الجبر الخطي الأمثلة

$a = [\begin{array}{c} 2 & 3 & 2 \end{array}]$ , $b = [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

خطوة 1

أوجِد حاصل الضرب القياسي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

حاصل الضرب القياسي لمتجهين هو مجموع حاصل ضرب مكوناتهما.

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1$

خطوة 1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

اضرب $2$ في $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1$

خطوة 1.2.1.2

اضرب $3$ في $2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2 \cdot 1$

خطوة 1.2.1.3

اضرب $2$ في $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2$

خطوة 1.2.2

أضف $2$ و $6$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 8 + 2$

خطوة 1.2.3

أضف $8$ و $2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 10$

خطوة 2

أوجِد معيار $b⃗ = [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

المعيار هو الجذر التربيعي لمجموع تربيع كل عنصر في المتجه.

$| | b⃗ | | = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 1^{2}}$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 2^{2} + 1^{2}}$

خطوة 2.2.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 4 + 1^{2}}$

خطوة 2.2.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 4 + 1}$

خطوة 2.2.4

أضف $1$ و $4$ .

$| | b⃗ | | = \sqrt{5 + 1}$

خطوة 2.2.5

أضف $5$ و $1$ .

$| | b⃗ | | = \sqrt{6}$

خطوة 3

أوجِد إسقاط $a⃗$ على $b⃗$ باستخدام قاعدة الإسقاط.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{a⃗ \cdot b⃗}{{| | b⃗ | |}^{2}} \times b⃗$

خطوة 4

عوّض بقيمة $a⃗ \cdot b⃗$ التي تساوي $10$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{| | b⃗ | |}^{2}} \times b⃗$

خطوة 5

عوّض بقيمة $| | b⃗ | |$ التي تساوي $\sqrt{6}$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{\sqrt{6}}^{2}} \times b⃗$

خطوة 6

عوّض بقيمة $b⃗$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{\sqrt{6}}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

خطوة 7

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة ${\sqrt{6}}^{2}$ بالصيغة $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{6}$ في صورة $6^{\frac{1}{2}}$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

خطوة 7.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

خطوة 7.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

خطوة 7.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

خطوة 7.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{1}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

خطوة 7.1.5

احسِب قيمة الأُس.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

خطوة 7.2

احذِف العامل المشترك لـ $10$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 (5)}{6} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

خطوة 7.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

خطوة 7.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

خطوة 7.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{5}{3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

خطوة 7.3

اضرب $\frac{5}{3}$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} \cdot 1 & \frac{5}{3} \cdot 2 & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 7.4

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

اضرب $\frac{5}{3}$ في $1$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{5}{3} \cdot 2 & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 7.4.2

اضرب $\frac{5}{3} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.1

اجمع $\frac{5}{3}$ و $2$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{5 \cdot 2}{3} & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 7.4.2.2

اضرب $5$ في $2$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 7.4.3

اضرب $\frac{5}{3}$ في $1$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & \frac{5}{3} \end{array}]$

إدخال مسألتك