الجبر الخطي الأمثلة

$(2, 0, 1)$ , $(- 2, 1, 1)$

خطوة 1

استخدم قاعدة الضرب الاتجاهي لإيجاد الزاوية بين متجهين.

$θ = \arcsin (\frac{| a⃗ \times b⃗ |}{| a⃗ | | b⃗ |})$

خطوة 2

أوجِد حاصل الضرب الاتجاهي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

يمكن كتابة حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين $a⃗$ و $b⃗$ كمحدد باستخدام متجهات الوحدة القياسية من $ℝ^{3}$ وعناصر المتجهات المحددة.

$a⃗ \times b⃗ = a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} |$

خطوة 2.2

كوّن المحدد مستخدمًا القيم المُعطاة.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ 2 & 0 & 1 \\ - 2 & 1 & 1 \end{array} |$

خطوة 2.3

اختر الصف أو العمود الذي يحتوي على أكثر عدد من $0$ من العناصر. إذا لم تكن هناك $0$ من العناصر، فاختر أي صف أو عمود. اضرب كل عنصر في الصف $1$ في العامل المساعد وأضف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

ضع في اعتبارك مخطط الإشارة المقابل.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

خطوة 2.3.2

العامل المساعد هو المختصر مع تغير العلامة إذا تطابقت المؤشرات مع موضع $-$ على مخطط الإشارة.

خطوة 2.3.3

المختصر لـ $a_{11}$ هو المحدد مع حذف الصف $1$ والعمود $1$ .

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

خطوة 2.3.4

اضرب العنصر $a_{11}$ بعامله المساعد.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | î$

خطوة 2.3.5

المختصر لـ $a_{12}$ هو المحدد مع حذف الصف $1$ والعمود $2$ .

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

خطوة 2.3.6

اضرب العنصر $a_{12}$ بعامله المساعد.

$- | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ$

خطوة 2.3.7

المختصر لـ $a_{13}$ هو المحدد مع حذف الصف $1$ والعمود $3$ .

$| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

خطوة 2.3.8

اضرب العنصر $a_{13}$ بعامله المساعد.

$| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

خطوة 2.3.9

أضف الحدود معًا.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

خطوة 2.4

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = (0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

خطوة 2.4.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1.1

اضرب $0$ في $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = (0 - 1 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

خطوة 2.4.2.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = (0 - 1) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

خطوة 2.4.2.2

اطرح $1$ من $0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

خطوة 2.5

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 \cdot 1 - (- 2 \cdot 1)) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

خطوة 2.5.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1.1

اضرب $2$ في $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 - (- 2 \cdot 1)) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

خطوة 2.5.2.1.2

اضرب $- (- 2 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1.2.1

اضرب $- 2$ في $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 - - 2) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

خطوة 2.5.2.1.2.2

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 + 2) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

خطوة 2.5.2.2

أضف $2$ و $2$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

خطوة 2.6

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 \cdot 1 - (- 2 \cdot 0)) k̂$

خطوة 2.6.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1.1

اضرب $2$ في $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 - (- 2 \cdot 0)) k̂$

خطوة 2.6.2.1.2

اضرب $- (- 2 \cdot 0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1.2.1

اضرب $- 2$ في $0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 - 0) k̂$

خطوة 2.6.2.1.2.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 + 0) k̂$

خطوة 2.6.2.2

أضف $2$ و $0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + 2 k̂$

خطوة 2.7

اضرب $- 1$ في $4$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 4 ĵ + 2 k̂$

خطوة 2.8

أعِد كتابة الإجابة.

$a⃗ \times b⃗ = (- 1, - 4, 2)$

خطوة 3

أوجِد مقدار الضرب الاتجاهي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

المعيار هو الجذر التربيعي لمجموع تربيع كل عنصر في المتجه.

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 4)}^{2} + 2^{2}}$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{1 + {(- 4)}^{2} + 2^{2}}$

خطوة 3.2.2

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{1 + 16 + 2^{2}}$

خطوة 3.2.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{1 + 16 + 4}$

خطوة 3.2.4

أضف $1$ و $16$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{17 + 4}$

خطوة 3.2.5

أضف $17$ و $4$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{21}$

خطوة 4

أوجِد مقدار $a⃗$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

المعيار هو الجذر التربيعي لمجموع تربيع كل عنصر في المتجه.

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} + 0^{2} + 1^{2}}$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0^{2} + 1^{2}}$

خطوة 4.2.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0 + 1^{2}}$

خطوة 4.2.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0 + 1}$

خطوة 4.2.4

أضف $4$ و $0$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 1}$

خطوة 4.2.5

أضف $4$ و $1$ .

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

خطوة 5

أوجِد مقدار $b⃗$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

المعيار هو الجذر التربيعي لمجموع تربيع كل عنصر في المتجه.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1^{2} + 1^{2}}$

خطوة 5.2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1 + 1^{2}}$

خطوة 5.2.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1 + 1}$

خطوة 5.2.4

أضف $4$ و $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{5 + 1}$

خطوة 5.2.5

أضف $5$ و $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{6}$

خطوة 6

عوّض بالقيم في القاعدة.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{5} \sqrt{6}})$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اجمع $\sqrt{21}$ و $\sqrt{6}$ في جذر واحد.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{21}{6}}}{\sqrt{5}})$

خطوة 7.2

احذِف العامل المشترك لـ $21$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أخرِج العامل $3$ من $21$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{3 (7)}{6}}}{\sqrt{5}})$

خطوة 7.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 2}}}{\sqrt{5}})$

خطوة 7.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 2}}}{\sqrt{5}})$

خطوة 7.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{7}{2}}}{\sqrt{5}})$

خطوة 7.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{7}{2}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

خطوة 7.3.2

اضرب $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

خطوة 7.3.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.1

اضرب $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

خطوة 7.3.3.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

خطوة 7.3.3.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}}{\sqrt{5}})$

خطوة 7.3.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{\sqrt{5}})$

خطوة 7.3.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{5}})$

خطوة 7.3.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{5}})$

خطوة 7.3.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{5}})$

خطوة 7.3.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}})$

خطوة 7.3.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}})$

خطوة 7.3.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{1}}}{\sqrt{5}})$

خطوة 7.3.3.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2}}{\sqrt{5}})$

خطوة 7.3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.4.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7 \cdot 2}}{2}}{\sqrt{5}})$

خطوة 7.3.4.2

اضرب $7$ في $2$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{14}}{2}}{\sqrt{5}})$

خطوة 7.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}})$

خطوة 7.5

اضرب $\frac{1}{\sqrt{5}}$ في $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} (\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}))$

خطوة 7.6

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{5}}$ في $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

خطوة 7.6.2

ارفع $\sqrt{5}$ إلى القوة $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

خطوة 7.6.3

ارفع $\sqrt{5}$ إلى القوة $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

خطوة 7.6.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

خطوة 7.6.5

أضف $1$ و $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}})$

خطوة 7.6.6

أعِد كتابة ${\sqrt{5}}^{2}$ بالصيغة $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{5}$ في صورة $5^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

خطوة 7.6.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

خطوة 7.6.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

خطوة 7.6.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

خطوة 7.6.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{1}})$

خطوة 7.6.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5})$

خطوة 7.7

اضرب $\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.7.1

اضرب $\frac{\sqrt{14}}{2}$ في $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14} \sqrt{5}}{2 \cdot 5})$

خطوة 7.7.2

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14 \cdot 5}}{2 \cdot 5})$

خطوة 7.7.3

اضرب $14$ في $5$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{70}}{2 \cdot 5})$

خطوة 7.7.4

اضرب $2$ في $5$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{70}}{10})$

خطوة 7.8

احسِب قيمة $\arcsin (\frac{\sqrt{70}}{10})$ .

$θ = 56.78908923$

إدخال مسألتك