

خطوة 2.2.4

أضف $1$ و $0$ .

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 9}$

خطوة 2.2.5

أضف $1$ و $9$ .

$| | a⃗ | | = \sqrt{10}$

خطوة 3

أوجِد إسقاط $b⃗$ على $a⃗$ باستخدام قاعدة الإسقاط.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{b⃗ \cdot a⃗}{{| | a⃗ | |}^{2}} \times a⃗$

خطوة 4

عوّض بقيمة $b⃗ \cdot a⃗$ التي تساوي $4$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{| | a⃗ | |}^{2}} \times a⃗$

خطوة 5

عوّض بقيمة $| | a⃗ | |$ التي تساوي $\sqrt{10}$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{\sqrt{10}}^{2}} \times a⃗$

خطوة 6

عوّض بقيمة $a⃗$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{\sqrt{10}}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

خطوة 7

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة ${\sqrt{10}}^{2}$ بالصيغة $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{10}$ في صورة $10^{\frac{1}{2}}$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

خطوة 7.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

خطوة 7.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

خطوة 7.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

خطوة 7.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{1}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

خطوة 7.1.5

احسِب قيمة الأُس.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

خطوة 7.2

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 (2)}{10} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

خطوة 7.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

خطوة 7.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

خطوة 7.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2}{5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

خطوة 7.3

اضرب $\frac{2}{5}$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} \cdot 1 & \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

خطوة 7.4

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

اضرب $\frac{2}{5}$ في $1$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

خطوة 7.4.2

اضرب $\frac{2}{5}$ في $0$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

خطوة 7.4.3

اضرب $\frac{2}{5} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.3.1

اجمع $\frac{2}{5}$ و $3$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{2 \cdot 3}{5} \end{array}]$

خطوة 7.4.3.2

اضرب $2$ في $3$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{6}{5} \end{array}]$

إدخال مسألتك