الجبر الخطي الأمثلة

$(1, - 1, 2)$ , $(0, 3, 1)$

خطوة 1

استخدم قاعدة الضرب الاتجاهي لإيجاد الزاوية بين متجهين.

$θ = \arcsin (\frac{| a⃗ \times b⃗ |}{| a⃗ | | b⃗ |})$

خطوة 2

أوجِد حاصل الضرب الاتجاهي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

يمكن كتابة حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين $a⃗$ و $b⃗$ كمحدد باستخدام متجهات الوحدة القياسية من $ℝ^{3}$ وعناصر المتجهات المحددة.

$a⃗ \times b⃗ = a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} |$

خطوة 2.2

كوّن المحدد مستخدمًا القيم المُعطاة.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \end{array} |$

خطوة 2.3

اختر الصف أو العمود الذي يحتوي على أكثر عدد من $0$ من العناصر. إذا لم تكن هناك $0$ من العناصر، فاختر أي صف أو عمود. اضرب كل عنصر في الصف $1$ في العامل المساعد وأضف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

ضع في اعتبارك مخطط الإشارة المقابل.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

خطوة 2.3.2

العامل المساعد هو المختصر مع تغير العلامة إذا تطابقت المؤشرات مع موضع $-$ على مخطط الإشارة.

خطوة 2.3.3

المختصر لـ $a_{11}$ هو المحدد مع حذف الصف $1$ والعمود $1$ .

$| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} |$

خطوة 2.3.4

اضرب العنصر $a_{11}$ بعامله المساعد.

$| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} | î$

خطوة 2.3.5

المختصر لـ $a_{12}$ هو المحدد مع حذف الصف $1$ والعمود $2$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} |$

خطوة 2.3.6

اضرب العنصر $a_{12}$ بعامله المساعد.

$- | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ$

خطوة 2.3.7

المختصر لـ $a_{13}$ هو المحدد مع حذف الصف $1$ والعمود $3$ .

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} |$

خطوة 2.3.8

اضرب العنصر $a_{13}$ بعامله المساعد.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

خطوة 2.3.9

أضف الحدود معًا.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

خطوة 2.4

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = (- 1 \cdot 1 - 3 \cdot 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

خطوة 2.4.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = (- 1 - 3 \cdot 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

خطوة 2.4.2.1.2

اضرب $- 3$ في $2$ .

$a⃗ \times b⃗ = (- 1 - 6) î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

خطوة 2.4.2.2

اطرح $6$ من $- 1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

خطوة 2.5

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - (1 \cdot 1 + 0 \cdot 2) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

خطوة 2.5.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1.1

اضرب $1$ في $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - (1 + 0 \cdot 2) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

خطوة 2.5.2.1.2

اضرب $0$ في $2$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - (1 + 0) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

خطوة 2.5.2.2

أضف $1$ و $0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

خطوة 2.6

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + (1 \cdot 3 + 0 \cdot - 1) k̂$

خطوة 2.6.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1.1

اضرب $3$ في $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + (3 + 0 \cdot - 1) k̂$

خطوة 2.6.2.1.2

اضرب $0$ في $- 1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + (3 + 0) k̂$

خطوة 2.6.2.2

أضف $3$ و $0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + 3 k̂$

خطوة 2.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - ĵ + 3 k̂$

خطوة 2.8

أعِد كتابة الإجابة.

$a⃗ \times b⃗ = (- 7, - 1, 3)$

خطوة 3

أوجِد مقدار الضرب الاتجاهي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

المعيار هو الجذر التربيعي لمجموع تربيع كل عنصر في المتجه.

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{{(- 7)}^{2} + {(- 1)}^{2} + 3^{2}}$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ارفع $- 7$ إلى القوة $2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{49 + {(- 1)}^{2} + 3^{2}}$

خطوة 3.2.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{49 + 1 + 3^{2}}$

خطوة 3.2.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{49 + 1 + 9}$

خطوة 3.2.4

أضف $49$ و $1$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{50 + 9}$

خطوة 3.2.5

أضف $50$ و $9$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{59}$

خطوة 4

أوجِد مقدار $a⃗$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

المعيار هو الجذر التربيعي لمجموع تربيع كل عنصر في المتجه.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}$

خطوة 4.2.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 1 + 2^{2}}$

خطوة 4.2.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 1 + 4}$

خطوة 4.2.4

أضف $1$ و $1$ .

$| a⃗ | = \sqrt{2 + 4}$

خطوة 4.2.5

أضف $2$ و $4$ .

$| a⃗ | = \sqrt{6}$

خطوة 5

أوجِد مقدار $b⃗$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

المعيار هو الجذر التربيعي لمجموع تربيع كل عنصر في المتجه.

$| b⃗ | = \sqrt{0^{2} + 3^{2} + 1^{2}}$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 3^{2} + 1^{2}}$

خطوة 5.2.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 9 + 1^{2}}$

خطوة 5.2.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 9 + 1}$

خطوة 5.2.4

أضف $0$ و $9$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 1}$

خطوة 5.2.5

أضف $9$ و $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{10}$

خطوة 6

عوّض بالقيم في القاعدة.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{6} \sqrt{10}})$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{6 \cdot 10}})$

خطوة 7.1.2

اضرب $6$ في $10$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{60}})$

خطوة 7.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أعِد كتابة $60$ بالصيغة $2^{2} \cdot 15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

أخرِج العامل $4$ من $60$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{4 (15)}})$

خطوة 7.2.1.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{2^{2} \cdot 15}})$

خطوة 7.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}})$

خطوة 7.3

اضرب $\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}}$ في $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}})$

خطوة 7.4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

اضرب $\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}}$ في $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \sqrt{15} \sqrt{15}})$

خطوة 7.4.2

انقُل $\sqrt{15}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 (\sqrt{15} \sqrt{15})})$

خطوة 7.4.3

ارفع $\sqrt{15}$ إلى القوة $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 ({\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15})})$

خطوة 7.4.4

ارفع $\sqrt{15}$ إلى القوة $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 ({\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1})})$

خطوة 7.4.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 {\sqrt{15}}^{1 + 1}})$

خطوة 7.4.6

أضف $1$ و $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 {\sqrt{15}}^{2}})$

خطوة 7.4.7

أعِد كتابة ${\sqrt{15}}^{2}$ بالصيغة $15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.7.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{15}$ في صورة $15^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

خطوة 7.4.7.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

خطوة 7.4.7.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{2}{2}}})$

خطوة 7.4.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{2}{2}}})$

خطوة 7.4.7.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{1}})$

خطوة 7.4.7.5

احسِب قيمة الأُس.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15})$

خطوة 7.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59 \cdot 15}}{2 \cdot 15})$

خطوة 7.5.2

اضرب $59$ في $15$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{885}}{2 \cdot 15})$

خطوة 7.6

اضرب $2$ في $15$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{885}}{30})$

خطوة 7.7

احسِب قيمة $\arcsin (\frac{\sqrt{885}}{30})$ .

$θ = 82.5824442$

إدخال مسألتك