الجبر الخطي الأمثلة

(1, 1, 1)

$(1, 1, 1)$ ,

(0, 1, 1)

$(0, 1, 1)$ ,

(0, 0, 1)

$(0, 0, 1)$

خطوة 1

عيّن اسمًا لكل متجه.

{u⃗}_{1} = (1, 1, 1)

${u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

{u⃗}_{2} = (0, 1, 1)

${u⃗}_{2} = (0, 1, 1)$

{u⃗}_{3} = (0, 0, 1)

${u⃗}_{3} = (0, 0, 1)$

خطوة 2

المتجه المتعامد الأول هو المتجه الأول في مجموعة المتجهات المحددة.

{v⃗}_{1} = {u⃗}_{1} = (1, 1, 1)

${v⃗}_{1} = {u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

خطوة 3

استخدم القاعدة لإيجاد المتجهات المتعامدة الأخرى.

{v⃗}_{k} = {u⃗}_{k} - k - 1 \sum i = 1 {proj}_{{v⃗}_{i}} ({u⃗}_{k})

${v⃗}_{k} = {u⃗}_{k} - \sum_{i = 1}^{k - 1} {proj}_{{v⃗}_{i}} ({u⃗}_{k})$

خطوة 4

أوجِد المتجه المتعامد

{v⃗}_{2}

${v⃗}_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استخدم القاعدة لإيجاد

{v⃗}_{2}

${v⃗}_{2}$ .

{v⃗}_{2} = {u⃗}_{2} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})

${v⃗}_{2} = {u⃗}_{2} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة

{u⃗}_{2}

${u⃗}_{2}$ التي تساوي

(0, 1, 1)

$(0, 1, 1)$ .

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

خطوة 4.3

أوجِد

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أوجِد حاصل الضرب القياسي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

حاصل الضرب القياسي لمتجهين هو مجموع حاصل ضرب مكوناتهما.

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

خطوة 4.3.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.2.1.1

اضرب

$0$ في

$1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

خطوة 4.3.1.2.1.2

اضرب

$1$ في

$1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1 \cdot 1$

خطوة 4.3.1.2.1.3

اضرب

$1$ في

$1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1$

خطوة 4.3.1.2.2

أضف

$0$ و

$1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 1 + 1$

خطوة 4.3.1.2.3

أضف

$1$ و

$1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2$

خطوة 4.3.2

أوجِد معيار

${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

المعيار هو الجذر التربيعي لمجموع تربيع كل عنصر في المتجه.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

خطوة 4.3.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

خطوة 4.3.2.2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

خطوة 4.3.2.2.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}$

خطوة 4.3.2.2.4

أضف

$1$ و

$1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}$

خطوة 4.3.2.2.5

أضف

$2$ و

$1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

خطوة 4.3.3

أوجِد إسقاط

${u⃗}_{2}$ على

${v⃗}_{1}$ باستخدام قاعدة الإسقاط.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

خطوة 4.3.4

عوّض بقيمة

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}$ التي تساوي

$2$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

خطوة 4.3.5

عوّض بقيمة

$| | {v⃗}_{1} | |$ التي تساوي

$\sqrt{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

خطوة 4.3.6

عوّض بقيمة

${v⃗}_{1}$ التي تساوي

$(1, 1, 1)$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)$

خطوة 4.3.7

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.1

أعِد كتابة

${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة

$3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.1.1

استخدِم

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة

$\sqrt{3}$ في صورة

$3^{\frac{1}{2}}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)$

خطوة 4.3.7.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس،

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)$

خطوة 4.3.7.1.3

اجمع

$\frac{1}{2}$ و

$2$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

خطوة 4.3.7.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ

$2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

خطوة 4.3.7.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{1}} \times (1, 1, 1)$

خطوة 4.3.7.1.5

احسِب قيمة الأُس.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3} \times (1, 1, 1)$

خطوة 4.3.7.2

اضرب

$\frac{2}{3}$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

خطوة 4.3.7.3

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.3.1

اضرب

$\frac{2}{3}$ في

$1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

خطوة 4.3.7.3.2

اضرب

$\frac{2}{3}$ في

$1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1)$

خطوة 4.3.7.3.3

اضرب

$\frac{2}{3}$ في

$1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

خطوة 4.4

عوّض الإسقاط.

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

خطوة 4.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

اجمع كل مكون من مكونات المتجهات.

$(0 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

خطوة 4.5.2

اطرح

$\frac{2}{3}$ من

$0$ .

$(- \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

خطوة 4.5.3

اكتب

$1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$(- \frac{2}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

خطوة 4.5.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$(- \frac{2}{3}, \frac{3 - 2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

خطوة 4.5.5

اطرح

$2$ من

$3$ .

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

خطوة 4.5.6

اكتب

$1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

خطوة 4.5.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3 - 2}{3})$

خطوة 4.5.8

اطرح

$2$ من

$3$ .

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

خطوة 5

أوجِد المتجه المتعامد

${v⃗}_{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استخدم القاعدة لإيجاد

${v⃗}_{3}$ .

${v⃗}_{3} = {u⃗}_{3} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) - {proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3})$

خطوة 5.2

عوّض بقيمة

${u⃗}_{3}$ التي تساوي

$(0, 0, 1)$ .

${v⃗}_{3} = (0, 0, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) - {proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3})$

خطوة 5.3

أوجِد

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أوجِد حاصل الضرب القياسي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

حاصل الضرب القياسي لمتجهين هو مجموع حاصل ضرب مكوناتهما.

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

خطوة 5.3.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.1.1

اضرب

$0$ في

$1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

خطوة 5.3.1.2.1.2

اضرب

$0$ في

$1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 0 + 1 \cdot 1$

خطوة 5.3.1.2.1.3

اضرب

$1$ في

$1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 0 + 1$

خطوة 5.3.1.2.2

أضف

$0$ و

$0$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1$

خطوة 5.3.1.2.3

أضف

$0$ و

$1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 1$

خطوة 5.3.2

أوجِد معيار

${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

المعيار هو الجذر التربيعي لمجموع تربيع كل عنصر في المتجه.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

خطوة 5.3.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

خطوة 5.3.2.2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

خطوة 5.3.2.2.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}$

خطوة 5.3.2.2.4

أضف

$1$ و

$1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}$

خطوة 5.3.2.2.5

أضف

$2$ و

$1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

خطوة 5.3.3

أوجِد إسقاط

${u⃗}_{3}$ على

${v⃗}_{1}$ باستخدام قاعدة الإسقاط.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{{u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

خطوة 5.3.4

عوّض بقيمة

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1}$ التي تساوي

$1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

خطوة 5.3.5

عوّض بقيمة

$| | {v⃗}_{1} | |$ التي تساوي

$\sqrt{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

خطوة 5.3.6

عوّض بقيمة

${v⃗}_{1}$ التي تساوي

$(1, 1, 1)$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)$

خطوة 5.3.7

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.7.1

أعِد كتابة

${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة

$3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.7.1.1

استخدِم

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة

$\sqrt{3}$ في صورة

$3^{\frac{1}{2}}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)$

خطوة 5.3.7.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس،

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)$

خطوة 5.3.7.1.3

اجمع

$\frac{1}{2}$ و

$2$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

خطوة 5.3.7.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ

$2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.7.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

خطوة 5.3.7.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{1}} \times (1, 1, 1)$

خطوة 5.3.7.1.5

احسِب قيمة الأُس.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3} \times (1, 1, 1)$

خطوة 5.3.7.2

اضرب

$\frac{1}{3}$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3} \cdot 1, \frac{1}{3} \cdot 1, \frac{1}{3} \cdot 1)$

خطوة 5.3.7.3

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.7.3.1

اضرب

$\frac{1}{3}$ في

$1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3} \cdot 1, \frac{1}{3} \cdot 1)$

خطوة 5.3.7.3.2

اضرب

$\frac{1}{3}$ في

$1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \cdot 1)$

خطوة 5.3.7.3.3

اضرب

$\frac{1}{3}$ في

$1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

خطوة 5.4

أوجِد

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أوجِد حاصل الضرب القياسي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1

حاصل الضرب القياسي لمتجهين هو مجموع حاصل ضرب مكوناتهما.

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 (- \frac{2}{3}) + 0 (\frac{1}{3}) + 1 (\frac{1}{3})$

خطوة 5.4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.2.1.1

اضرب

$0 (- \frac{2}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.2.1.1.1

اضرب

$- 1$ في

$0$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 (\frac{2}{3}) + 0 (\frac{1}{3}) + 1 (\frac{1}{3})$

خطوة 5.4.1.2.1.1.2

اضرب

$0$ في

$\frac{2}{3}$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + 0 (\frac{1}{3}) + 1 (\frac{1}{3})$

خطوة 5.4.1.2.1.2

اضرب

$0$ في

$\frac{1}{3}$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + 0 + 1 (\frac{1}{3})$

خطوة 5.4.1.2.1.3

اضرب

$\frac{1}{3}$ في

$1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + 0 + \frac{1}{3}$

خطوة 5.4.1.2.2

أضف

$0$ و

$0$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + \frac{1}{3}$

خطوة 5.4.1.2.3

أضف

$0$ و

$\frac{1}{3}$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = \frac{1}{3}$

خطوة 5.4.2

أوجِد معيار

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

المعيار هو الجذر التربيعي لمجموع تربيع كل عنصر في المتجه.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

خطوة 5.4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.1

استخدِم قاعدة القوة

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على

$- \frac{2}{3}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

خطوة 5.4.2.2.1.2

طبّق قاعدة الضرب على

$\frac{2}{3}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

خطوة 5.4.2.2.2

ارفع

$- 1$ إلى القوة

$2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{1 \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

خطوة 5.4.2.2.3

اضرب

$\frac{2^{2}}{3^{2}}$ في

$1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

خطوة 5.4.2.2.4

ارفع

$2$ إلى القوة

$2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

خطوة 5.4.2.2.5

ارفع

$3$ إلى القوة

$2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

خطوة 5.4.2.2.6

طبّق قاعدة الضرب على

$\frac{1}{3}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

خطوة 5.4.2.2.7

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

خطوة 5.4.2.2.8

ارفع

$3$ إلى القوة

$2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

خطوة 5.4.2.2.9

طبّق قاعدة الضرب على

$\frac{1}{3}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

خطوة 5.4.2.2.10

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3^{2}}}$

خطوة 5.4.2.2.11

ارفع

$3$ إلى القوة

$2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}}$

خطوة 5.4.2.2.12

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4 + 1}{9} + \frac{1}{9}}$

خطوة 5.4.2.2.13

أضف

$4$ و

$1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{5}{9} + \frac{1}{9}}$

خطوة 5.4.2.2.14

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{5 + 1}{9}}$

خطوة 5.4.2.2.15

أضف

$5$ و

$1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{6}{9}}$

خطوة 5.4.2.2.16

احذِف العامل المشترك لـ

$6$ و

$9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.16.1

أخرِج العامل

$3$ من

$6$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{3 (2)}{9}}$

خطوة 5.4.2.2.16.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.16.2.1

أخرِج العامل

$3$ من

$9$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

خطوة 5.4.2.2.16.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

خطوة 5.4.2.2.16.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{2}{3}}$

خطوة 5.4.2.2.17

أعِد كتابة

$\sqrt{\frac{2}{3}}$ بالصيغة

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

خطوة 5.4.2.2.18

اضرب

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ في

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

خطوة 5.4.2.2.19

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.19.1

اضرب

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ في

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 5.4.2.2.19.2

ارفع

$\sqrt{3}$ إلى القوة

$1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

خطوة 5.4.2.2.19.3

ارفع

$\sqrt{3}$ إلى القوة

$1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

خطوة 5.4.2.2.19.4

استخدِم قاعدة القوة

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

خطوة 5.4.2.2.19.5

أضف

$1$ و

$1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 5.4.2.2.19.6

أعِد كتابة

${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة

$3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.19.6.1

استخدِم

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة

$\sqrt{3}$ في صورة

$3^{\frac{1}{2}}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 5.4.2.2.19.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس،

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 5.4.2.2.19.6.3

اجمع

$\frac{1}{2}$ و

$2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 5.4.2.2.19.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ

$2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.19.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 5.4.2.2.19.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

خطوة 5.4.2.2.19.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

خطوة 5.4.2.2.20

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.20.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

خطوة 5.4.2.2.20.2

اضرب

$2$ في

$3$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{6}}{3}$

خطوة 5.4.3

أوجِد إسقاط

${u⃗}_{3}$ على

${v⃗}_{2}$ باستخدام قاعدة الإسقاط.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{{u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2}}{{| | {v⃗}_{2} | |}^{2}} \times {v⃗}_{2}$

خطوة 5.4.4

عوّض بقيمة

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2}$ التي تساوي

$\frac{1}{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{{| | {v⃗}_{2} | |}^{2}} \times {v⃗}_{2}$

خطوة 5.4.5

عوّض بقيمة

$| | {v⃗}_{2} | |$ التي تساوي

$\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{{(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}} \times {v⃗}_{2}$

خطوة 5.4.6

عوّض بقيمة

${v⃗}_{2}$ التي تساوي

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{{(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

خطوة 5.4.7

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.7.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.7.1.1

طبّق قاعدة الضرب على

$\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

خطوة 5.4.7.1.2

أعِد كتابة

${\sqrt{6}}^{2}$ بالصيغة

$6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.7.1.2.1

استخدِم

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة

$\sqrt{6}$ في صورة

$6^{\frac{1}{2}}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

خطوة 5.4.7.1.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس،

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

خطوة 5.4.7.1.2.3

اجمع

$\frac{1}{2}$ و

$2$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

خطوة 5.4.7.1.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ

$2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.7.1.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

خطوة 5.4.7.1.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{1}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

خطوة 5.4.7.1.2.5

احسِب قيمة الأُس.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

خطوة 5.4.7.1.3

ارفع

$3$ إلى القوة

$2$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6}{9}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

خطوة 5.4.7.1.4

احذِف العامل المشترك لـ

$6$ و

$9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.7.1.4.1

أخرِج العامل

$3$ من

$6$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3 (2)}{9}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

خطوة 5.4.7.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.7.1.4.2.1

أخرِج العامل

$3$ من

$9$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

خطوة 5.4.7.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

خطوة 5.4.7.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

خطوة 5.4.7.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

خطوة 5.4.7.3

ألغِ العامل المشترك لـ

$3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.7.3.1

ألغِ العامل المشترك.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

خطوة 5.4.7.3.2

أعِد كتابة العبارة.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{2} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

خطوة 5.4.7.4

اضرب

$\frac{1}{2}$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} (- \frac{2}{3}), \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

خطوة 5.4.7.5

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.7.5.1

ألغِ العامل المشترك لـ

$2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.7.5.1.1

انقُل السالب الرئيسي في

$- \frac{2}{3}$ إلى بسط الكسر.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

خطوة 5.4.7.5.1.2

أخرِج العامل

$2$ من

$- 2$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

خطوة 5.4.7.5.1.3

ألغِ العامل المشترك.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

خطوة 5.4.7.5.1.4

أعِد كتابة العبارة.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{- 1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

خطوة 5.4.7.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

خطوة 5.4.7.5.3

اضرب

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.7.5.3.1

اضرب

$\frac{1}{2}$ في

$\frac{1}{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{2 \cdot 3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

خطوة 5.4.7.5.3.2

اضرب

$2$ في

$3$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

خطوة 5.4.7.5.4

اضرب

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.7.5.4.1

اضرب

$\frac{1}{2}$ في

$\frac{1}{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{2 \cdot 3})$

خطوة 5.4.7.5.4.2

اضرب

$2$ في

$3$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6})$

خطوة 5.5

عوّض الإسقاطات.

${v⃗}_{3} = (0, 0, 1) - (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) - (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6})$

خطوة 5.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

اجمع كل مكون من مكونات المتجهات.

$(0 - (\frac{1}{3}), 0 - (\frac{1}{3}), 1 - (\frac{1}{3})) - (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6})$

خطوة 5.6.2

اجمع كل مكون من مكونات المتجهات.

$(0 - (\frac{1}{3}) - (- \frac{1}{3}), 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

خطوة 5.6.3

اضرب

$- (- \frac{1}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.1

اضرب

$- 1$ في

$- 1$ .

$(0 - \frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}), 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

خطوة 5.6.3.2

اضرب

$\frac{1}{3}$ في

$1$ .

$(0 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

خطوة 5.6.4

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.4.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$(\frac{- 1 + 1}{3}, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

خطوة 5.6.4.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.4.2.1

أضف

$- 1$ و

$1$ .

$(\frac{0}{3}, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

خطوة 5.6.4.2.2

اقسِم

$0$ على

$3$ .

$(0, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

خطوة 5.6.5

اضرب

$- 1$ في

$\frac{1}{6}$ .

$(0, 0 - \frac{1}{3} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

خطوة 5.6.6

اطرح

$\frac{1}{3}$ من

$0$ .

$(0, - \frac{1}{3} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

خطوة 5.6.7

لكتابة

$- \frac{1}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في

$\frac{2}{2}$ .

$(0, - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

خطوة 5.6.8

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك

$6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد

$1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.8.1

اضرب

$\frac{1}{3}$ في

$\frac{2}{2}$ .

$(0, - \frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

خطوة 5.6.8.2

اضرب

$3$ في

$2$ .

$(0, - \frac{2}{6} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

خطوة 5.6.9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.9.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$(0, \frac{- 2 - 1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

خطوة 5.6.9.2

اطرح

$1$ من

$- 2$ .

$(0, \frac{- 3}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

خطوة 5.6.10

احذِف العامل المشترك لـ

$- 3$ و

$6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.10.1

أخرِج العامل

$3$ من

$- 3$ .

$(0, \frac{3 (- 1)}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

خطوة 5.6.10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.10.2.1

أخرِج العامل

$3$ من

$6$ .

$(0, \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

خطوة 5.6.10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$(0, \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

خطوة 5.6.10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$(0, \frac{- 1}{2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

خطوة 5.6.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$(0, - \frac{1}{2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

خطوة 5.6.12

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.12.1

اكتب

$1$ على هيئة كسر قاسمه

$1$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{1} - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

خطوة 5.6.12.2

اضرب

$\frac{1}{1}$ في

$\frac{6}{6}$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{1} \cdot \frac{6}{6} - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

خطوة 5.6.12.3

اضرب

$\frac{1}{1}$ في

$\frac{6}{6}$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

خطوة 5.6.12.4

اضرب

$\frac{1}{3}$ في

$\frac{2}{2}$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}) - (\frac{1}{6}))$

خطوة 5.6.12.5

اضرب

$\frac{1}{3}$ في

$\frac{2}{2}$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2} - (\frac{1}{6}))$

خطوة 5.6.12.6

أعِد ترتيب عوامل

$3 \cdot 2$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - \frac{2}{2 \cdot 3} - (\frac{1}{6}))$

خطوة 5.6.12.7

اضرب

$2$ في

$3$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - \frac{2}{6} - (\frac{1}{6}))$

خطوة 5.6.13

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6 - 2 - 1}{6})$

خطوة 5.6.14

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.14.1

اطرح

$2$ من

$6$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{4 - 1}{6})$

خطوة 5.6.14.2

اطرح

$1$ من

$4$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3}{6})$

خطوة 5.6.15

احذِف العامل المشترك لـ

$3$ و

$6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.15.1

أخرِج العامل

$3$ من

$3$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3 (1)}{6})$

خطوة 5.6.15.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.15.2.1

أخرِج العامل

$3$ من

$6$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2})$

خطوة 5.6.15.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2})$

خطوة 5.6.15.2.3

أعِد كتابة العبارة.

${v⃗}_{3} = (0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

خطوة 6

أوجِد الأساس العياري المتعامد بقسمة كل متجه متعامد على معياره.

$Span {\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}, \frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}, \frac{{v⃗}_{3}}{| | {v⃗}_{3} | |}}$

خطوة 7

أوجِد متجه الوحدة

$\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}$ عند

${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

لإيجاد متجه وحدة في نفس اتجاه المتجه (VARIABLE 0)، اقسم على معيار (VARIABLE 0).

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

خطوة 7.2

المعيار هو الجذر التربيعي لمجموع تربيع كل عنصر في المتجه.

$\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

خطوة 7.3.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

خطوة 7.3.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\sqrt{1 + 1 + 1}$

خطوة 7.3.4

أضف

$1$ و

$1$ .

$\sqrt{2 + 1}$

خطوة 7.3.5

أضف

$2$ و

$1$ .

$\sqrt{3}$

خطوة 7.4

اقسِم المتجه على معياره.

$\frac{(1, 1, 1)}{\sqrt{3}}$

خطوة 7.5

اقسِم كل عنصر في المتجه على

$\sqrt{3}$ .

$(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$

خطوة 8

أوجِد متجه الوحدة

$\frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}$ عند

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

لإيجاد متجه وحدة في نفس اتجاه المتجه (VARIABLE 0)، اقسم على معيار (VARIABLE 0).

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

خطوة 8.2

المعيار هو الجذر التربيعي لمجموع تربيع كل عنصر في المتجه.

$\sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

استخدِم قاعدة القوة

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

طبّق قاعدة الضرب على

$- \frac{2}{3}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

خطوة 8.3.1.2

طبّق قاعدة الضرب على

$\frac{2}{3}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

خطوة 8.3.2

ارفع

$- 1$ إلى القوة

$2$ .

$\sqrt{1 \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

خطوة 8.3.3

اضرب

$\frac{2^{2}}{3^{2}}$ في

$1$ .

$\sqrt{\frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

خطوة 8.3.4

ارفع

$2$ إلى القوة

$2$ .

$\sqrt{\frac{4}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

خطوة 8.3.5

ارفع

$3$ إلى القوة

$2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

خطوة 8.3.6

طبّق قاعدة الضرب على

$\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

خطوة 8.3.7

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

خطوة 8.3.8

ارفع

$3$ إلى القوة

$2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

خطوة 8.3.9

طبّق قاعدة الضرب على

$\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

خطوة 8.3.10

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3^{2}}}$

خطوة 8.3.11

ارفع

$3$ إلى القوة

$2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}}$

خطوة 8.3.12

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\sqrt{\frac{4 + 1}{9} + \frac{1}{9}}$

خطوة 8.3.13

أضف

$4$ و

$1$ .

$\sqrt{\frac{5}{9} + \frac{1}{9}}$

خطوة 8.3.14

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\sqrt{\frac{5 + 1}{9}}$

خطوة 8.3.15

أضف

$5$ و

$1$ .

$\sqrt{\frac{6}{9}}$

خطوة 8.3.16

احذِف العامل المشترك لـ

$6$ و

$9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.16.1

أخرِج العامل

$3$ من

$6$ .

$\sqrt{\frac{3 (2)}{9}}$

خطوة 8.3.16.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.16.2.1

أخرِج العامل

$3$ من

$9$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

خطوة 8.3.16.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

خطوة 8.3.16.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\sqrt{\frac{2}{3}}$

خطوة 8.3.17

أعِد كتابة

$\sqrt{\frac{2}{3}}$ بالصيغة

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

خطوة 8.4

اقسِم المتجه على معياره.

$\frac{(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$

خطوة 8.5

اقسِم كل عنصر في المتجه على

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$(\frac{- \frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

خطوة 8.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$(- \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

خطوة 8.6.2

اضرب

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ في

$\frac{2}{3}$ .

$(- \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

خطوة 8.6.3

انقُل

$2$ إلى يسار

$\sqrt{3}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

خطوة 8.6.4

انقُل

$3$ إلى يسار

$\sqrt{2}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

خطوة 8.6.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

خطوة 8.6.6

اضرب

$\frac{1}{3}$ في

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

خطوة 8.6.7

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$

خطوة 8.6.8

اضرب

$\frac{1}{3}$ في

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})$

خطوة 9

أوجِد متجه الوحدة

$\frac{{v⃗}_{3}}{| | {v⃗}_{3} | |}$ عند

${v⃗}_{3} = (0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

لإيجاد متجه وحدة في نفس اتجاه المتجه (VARIABLE 0)، اقسم على معيار (VARIABLE 0).

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

خطوة 9.2

المعيار هو الجذر التربيعي لمجموع تربيع كل عنصر في المتجه.

$\sqrt{0^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

خطوة 9.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

ينتج

$0$ عن رفع

$0$ إلى أي قوة موجبة.

$\sqrt{0 + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

خطوة 9.3.2

استخدِم قاعدة القوة

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.1

طبّق قاعدة الضرب على

$- \frac{1}{2}$ .

$\sqrt{0 + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

خطوة 9.3.2.2

طبّق قاعدة الضرب على

$\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{0 + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

خطوة 9.3.3

ارفع

$- 1$ إلى القوة

$2$ .

$\sqrt{0 + 1 \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

خطوة 9.3.4

اضرب

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ في

$1$ .

$\sqrt{0 + \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

خطوة 9.3.5

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\sqrt{0 + \frac{1}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

خطوة 9.3.6

ارفع

$2$ إلى القوة

$2$ .

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

خطوة 9.3.7

طبّق قاعدة الضرب على

$\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

خطوة 9.3.8

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{2^{2}}}$

خطوة 9.3.9

ارفع

$2$ إلى القوة

$2$ .

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}}$

خطوة 9.3.10

أضف

$0$ و

$\frac{1}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}}$

خطوة 9.3.11

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\sqrt{\frac{1 + 1}{4}}$

خطوة 9.3.12

أضف

$1$ و

$1$ .

$\sqrt{\frac{2}{4}}$

خطوة 9.3.13

احذِف العامل المشترك لـ

$2$ و

$4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.13.1

أخرِج العامل

$2$ من

$2$ .

$\sqrt{\frac{2 (1)}{4}}$

خطوة 9.3.13.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.13.2.1

أخرِج العامل

$2$ من

$4$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

خطوة 9.3.13.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

خطوة 9.3.13.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\sqrt{\frac{1}{2}}$

خطوة 9.3.14

أعِد كتابة

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ بالصيغة

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

خطوة 9.3.15

أي جذر لـ

$1$ هو

$1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

خطوة 9.4

اقسِم المتجه على معياره.

$\frac{(0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})}{\frac{1}{\sqrt{2}}}$

خطوة 9.5

اقسِم كل عنصر في المتجه على

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

$(\frac{0}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

خطوة 9.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.6.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$(0 \sqrt{2}, \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

خطوة 9.6.2

اضرب

$0$ في

$\sqrt{2}$ .

$(0, \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

خطوة 9.6.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$(0, - \frac{1}{2} \sqrt{2}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

خطوة 9.6.4

اجمع

$\sqrt{2}$ و

$\frac{1}{2}$ .

$(0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

خطوة 9.6.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$(0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2} \sqrt{2})$

خطوة 9.6.6

اجمع

$\frac{1}{2}$ و

$\sqrt{2}$ .

$(0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

خطوة 10

عوّض بالقيم المعروفة.

$Span {(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}), (- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}), (0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})}$

إدخال مسألتك