الجبر الخطي الأمثلة

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}]$

خطوة 1

اعثر على القيم ذات المتجهات الذاتية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد القيم الذاتية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة $p (λ)$ .

$p (λ) = محدِّد (A - λ I_{3})$

خطوة 1.1.2

المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم $3$ هي المصفوفة المربعة $3 \times 3$ التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 1.1.3

عوّض بالقيم المعروفة في $p (λ) = محدِّد (A - λ I_{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

عوّض بقيمة $A$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - λ I_{3})$

خطوة 1.1.3.2

عوّض بقيمة $I_{3}$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 1.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1.1

اضرب $- λ$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.1.4.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.1.4.1.2.2

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1.2.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.1.4.1.2.2.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.1.4.1.2.3

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1.2.3.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.1.4.1.2.3.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.1.4.1.2.4

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1.2.4.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.1.4.1.2.4.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.1.4.1.2.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.1.4.1.2.6

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1.2.6.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.1.4.1.2.6.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.1.4.1.2.7

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1.2.7.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.1.4.1.2.7.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.1.4.1.2.8

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1.2.8.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.1.4.1.2.8.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.1.4.1.2.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

خطوة 1.1.4.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

خطوة 1.1.4.3

بسّط كل عنصر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.1

أضف $2$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

خطوة 1.1.4.3.2

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

خطوة 1.1.4.3.3

أضف $2$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

خطوة 1.1.4.3.4

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 & 5 - λ & 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

خطوة 1.1.4.3.5

أضف $4$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 & 5 - λ & 0 \\ 4 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

خطوة 1.1.4.3.6

أضف $- 1$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 & 5 - λ & 0 \\ 4 & - 1 & 4 - λ \end{array}]$

خطوة 1.1.5

أوجِد المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

اختر الصف أو العمود الذي يحتوي على أكثر عدد من $0$ من العناصر. إذا لم تكن هناك $0$ من العناصر، فاختر أي صف أو عمود. اضرب كل عنصر في العمود $3$ في العامل المساعد وأضف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1.1

ضع في اعتبارك مخطط الإشارة المقابل.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

خطوة 1.1.5.1.2

العامل المساعد هو المختصر مع تغير العلامة إذا تطابقت المؤشرات مع موضع $-$ على مخطط الإشارة.

خطوة 1.1.5.1.3

المختصر لـ $a_{13}$ هو المحدد مع حذف الصف $1$ والعمود $3$ .

$| \begin{array}{c} 2 & 5 - λ \\ 4 & - 1 \end{array} |$

خطوة 1.1.5.1.4

اضرب العنصر $a_{13}$ بعامله المساعد.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 5 - λ \\ 4 & - 1 \end{array} |$

خطوة 1.1.5.1.5

المختصر لـ $a_{23}$ هو المحدد مع حذف الصف $2$ والعمود $3$ .

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

خطوة 1.1.5.1.6

اضرب العنصر $a_{23}$ بعامله المساعد.

$0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

خطوة 1.1.5.1.7

المختصر لـ $a_{33}$ هو المحدد مع حذف الصف $3$ والعمود $3$ .

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

خطوة 1.1.5.1.8

اضرب العنصر $a_{33}$ بعامله المساعد.

$(4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

خطوة 1.1.5.1.9

أضف الحدود معًا.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 2 & 5 - λ \\ 4 & - 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} | + (4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

خطوة 1.1.5.2

اضرب $0$ في $| \begin{array}{c} 2 & 5 - λ \\ 4 & - 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} | + (4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

خطوة 1.1.5.3

اضرب $0$ في $| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

خطوة 1.1.5.4

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.4.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) ((5 - λ) (5 - λ) - 2 \cdot 2)$

خطوة 1.1.5.4.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.4.2.1.1

وسّع $(5 - λ) (5 - λ)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.4.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (5 (5 - λ) - λ (5 - λ) - 2 \cdot 2)$

خطوة 1.1.5.4.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (5 \cdot 5 + 5 (- λ) - λ (5 - λ) - 2 \cdot 2)$

خطوة 1.1.5.4.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (5 \cdot 5 + 5 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 2 \cdot 2)$

خطوة 1.1.5.4.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.4.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.4.2.1.2.1.1

اضرب $5$ في $5$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 + 5 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 2 \cdot 2)$

خطوة 1.1.5.4.2.1.2.1.2

اضرب $- 1$ في $5$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 2 \cdot 2)$

خطوة 1.1.5.4.2.1.2.1.3

اضرب $5$ في $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ - λ (- λ) - 2 \cdot 2)$

خطوة 1.1.5.4.2.1.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 2)$

خطوة 1.1.5.4.2.1.2.1.5

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.4.2.1.2.1.5.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 2)$

خطوة 1.1.5.4.2.1.2.1.5.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 2)$

خطوة 1.1.5.4.2.1.2.1.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 2)$

خطوة 1.1.5.4.2.1.2.1.7

اضرب $λ^{2}$ في $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ + λ^{2} - 2 \cdot 2)$

خطوة 1.1.5.4.2.1.2.2

اطرح $5 λ$ من $- 5 λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 10 λ + λ^{2} - 2 \cdot 2)$

خطوة 1.1.5.4.2.1.3

اضرب $- 2$ في $2$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 10 λ + λ^{2} - 4)$

خطوة 1.1.5.4.2.2

اطرح $4$ من $25$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (- 10 λ + λ^{2} + 21)$

خطوة 1.1.5.4.2.3

أعِد ترتيب $- 10 λ$ و $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$

خطوة 1.1.5.5

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.5.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $0 + 0 + (4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.5.1.1

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = 0 + (4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$

خطوة 1.1.5.5.1.2

أضف $0$ و $(4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$

خطوة 1.1.5.5.2

وسّع $(4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$p (λ) = 4 λ^{2} + 4 (- 10 λ) + 4 \cdot 21 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

خطوة 1.1.5.5.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.5.3.1

اضرب $- 10$ في $4$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 4 \cdot 21 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

خطوة 1.1.5.5.3.2

اضرب $4$ في $21$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

خطوة 1.1.5.5.3.3

اضرب $λ$ في $λ^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.5.3.3.1

انقُل $λ^{2}$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - (λ^{2} λ) - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

خطوة 1.1.5.5.3.3.2

اضرب $λ^{2}$ في $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.5.3.3.2.1

ارفع $λ$ إلى القوة $1$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

خطوة 1.1.5.5.3.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{2 + 1} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

خطوة 1.1.5.5.3.3.3

أضف $2$ و $1$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

خطوة 1.1.5.5.3.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 λ \cdot λ - λ \cdot 21$

خطوة 1.1.5.5.3.5

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.5.3.5.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 (λ \cdot λ) - λ \cdot 21$

خطوة 1.1.5.5.3.5.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 λ^{2} - λ \cdot 21$

خطوة 1.1.5.5.3.6

اضرب $- 1$ في $- 10$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} + 10 λ^{2} - λ \cdot 21$

خطوة 1.1.5.5.3.7

اضرب $21$ في $- 1$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} + 10 λ^{2} - 21 λ$

خطوة 1.1.5.5.4

أضف $4 λ^{2}$ و $10 λ^{2}$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - 21 λ$

خطوة 1.1.5.5.5

اطرح $21 λ$ من $- 40 λ$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 61 λ + 84 - λ^{3}$

خطوة 1.1.5.5.6

انقُل $84$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 61 λ - λ^{3} + 84$

خطوة 1.1.5.5.7

انقُل $- 61 λ$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - λ^{3} - 61 λ + 84$

خطوة 1.1.5.5.8

أعِد ترتيب $14 λ^{2}$ و $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84$

خطوة 1.1.6

عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد القيم الذاتية $λ$ .

$- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84 = 0$

خطوة 1.1.7

أوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.1.1

حلّل $- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.1.1.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 84, \pm 2, \pm 42, \pm 3, \pm 28, \pm 4, \pm 21, \pm 6, \pm 14, \pm 7, \pm 12$

$q = \pm 1$

خطوة 1.1.7.1.1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 84, \pm 2, \pm 42, \pm 3, \pm 28, \pm 4, \pm 21, \pm 6, \pm 14, \pm 7, \pm 12$

خطوة 1.1.7.1.1.3

عوّض بـ $3$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $3$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.1.1.3.1

عوّض بـ $3$ في متعدد الحدود.

$- 3^{3} + 14 \cdot 3^{2} - 61 \cdot 3 + 84$

خطوة 1.1.7.1.1.3.2

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$- 1 \cdot 27 + 14 \cdot 3^{2} - 61 \cdot 3 + 84$

خطوة 1.1.7.1.1.3.3

اضرب $- 1$ في $27$ .

$- 27 + 14 \cdot 3^{2} - 61 \cdot 3 + 84$

خطوة 1.1.7.1.1.3.4

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$- 27 + 14 \cdot 9 - 61 \cdot 3 + 84$

خطوة 1.1.7.1.1.3.5

اضرب $14$ في $9$ .

$- 27 + 126 - 61 \cdot 3 + 84$

خطوة 1.1.7.1.1.3.6

أضف $- 27$ و $126$ .

$99 - 61 \cdot 3 + 84$

خطوة 1.1.7.1.1.3.7

اضرب $- 61$ في $3$ .

$99 - 183 + 84$

خطوة 1.1.7.1.1.3.8

اطرح $183$ من $99$ .

$- 84 + 84$

خطوة 1.1.7.1.1.3.9

أضف $- 84$ و $84$ .

$0$

خطوة 1.1.7.1.1.4

بما أن $3$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $λ - 3$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84}{λ - 3}$

خطوة 1.1.7.1.1.5

اقسِم $- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84$ على $λ - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.1.1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$λ$

$3$

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$61 λ$

$84$

خطوة 1.1.7.1.1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- λ^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$

خطوة 1.1.7.1.1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$

خطوة 1.1.7.1.1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- λ^{3} + 3 λ^{2}$

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$

خطوة 1.1.7.1.1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$

خطوة 1.1.7.1.1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$

خطوة 1.1.7.1.1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $11 λ^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$

خطوة 1.1.7.1.1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					+	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$

خطوة 1.1.7.1.1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $11 λ^{2} - 33 λ$

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$

خطوة 1.1.7.1.1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$

خطوة 1.1.7.1.1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$

خطوة 1.1.7.1.1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 28 λ$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$

خطوة 1.1.7.1.1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$
							-	$28 λ$	+	$84$

خطوة 1.1.7.1.1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 28 λ + 84$

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$
							+	$28 λ$	-	$84$

خطوة 1.1.7.1.1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$
							+	$28 λ$	-	$84$
										$0$

خطوة 1.1.7.1.1.5.16

Since the remainder is $0$ , the final answer is the quotient.

$- λ^{2} + 11 λ - 28$

خطوة 1.1.7.1.1.6

اكتب $- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(λ - 3) (- λ^{2} + 11 λ - 28) = 0$

خطوة 1.1.7.1.2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.1.2.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.1.2.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = - 1 \cdot - 28 = 28$ ومجموعهما $b = 11$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.1.2.1.1.1

أخرِج العامل $11$ من $11 λ$ .

$(λ - 3) (- λ^{2} + 11 (λ) - 28) = 0$

خطوة 1.1.7.1.2.1.1.2

أعِد كتابة $11$ في صورة $4$ زائد $7$

$(λ - 3) (- λ^{2} + (4 + 7) λ - 28) = 0$

خطوة 1.1.7.1.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$(λ - 3) (- λ^{2} + 4 λ + 7 λ - 28) = 0$

خطوة 1.1.7.1.2.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.1.2.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(λ - 3) ((- λ^{2} + 4 λ) + 7 λ - 28) = 0$

خطوة 1.1.7.1.2.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$(λ - 3) (λ (- λ + 4) - 7 (- λ + 4)) = 0$

خطوة 1.1.7.1.2.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- λ + 4$ .

$(λ - 3) ((- λ + 4) (λ - 7)) = 0$

خطوة 1.1.7.1.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(λ - 3) (- λ + 4) (λ - 7) = 0$

خطوة 1.1.7.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$λ - 3 = 0$

$- λ + 4 = 0$

$λ - 7 = 0$

خطوة 1.1.7.3

عيّن قيمة العبارة $λ - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.3.1

عيّن قيمة $λ - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$λ - 3 = 0$

خطوة 1.1.7.3.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$λ = 3$

خطوة 1.1.7.4

عيّن قيمة العبارة $- λ + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.4.1

عيّن قيمة $- λ + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- λ + 4 = 0$

خطوة 1.1.7.4.2

أوجِد قيمة $λ$ في $- λ + 4 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.4.2.1

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$- λ = - 4$

خطوة 1.1.7.4.2.2

اقسِم كل حد في $- λ = - 4$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.4.2.2.1

اقسِم كل حد في $- λ = - 4$ على $- 1$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

خطوة 1.1.7.4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.4.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

خطوة 1.1.7.4.2.2.2.2

اقسِم $λ$ على $1$ .

$λ = \frac{- 4}{- 1}$

خطوة 1.1.7.4.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.4.2.2.3.1

اقسِم $- 4$ على $- 1$ .

$λ = 4$

خطوة 1.1.7.5

عيّن قيمة العبارة $λ - 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.5.1

عيّن قيمة $λ - 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$λ - 7 = 0$

خطوة 1.1.7.5.2

أضف $7$ إلى كلا المتعادلين.

$λ = 7$

خطوة 1.1.7.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(λ - 3) (- λ + 4) (λ - 7) = 0$ صحيحة.

$λ = 3, 4, 7$

خطوة 1.2

المتجه الذاتي يساوي الفضاء الصفري للمصفوفة مطروحًا منه القيمة الذاتية مضروبًا في المصفوفة المتطابقة حيث أن $N$ هو الفضاء الصفري و $I$ هو المصفوفة المتطابقة.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

خطوة 1.3

أوجِد المتجه الذاتي باستخدام القيمة الذاتية $λ = 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - 3 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 1.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1.1

اضرب $- 3$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 1.3.2.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1.2.1

اضرب $- 3$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 1.3.2.1.2.2

اضرب $- 3$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 1.3.2.1.2.3

اضرب $- 3$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 1.3.2.1.2.4

اضرب $- 3$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 1.3.2.1.2.5

اضرب $- 3$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 1.3.2.1.2.6

اضرب $- 3$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 1.3.2.1.2.7

اضرب $- 3$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 1.3.2.1.2.8

اضرب $- 3$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 1.3.2.1.2.9

اضرب $- 3$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \end{array}]$

خطوة 1.3.2.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} 5 - 3 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

خطوة 1.3.2.3

بسّط كل عنصر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.3.1

اطرح $3$ من $5$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

خطوة 1.3.2.3.2

أضف $2$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

خطوة 1.3.2.3.3

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 + 0 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

خطوة 1.3.2.3.4

أضف $2$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

خطوة 1.3.2.3.5

اطرح $3$ من $5$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

خطوة 1.3.2.3.6

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

خطوة 1.3.2.3.7

أضف $4$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 4 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

خطوة 1.3.2.3.8

أضف $- 1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 - 3 \end{array}]$

خطوة 1.3.2.3.9

اطرح $3$ من $4$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 \end{array}]$

خطوة 1.3.3

أوجِد الفضاء الصفري عندما تكون $λ = 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

اكتب ف صورة مصفوفة موسّعة لـ $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 1.3.3.2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.1

اضرب كل عنصر من $R_{1}$ في $\frac{1}{2}$ لجعل الإدخال في $1, 1$ يساوي $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.1.1

اضرب كل عنصر من $R_{1}$ في $\frac{1}{2}$ لجعل الإدخال في $1, 1$ يساوي $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} & \frac{0}{2} \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 1.3.3.2.1.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 1.3.3.2.2

احسب العملية الصفية $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ لجعل الإدخال في $2, 1$ يساوي $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.2.1

احسب العملية الصفية $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ لجعل الإدخال في $2, 1$ يساوي $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 1.3.3.2.2.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 1.3.3.2.3

احسب العملية الصفية $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ لجعل الإدخال في $3, 1$ يساوي $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.3.1

احسب العملية الصفية $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ لجعل الإدخال في $3, 1$ يساوي $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 1 - 4 \cdot 1 & 1 - 4 \cdot 0 & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 1.3.3.2.3.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 1.3.3.2.4

بدّل $R_{3}$ بـ $R_{2}$ لوضع إدخال غير صفري في $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 1.3.3.2.5

اضرب كل عنصر من $R_{2}$ في $- \frac{1}{5}$ لجعل الإدخال في $2, 2$ يساوي $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.5.1

اضرب كل عنصر من $R_{2}$ في $- \frac{1}{5}$ لجعل الإدخال في $2, 2$ يساوي $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot 1 & - \frac{1}{5} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 1.3.3.2.5.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 1.3.3.2.6

احسب العملية الصفية $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ لجعل الإدخال في $1, 2$ يساوي $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.6.1

احسب العملية الصفية $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ لجعل الإدخال في $1, 2$ يساوي $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 + \frac{1}{5} & 0 - 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 1.3.3.2.6.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 1.3.3.3

استخدِم مصفوفة النتيجة لبيان الحل النهائي لنظام المعادلات.

$x + \frac{1}{5} z = 0$

$y - \frac{1}{5} z = 0$

$0 = 0$

خطوة 1.3.3.4

اكتب متجه الحل بالحل بدلالة المتغيرات الحرة في كل صف.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{z}{5} \\ \frac{z}{5} \\ z \end{array}]$

خطوة 1.3.3.5

اكتب الحل في صورة مجموعة خطية من المتجهات.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}]$

خطوة 1.3.3.6

اكتب في صورة مجموعة حل.

${z [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

خطوة 1.3.3.7

الحل هو مجموعة المتجهات التي تنشأ نتيجة المتغيرات الحرة للنظام.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}]}$

خطوة 1.4

أوجِد المتجه الذاتي باستخدام القيمة الذاتية $λ = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - 4 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1.1

اضرب $- 4$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 1.4.2.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 1.4.2.1.2.2

اضرب $- 4$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 1.4.2.1.2.3

اضرب $- 4$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 1.4.2.1.2.4

اضرب $- 4$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 1.4.2.1.2.5

اضرب $- 4$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 1.4.2.1.2.6

اضرب $- 4$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 1.4.2.1.2.7

اضرب $- 4$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 1.4.2.1.2.8

اضرب $- 4$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 1.4.2.1.2.9

اضرب $- 4$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \end{array}]$

خطوة 1.4.2.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} 5 - 4 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

خطوة 1.4.2.3

بسّط كل عنصر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.3.1

اطرح $4$ من $5$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

خطوة 1.4.2.3.2

أضف $2$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

خطوة 1.4.2.3.3

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

خطوة 1.4.2.3.4

أضف $2$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

خطوة 1.4.2.3.5

اطرح $4$ من $5$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

خطوة 1.4.2.3.6

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

خطوة 1.4.2.3.7

أضف $4$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

خطوة 1.4.2.3.8

أضف $- 1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 - 4 \end{array}]$

خطوة 1.4.2.3.9

اطرح $4$ من $4$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 1.4.3

أوجِد الفضاء الصفري عندما تكون $λ = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

اكتب ف صورة مصفوفة موسّعة لـ $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 1.4.3.2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.2.1

احسب العملية الصفية $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ لجعل الإدخال في $2, 1$ يساوي $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.2.1.1

احسب العملية الصفية $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ لجعل الإدخال في $2, 1$ يساوي $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 2 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 4 & - 1 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 1.4.3.2.1.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 1.4.3.2.2

احسب العملية الصفية $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ لجعل الإدخال في $3, 1$ يساوي $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.2.2.1

احسب العملية الصفية $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ لجعل الإدخال في $3, 1$ يساوي $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 1 - 4 \cdot 2 & 0 - 4 \cdot 0 & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 1.4.3.2.2.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 1.4.3.2.3

اضرب كل عنصر من $R_{2}$ في $- \frac{1}{3}$ لجعل الإدخال في $2, 2$ يساوي $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.2.3.1

اضرب كل عنصر من $R_{2}$ في $- \frac{1}{3}$ لجعل الإدخال في $2, 2$ يساوي $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 0 & - 9 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 1.4.3.2.3.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 1.4.3.2.4

احسب العملية الصفية $R_{3} = R_{3} + 9 R_{2}$ لجعل الإدخال في $3, 2$ يساوي $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.2.4.1

احسب العملية الصفية $R_{3} = R_{3} + 9 R_{2}$ لجعل الإدخال في $3, 2$ يساوي $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 + 9 \cdot 0 & - 9 + 9 \cdot 1 & 0 + 9 \cdot 0 & 0 + 9 \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 1.4.3.2.4.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 1.4.3.2.5

احسب العملية الصفية $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ لجعل الإدخال في $1, 2$ يساوي $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.2.5.1

احسب العملية الصفية $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ لجعل الإدخال في $1, 2$ يساوي $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 1.4.3.2.5.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 1.4.3.3

استخدِم مصفوفة النتيجة لبيان الحل النهائي لنظام المعادلات.

$x = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

خطوة 1.4.3.4

اكتب متجه الحل بالحل بدلالة المتغيرات الحرة في كل صف.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ z \end{array}]$

خطوة 1.4.3.5

اكتب الحل في صورة مجموعة خطية من المتجهات.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

خطوة 1.4.3.6

اكتب في صورة مجموعة حل.

${z [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

خطوة 1.4.3.7

الحل هو مجموعة المتجهات التي تنشأ نتيجة المتغيرات الحرة للنظام.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

خطوة 1.5

أوجِد المتجه الذاتي باستخدام القيمة الذاتية $λ = 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - 7 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 1.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1.1

اضرب $- 7$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 1.5.2.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1.2.1

اضرب $- 7$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 1.5.2.1.2.2

اضرب $- 7$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 1.5.2.1.2.3

اضرب $- 7$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 1.5.2.1.2.4

اضرب $- 7$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 1.5.2.1.2.5

اضرب $- 7$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 1.5.2.1.2.6

اضرب $- 7$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 1.5.2.1.2.7

اضرب $- 7$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 1.5.2.1.2.8

اضرب $- 7$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 1.5.2.1.2.9

اضرب $- 7$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & - 7 \end{array}]$

خطوة 1.5.2.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} 5 - 7 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

خطوة 1.5.2.3

بسّط كل عنصر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.3.1

اطرح $7$ من $5$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

خطوة 1.5.2.3.2

أضف $2$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

خطوة 1.5.2.3.3

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 + 0 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

خطوة 1.5.2.3.4

أضف $2$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

خطوة 1.5.2.3.5

اطرح $7$ من $5$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

خطوة 1.5.2.3.6

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

خطوة 1.5.2.3.7

أضف $4$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 \\ 4 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

خطوة 1.5.2.3.8

أضف $- 1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 - 7 \end{array}]$

خطوة 1.5.2.3.9

اطرح $7$ من $4$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 \end{array}]$

خطوة 1.5.3

أوجِد الفضاء الصفري عندما تكون $λ = 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

اكتب ف صورة مصفوفة موسّعة لـ $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

خطوة 1.5.3.2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1

اضرب كل عنصر من $R_{1}$ في $- \frac{1}{2}$ لجعل الإدخال في $1, 1$ يساوي $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.1

اضرب كل عنصر من $R_{1}$ في $- \frac{1}{2}$ لجعل الإدخال في $1, 1$ يساوي $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

خطوة 1.5.3.2.1.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

خطوة 1.5.3.2.2

احسب العملية الصفية $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ لجعل الإدخال في $2, 1$ يساوي $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.2.1

احسب العملية الصفية $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ لجعل الإدخال في $2, 1$ يساوي $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 2 - 2 \cdot - 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

خطوة 1.5.3.2.2.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

خطوة 1.5.3.2.3

احسب العملية الصفية $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ لجعل الإدخال في $3, 1$ يساوي $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.3.1

احسب العملية الصفية $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ لجعل الإدخال في $3, 1$ يساوي $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 1 - 4 \cdot - 1 & - 3 - 4 \cdot 0 & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 1.5.3.2.3.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

خطوة 1.5.3.2.4

بدّل $R_{3}$ بـ $R_{2}$ لوضع إدخال غير صفري في $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 1.5.3.2.5

اضرب كل عنصر من $R_{2}$ في $\frac{1}{3}$ لجعل الإدخال في $2, 2$ يساوي $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.5.1

اضرب كل عنصر من $R_{2}$ في $\frac{1}{3}$ لجعل الإدخال في $2, 2$ يساوي $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ \frac{0}{3} & \frac{3}{3} & \frac{- 3}{3} & \frac{0}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 1.5.3.2.5.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 1.5.3.2.6

احسب العملية الصفية $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ لجعل الإدخال في $1, 2$ يساوي $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.6.1

احسب العملية الصفية $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ لجعل الإدخال في $1, 2$ يساوي $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 - 1 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 1.5.3.2.6.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 1.5.3.3

استخدِم مصفوفة النتيجة لبيان الحل النهائي لنظام المعادلات.

$x - z = 0$

$y - z = 0$

$0 = 0$

خطوة 1.5.3.4

اكتب متجه الحل بالحل بدلالة المتغيرات الحرة في كل صف.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} z \\ z \\ z \end{array}]$

خطوة 1.5.3.5

اكتب الحل في صورة مجموعة خطية من المتجهات.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

خطوة 1.5.3.6

اكتب في صورة مجموعة حل.

${z [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

خطوة 1.5.3.7

الحل هو مجموعة المتجهات التي تنشأ نتيجة المتغيرات الحرة للنظام.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

خطوة 1.6

الفضاء الذاتي لـ $A$ هو مجموع فضاء المتجهات لكل قيمة ذاتية.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

خطوة 2

حدِّد $P$ باعتباره مصفوفة متجهة ذاتية.

$P = [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

خطوة 3

أوجِد المعكوس لـ $P$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اختر الصف أو العمود الذي يحتوي على أكثر عدد من $0$ من العناصر. إذا لم تكن هناك $0$ من العناصر، فاختر أي صف أو عمود. اضرب كل عنصر في العمود $2$ في العامل المساعد وأضف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

ضع في اعتبارك مخطط الإشارة المقابل.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

خطوة 3.1.1.2

العامل المساعد هو المختصر مع تغير العلامة إذا تطابقت المؤشرات مع موضع $-$ على مخطط الإشارة.

خطوة 3.1.1.3

المختصر لـ $a_{12}$ هو المحدد مع حذف الصف $1$ والعمود $2$ .

$| \begin{array}{c} \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

خطوة 3.1.1.4

اضرب العنصر $a_{12}$ بعامله المساعد.

$0 | \begin{array}{c} \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

خطوة 3.1.1.5

المختصر لـ $a_{22}$ هو المحدد مع حذف الصف $2$ والعمود $2$ .

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

خطوة 3.1.1.6

اضرب العنصر $a_{22}$ بعامله المساعد.

$0 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

خطوة 3.1.1.7

المختصر لـ $a_{32}$ هو المحدد مع حذف الصف $3$ والعمود $2$ .

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

خطوة 3.1.1.8

اضرب العنصر $a_{32}$ بعامله المساعد.

$- 1 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

خطوة 3.1.1.9

أضف الحدود معًا.

$0 | \begin{array}{c} \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

خطوة 3.1.2

اضرب $0$ في $| \begin{array}{c} \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

$0 + 0 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

خطوة 3.1.3

اضرب $0$ في $| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

$0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

خطوة 3.1.4

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.4.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 + 0 - 1 (- \frac{1}{5} \cdot 1 - \frac{1}{5} \cdot 1)$

خطوة 3.1.4.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.4.2.1.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$0 + 0 - 1 (- \frac{1}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1)$

خطوة 3.1.4.2.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$0 + 0 - 1 (- \frac{1}{5} - \frac{1}{5})$

خطوة 3.1.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$0 + 0 - 1 \frac{- 1 - 1}{5}$

خطوة 3.1.4.2.3

اطرح $1$ من $- 1$ .

$0 + 0 - 1 (\frac{- 2}{5})$

خطوة 3.1.4.2.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$0 + 0 - 1 (- \frac{2}{5})$

خطوة 3.1.5

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.5.1

اضرب $- 1 (- \frac{2}{5})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.5.1.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$0 + 0 + 1 (\frac{2}{5})$

خطوة 3.1.5.1.2

اضرب $\frac{2}{5}$ في $1$ .

$0 + 0 + \frac{2}{5}$

خطوة 3.1.5.2

أضف $0$ و $0$ .

$0 + \frac{2}{5}$

خطوة 3.1.5.3

أضف $0$ و $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{5}$

خطوة 3.2

بما أن المحدد ليس صفريًا، إذن يوجد معكوس.

خطوة 3.3

كوّن مصفوفة $3 \times 6$ حيث يكون النصف الأيسر هو المصفوفة الأصلية والنصف الأيمن هو المصفوفة المتطابقة.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 3.4

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اضرب كل عنصر من $R_{1}$ في $- 5$ لجعل الإدخال في $1, 1$ يساوي $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

اضرب كل عنصر من $R_{1}$ في $- 5$ لجعل الإدخال في $1, 1$ يساوي $1$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} - 5 (- \frac{1}{5}) & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 0 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 3.4.1.2

بسّط $R_{1}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 3.4.2

احسب العملية الصفية $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{5} R_{1}$ لجعل الإدخال في $2, 1$ يساوي $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

احسب العملية الصفية $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{5} R_{1}$ لجعل الإدخال في $2, 1$ يساوي $0$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ \frac{1}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{5} \cdot 0 & 1 - \frac{1}{5} \cdot - 5 & 0 - \frac{1}{5} \cdot - 5 & 1 - \frac{1}{5} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{5} \cdot 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 3.4.2.2

بسّط $R_{2}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 3.4.3

احسب العملية الصفية $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ لجعل الإدخال في $3, 1$ يساوي $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

احسب العملية الصفية $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ لجعل الإدخال في $3, 1$ يساوي $0$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - 0 & 1 + 5 & 0 + 5 & 0 - 0 & 1 - 0 \end{array}]$

خطوة 3.4.3.2

بسّط $R_{3}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 5 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 3.4.4

بدّل $R_{3}$ بـ $R_{2}$ لوضع إدخال غير صفري في $2, 2$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 5 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.4.5

اضرب كل عنصر من $R_{3}$ في $\frac{1}{2}$ لجعل الإدخال في $3, 3$ يساوي $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1

اضرب كل عنصر من $R_{3}$ في $\frac{1}{2}$ لجعل الإدخال في $3, 3$ يساوي $1$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 5 & 0 & 1 \\ \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{0}{2} \end{array}]$

خطوة 3.4.5.2

بسّط $R_{3}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 5 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 3.4.6

احسب العملية الصفية $R_{2} = R_{2} - 6 R_{3}$ لجعل الإدخال في $2, 3$ يساوي $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1

احسب العملية الصفية $R_{2} = R_{2} - 6 R_{3}$ لجعل الإدخال في $2, 3$ يساوي $0$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 - 6 \cdot 0 & 1 - 6 \cdot 0 & 6 - 6 \cdot 1 & 5 - 6 (\frac{1}{2}) & 0 - 6 (\frac{1}{2}) & 1 - 6 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 3.4.6.2

بسّط $R_{2}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & - 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 3.4.7

احسب العملية الصفية $R_{1} = R_{1} + 5 R_{3}$ لجعل الإدخال في $1, 3$ يساوي $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.7.1

احسب العملية الصفية $R_{1} = R_{1} + 5 R_{3}$ لجعل الإدخال في $1, 3$ يساوي $0$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 + 5 \cdot 0 & 0 + 5 \cdot 0 & - 5 + 5 \cdot 1 & - 5 + 5 (\frac{1}{2}) & 0 + 5 (\frac{1}{2}) & 0 + 5 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & - 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 3.4.7.2

بسّط $R_{1}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & - 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 3.5

النصف الأيمن من الصيغة الدرجية المختزلة هو معكوس.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \\ 2 & - 3 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 4

استخدم تحويل التماثل للعثور على قيمة المصفوفة القطرية $D$ .

$D = P^{- 1} A P$

خطوة 5

استبدال المصفوفات.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \\ 2 & - 3 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $[\begin{array}{c} - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \\ 2 & - 3 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

يمكن ضرب مصفوفتين إذا كان عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى يساوي عدد الصفوف في المصفوفة الثانية فقط. في هذه الحالة، المصفوفة الأولى هي $3 \times 3$ والمصفوفة الثانية هي $3 \times 3$ .

خطوة 6.1.2

اضرب كل صف في المصفوفة الأولى في كل عمود في المصفوفة الثانية.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{2} \cdot 5 + \frac{5}{2} \cdot 2 + 0 \cdot 4 & - \frac{5}{2} \cdot 2 + \frac{5}{2} \cdot 5 + 0 \cdot - 1 & - \frac{5}{2} \cdot 0 + \frac{5}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 4 \\ 2 \cdot 5 - 3 \cdot 2 + 1 \cdot 4 & 2 \cdot 2 - 3 \cdot 5 + 1 \cdot - 1 & 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + 1 \cdot 4 \\ \frac{1}{2} \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot 2 + 0 \cdot 4 & \frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 5 + 0 \cdot - 1 & \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 4 \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

خطوة 6.1.3

بسّط كل عنصر من عناصر المصفوفة بضرب جميع العبارات.

$[\begin{array}{c} - \frac{15}{2} & \frac{15}{2} & 0 \\ 8 & - 12 & 4 \\ \frac{7}{2} & \frac{7}{2} & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

خطوة 6.2

اضرب $[\begin{array}{c} - \frac{15}{2} & \frac{15}{2} & 0 \\ 8 & - 12 & 4 \\ \frac{7}{2} & \frac{7}{2} & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

خطوة 6.2.2

اضرب كل صف في المصفوفة الأولى في كل عمود في المصفوفة الثانية.

$[\begin{array}{c} - \frac{15}{2} (- \frac{1}{5}) + \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{5} + 0 \cdot 1 & - \frac{15}{2} \cdot 0 + \frac{15}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 1 & - \frac{15}{2} \cdot 1 + \frac{15}{2} \cdot 1 + 0 \cdot 1 \\ 8 (- \frac{1}{5}) - 12 (\frac{1}{5}) + 4 \cdot 1 & 8 \cdot 0 - 12 \cdot 0 + 4 \cdot 1 & 8 \cdot 1 - 12 \cdot 1 + 4 \cdot 1 \\ \frac{7}{2} (- \frac{1}{5}) + \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{5} + 0 \cdot 1 & \frac{7}{2} \cdot 0 + \frac{7}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 1 & \frac{7}{2} \cdot 1 + \frac{7}{2} \cdot 1 + 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 6.2.3

بسّط كل عنصر من عناصر المصفوفة بضرب جميع العبارات.

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{array}]$

إدخال مسألتك