الجبر الخطي الأمثلة

(1, - 2)

$(1, - 2)$ ,

(- 2, 1)

$(- 2, 1)$

خطوة 1

استخدم قاعدة الضرب القياسي لإيجاد الزاوية بين متجهين.

θ = arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

خطوة 2

أوجِد حاصل الضرب القياسي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

حاصل الضرب القياسي لمتجهين هو مجموع حاصل ضرب مكوناتهما.

a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot - 2 - 2 \cdot 1

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot - 2 - 2 \cdot 1$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

اضرب

- 2

$- 2$ في

1

$1$ .

a⃗ \cdot b⃗ = - 2 - 2 \cdot 1

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 - 2 \cdot 1$

خطوة 2.2.1.2

اضرب

- 2

$- 2$ في

1

$1$ .

a⃗ \cdot b⃗ = - 2 - 2

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 - 2$

a⃗ \cdot b⃗ = - 2 - 2

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 - 2$

خطوة 2.2.2

اطرح

2

$2$ من

- 2

$- 2$ .

a⃗ \cdot b⃗ = - 4

$a⃗ \cdot b⃗ = - 4$

a⃗ \cdot b⃗ = - 4

$a⃗ \cdot b⃗ = - 4$

a⃗ \cdot b⃗ = - 4

$a⃗ \cdot b⃗ = - 4$

خطوة 3

أوجِد مقدار

a⃗

$a⃗$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

المعيار هو الجذر التربيعي لمجموع تربيع كل عنصر في المتجه.

| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2}}$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

| a⃗ | = \sqrt{1 + {(- 2)}^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{1 + {(- 2)}^{2}}$

خطوة 3.2.2

ارفع

- 2

$- 2$ إلى القوة

2

$2$ .

| a⃗ | = \sqrt{1 + 4}

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 4}$

خطوة 3.2.3

أضف

1

$1$ و

4

$4$ .

| a⃗ | = \sqrt{5}

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

| a⃗ | = \sqrt{5}

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

| a⃗ | = \sqrt{5}

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

خطوة 4

أوجِد مقدار

b⃗

$b⃗$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

المعيار هو الجذر التربيعي لمجموع تربيع كل عنصر في المتجه.

| b⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2}}$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ارفع

- 2

$- 2$ إلى القوة

2

$2$ .

| b⃗ | = \sqrt{4 + 1^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1^{2}}$

خطوة 4.2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

| b⃗ | = \sqrt{4 + 1}

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1}$

خطوة 4.2.3

أضف

4

$4$ و

1

$1$ .

| b⃗ | = \sqrt{5}

$| b⃗ | = \sqrt{5}$

| b⃗ | = \sqrt{5}

$| b⃗ | = \sqrt{5}$

| b⃗ | = \sqrt{5}

$| b⃗ | = \sqrt{5}$

خطوة 5

عوّض بالقيم في القاعدة.

θ = arccos (\frac{- 4}{\sqrt{5} \sqrt{5}})

$θ = \arccos (\frac{- 4}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

ارفع

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$ إلى القوة

1

$1$ .

θ = arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

خطوة 6.1.2

ارفع

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$ إلى القوة

1

$1$ .

θ = arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

خطوة 6.1.3

استخدِم قاعدة القوة

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

θ = arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

خطوة 6.1.4

أضف

1

$1$ و

1

$1$ .

θ = arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{2}})

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{2}})$

θ = arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{2}})

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{2}})$

خطوة 6.2

أعِد كتابة

{\sqrt{5}}^{2}

${\sqrt{5}}^{2}$ بالصيغة

5

$5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

استخدِم

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$ في صورة

5^{\frac{1}{2}}

$5^{\frac{1}{2}}$ .

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ \frac{- 4}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} ⎞ ⎟ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

خطوة 6.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس،

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

θ = arccos (\frac{- 4}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

خطوة 6.2.3

اجمع

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ و

2

$2$ .

θ = arccos (\frac{- 4}{5^{\frac{2}{2}}})

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5^{\frac{2}{2}}})$

خطوة 6.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ

2

$2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5^{\frac{2}{2}}})$

خطوة 6.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5^{1}})$

خطوة 6.2.5

احسِب قيمة الأُس.

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5})$

خطوة 6.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$θ = \arccos (- \frac{4}{5})$

خطوة 6.4

احسِب قيمة

$\arccos (- \frac{4}{5})$ .

$θ = 143.13010235$

إدخال مسألتك