الجبر الخطي الأمثلة
[5202504-14]
خطوة 1
خطوة 1.1
أوجِد القيم الذاتية.
خطوة 1.1.1
عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة p(λ).
p(λ)=محدِّد(A-λI3)
خطوة 1.1.2
المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم 3 هي المصفوفة المربعة 3×3 التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.
[100010001]
خطوة 1.1.3
عوّض بالقيم المعروفة في p(λ)=محدِّد(A-λI3).
خطوة 1.1.3.1
عوّض بقيمة A التي تساوي [5202504-14].
p(λ)=محدِّد([5202504-14]-λI3)
خطوة 1.1.3.2
عوّض بقيمة I3 التي تساوي [100010001].
p(λ)=محدِّد([5202504-14]-λ[100010001])
p(λ)=محدِّد([5202504-14]-λ[100010001])
خطوة 1.1.4
بسّط.
خطوة 1.1.4.1
بسّط كل حد.
خطوة 1.1.4.1.1
اضرب -λ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.
p(λ)=محدِّد([5202504-14]+[-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.1.4.1.2
بسّط كل عنصر في المصفوفة.
خطوة 1.1.4.1.2.1
اضرب -1 في 1.
p(λ)=محدِّد([5202504-14]+[-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.1.4.1.2.2
اضرب -λ⋅0.
خطوة 1.1.4.1.2.2.1
اضرب 0 في -1.
p(λ)=محدِّد([5202504-14]+[-λ0λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.1.4.1.2.2.2
اضرب 0 في λ.
p(λ)=محدِّد([5202504-14]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=محدِّد([5202504-14]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.1.4.1.2.3
اضرب -λ⋅0.
خطوة 1.1.4.1.2.3.1
اضرب 0 في -1.
p(λ)=محدِّد([5202504-14]+[-λ00λ-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.1.4.1.2.3.2
اضرب 0 في λ.
p(λ)=محدِّد([5202504-14]+[-λ00-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=محدِّد([5202504-14]+[-λ00-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.1.4.1.2.4
اضرب -λ⋅0.
خطوة 1.1.4.1.2.4.1
اضرب 0 في -1.
p(λ)=محدِّد([5202504-14]+[-λ000λ-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.1.4.1.2.4.2
اضرب 0 في λ.
p(λ)=محدِّد([5202504-14]+[-λ000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=محدِّد([5202504-14]+[-λ000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.1.4.1.2.5
اضرب -1 في 1.
p(λ)=محدِّد([5202504-14]+[-λ000-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.1.4.1.2.6
اضرب -λ⋅0.
خطوة 1.1.4.1.2.6.1
اضرب 0 في -1.
p(λ)=محدِّد([5202504-14]+[-λ000-λ0λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.1.4.1.2.6.2
اضرب 0 في λ.
p(λ)=محدِّد([5202504-14]+[-λ000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=محدِّد([5202504-14]+[-λ000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.1.4.1.2.7
اضرب -λ⋅0.
خطوة 1.1.4.1.2.7.1
اضرب 0 في -1.
p(λ)=محدِّد([5202504-14]+[-λ000-λ00λ-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.1.4.1.2.7.2
اضرب 0 في λ.
p(λ)=محدِّد([5202504-14]+[-λ000-λ00-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=محدِّد([5202504-14]+[-λ000-λ00-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.1.4.1.2.8
اضرب -λ⋅0.
خطوة 1.1.4.1.2.8.1
اضرب 0 في -1.
p(λ)=محدِّد([5202504-14]+[-λ000-λ000λ-λ⋅1])
خطوة 1.1.4.1.2.8.2
اضرب 0 في λ.
p(λ)=محدِّد([5202504-14]+[-λ000-λ000-λ⋅1])
p(λ)=محدِّد([5202504-14]+[-λ000-λ000-λ⋅1])
خطوة 1.1.4.1.2.9
اضرب -1 في 1.
p(λ)=محدِّد([5202504-14]+[-λ000-λ000-λ])
p(λ)=محدِّد([5202504-14]+[-λ000-λ000-λ])
p(λ)=محدِّد([5202504-14]+[-λ000-λ000-λ])
خطوة 1.1.4.2
اجمع العناصر المتناظرة.
p(λ)=محدِّد[5-λ2+00+02+05-λ0+04+0-1+04-λ]
خطوة 1.1.4.3
بسّط كل عنصر.
خطوة 1.1.4.3.1
أضف 2 و0.
p(λ)=محدِّد[5-λ20+02+05-λ0+04+0-1+04-λ]
خطوة 1.1.4.3.2
أضف 0 و0.
p(λ)=محدِّد[5-λ202+05-λ0+04+0-1+04-λ]
خطوة 1.1.4.3.3
أضف 2 و0.
p(λ)=محدِّد[5-λ2025-λ0+04+0-1+04-λ]
خطوة 1.1.4.3.4
أضف 0 و0.
p(λ)=محدِّد[5-λ2025-λ04+0-1+04-λ]
خطوة 1.1.4.3.5
أضف 4 و0.
p(λ)=محدِّد[5-λ2025-λ04-1+04-λ]
خطوة 1.1.4.3.6
أضف -1 و0.
p(λ)=محدِّد[5-λ2025-λ04-14-λ]
p(λ)=محدِّد[5-λ2025-λ04-14-λ]
p(λ)=محدِّد[5-λ2025-λ04-14-λ]
خطوة 1.1.5
أوجِد المحدد.
خطوة 1.1.5.1
اختر الصف أو العمود الذي يحتوي على أكثر عدد من 0 من العناصر. إذا لم تكن هناك 0 من العناصر، فاختر أي صف أو عمود. اضرب كل عنصر في العمود 3 في العامل المساعد وأضف.
خطوة 1.1.5.1.1
ضع في اعتبارك مخطط الإشارة المقابل.
|+-+-+-+-+|
خطوة 1.1.5.1.2
العامل المساعد هو المختصر مع تغير العلامة إذا تطابقت المؤشرات مع موضع - على مخطط الإشارة.
خطوة 1.1.5.1.3
المختصر لـ a13 هو المحدد مع حذف الصف 1 والعمود 3.
|25-λ4-1|
خطوة 1.1.5.1.4
اضرب العنصر a13 بعامله المساعد.
0|25-λ4-1|
خطوة 1.1.5.1.5
المختصر لـ a23 هو المحدد مع حذف الصف 2 والعمود 3.
|5-λ24-1|
خطوة 1.1.5.1.6
اضرب العنصر a23 بعامله المساعد.
0|5-λ24-1|
خطوة 1.1.5.1.7
المختصر لـ a33 هو المحدد مع حذف الصف 3 والعمود 3.
|5-λ225-λ|
خطوة 1.1.5.1.8
اضرب العنصر a33 بعامله المساعد.
(4-λ)|5-λ225-λ|
خطوة 1.1.5.1.9
أضف الحدود معًا.
p(λ)=0|25-λ4-1|+0|5-λ24-1|+(4-λ)|5-λ225-λ|
p(λ)=0|25-λ4-1|+0|5-λ24-1|+(4-λ)|5-λ225-λ|
خطوة 1.1.5.2
اضرب 0 في |25-λ4-1|.
p(λ)=0+0|5-λ24-1|+(4-λ)|5-λ225-λ|
خطوة 1.1.5.3
اضرب 0 في |5-λ24-1|.
p(λ)=0+0+(4-λ)|5-λ225-λ|
خطوة 1.1.5.4
احسِب قيمة |5-λ225-λ|.
خطوة 1.1.5.4.1
يمكن إيجاد محدد المصفوفة 2×2 باستخدام القاعدة |abcd|=ad-cb.
p(λ)=0+0+(4-λ)((5-λ)(5-λ)-2⋅2)
خطوة 1.1.5.4.2
بسّط المحدد.
خطوة 1.1.5.4.2.1
بسّط كل حد.
خطوة 1.1.5.4.2.1.1
وسّع (5-λ)(5-λ) باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".
خطوة 1.1.5.4.2.1.1.1
طبّق خاصية التوزيع.
p(λ)=0+0+(4-λ)(5(5-λ)-λ(5-λ)-2⋅2)
خطوة 1.1.5.4.2.1.1.2
طبّق خاصية التوزيع.
p(λ)=0+0+(4-λ)(5⋅5+5(-λ)-λ(5-λ)-2⋅2)
خطوة 1.1.5.4.2.1.1.3
طبّق خاصية التوزيع.
p(λ)=0+0+(4-λ)(5⋅5+5(-λ)-λ⋅5-λ(-λ)-2⋅2)
p(λ)=0+0+(4-λ)(5⋅5+5(-λ)-λ⋅5-λ(-λ)-2⋅2)
خطوة 1.1.5.4.2.1.2
بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.
خطوة 1.1.5.4.2.1.2.1
بسّط كل حد.
خطوة 1.1.5.4.2.1.2.1.1
اضرب 5 في 5.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25+5(-λ)-λ⋅5-λ(-λ)-2⋅2)
خطوة 1.1.5.4.2.1.2.1.2
اضرب -1 في 5.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-λ⋅5-λ(-λ)-2⋅2)
خطوة 1.1.5.4.2.1.2.1.3
اضرب 5 في -1.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ-λ(-λ)-2⋅2)
خطوة 1.1.5.4.2.1.2.1.4
أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ-1⋅-1λ⋅λ-2⋅2)
خطوة 1.1.5.4.2.1.2.1.5
اضرب λ في λ بجمع الأُسس.
خطوة 1.1.5.4.2.1.2.1.5.1
انقُل λ.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ-1⋅-1(λ⋅λ)-2⋅2)
خطوة 1.1.5.4.2.1.2.1.5.2
اضرب λ في λ.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ-1⋅-1λ2-2⋅2)
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ-1⋅-1λ2-2⋅2)
خطوة 1.1.5.4.2.1.2.1.6
اضرب -1 في -1.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ+1λ2-2⋅2)
خطوة 1.1.5.4.2.1.2.1.7
اضرب λ2 في 1.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ+λ2-2⋅2)
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-5λ-5λ+λ2-2⋅2)
خطوة 1.1.5.4.2.1.2.2
اطرح 5λ من -5λ.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-10λ+λ2-2⋅2)
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-10λ+λ2-2⋅2)
خطوة 1.1.5.4.2.1.3
اضرب -2 في 2.
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-10λ+λ2-4)
p(λ)=0+0+(4-λ)(25-10λ+λ2-4)
خطوة 1.1.5.4.2.2
اطرح 4 من 25.
p(λ)=0+0+(4-λ)(-10λ+λ2+21)
خطوة 1.1.5.4.2.3
أعِد ترتيب -10λ وλ2.
p(λ)=0+0+(4-λ)(λ2-10λ+21)
p(λ)=0+0+(4-λ)(λ2-10λ+21)
p(λ)=0+0+(4-λ)(λ2-10λ+21)
خطوة 1.1.5.5
بسّط المحدد.
خطوة 1.1.5.5.1
جمّع الحدود المتعاكسة في 0+0+(4-λ)(λ2-10λ+21).
خطوة 1.1.5.5.1.1
أضف 0 و0.
p(λ)=0+(4-λ)(λ2-10λ+21)
خطوة 1.1.5.5.1.2
أضف 0 و(4-λ)(λ2-10λ+21).
p(λ)=(4-λ)(λ2-10λ+21)
p(λ)=(4-λ)(λ2-10λ+21)
خطوة 1.1.5.5.2
وسّع (4-λ)(λ2-10λ+21) بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.
p(λ)=4λ2+4(-10λ)+4⋅21-λ⋅λ2-λ(-10λ)-λ⋅21
خطوة 1.1.5.5.3
بسّط كل حد.
خطوة 1.1.5.5.3.1
اضرب -10 في 4.
p(λ)=4λ2-40λ+4⋅21-λ⋅λ2-λ(-10λ)-λ⋅21
خطوة 1.1.5.5.3.2
اضرب 4 في 21.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ⋅λ2-λ(-10λ)-λ⋅21
خطوة 1.1.5.5.3.3
اضرب λ في λ2 بجمع الأُسس.
خطوة 1.1.5.5.3.3.1
انقُل λ2.
p(λ)=4λ2-40λ+84-(λ2λ)-λ(-10λ)-λ⋅21
خطوة 1.1.5.5.3.3.2
اضرب λ2 في λ.
خطوة 1.1.5.5.3.3.2.1
ارفع λ إلى القوة 1.
p(λ)=4λ2-40λ+84-(λ2λ1)-λ(-10λ)-λ⋅21
خطوة 1.1.5.5.3.3.2.2
استخدِم قاعدة القوة aman=am+n لتجميع الأُسس.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ2+1-λ(-10λ)-λ⋅21
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ2+1-λ(-10λ)-λ⋅21
خطوة 1.1.5.5.3.3.3
أضف 2 و1.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3-λ(-10λ)-λ⋅21
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3-λ(-10λ)-λ⋅21
خطوة 1.1.5.5.3.4
أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3-1⋅-10λ⋅λ-λ⋅21
خطوة 1.1.5.5.3.5
اضرب λ في λ بجمع الأُسس.
خطوة 1.1.5.5.3.5.1
انقُل λ.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3-1⋅-10(λ⋅λ)-λ⋅21
خطوة 1.1.5.5.3.5.2
اضرب λ في λ.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3-1⋅-10λ2-λ⋅21
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3-1⋅-10λ2-λ⋅21
خطوة 1.1.5.5.3.6
اضرب -1 في -10.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3+10λ2-λ⋅21
خطوة 1.1.5.5.3.7
اضرب 21 في -1.
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3+10λ2-21λ
p(λ)=4λ2-40λ+84-λ3+10λ2-21λ
خطوة 1.1.5.5.4
أضف 4λ2 و10λ2.
p(λ)=14λ2-40λ+84-λ3-21λ
خطوة 1.1.5.5.5
اطرح 21λ من -40λ.
p(λ)=14λ2-61λ+84-λ3
خطوة 1.1.5.5.6
انقُل 84.
p(λ)=14λ2-61λ-λ3+84
خطوة 1.1.5.5.7
انقُل -61λ.
p(λ)=14λ2-λ3-61λ+84
خطوة 1.1.5.5.8
أعِد ترتيب 14λ2 و-λ3.
p(λ)=-λ3+14λ2-61λ+84
p(λ)=-λ3+14λ2-61λ+84
p(λ)=-λ3+14λ2-61λ+84
خطوة 1.1.6
عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ 0 لإيجاد القيم الذاتية λ.
-λ3+14λ2-61λ+84=0
خطوة 1.1.7
أوجِد قيمة λ.
خطوة 1.1.7.1
حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.
خطوة 1.1.7.1.1
حلّل -λ3+14λ2-61λ+84 إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.
خطوة 1.1.7.1.1.1
إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة pq والتي تكون فيها p هي عامل الثابت وq هي عامل المعامل الرئيسي.
p=±1,±84,±2,±42,±3,±28,±4,±21,±6,±14,±7,±12
q=±1
خطوة 1.1.7.1.1.2
أوجِد كل تركيبة من تركيبات ±pq. هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.
±1,±84,±2,±42,±3,±28,±4,±21,±6,±14,±7,±12
خطوة 1.1.7.1.1.3
عوّض بـ 3 وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي 0، إذن 3 هو جذر متعدد الحدود.
خطوة 1.1.7.1.1.3.1
عوّض بـ 3 في متعدد الحدود.
-33+14⋅32-61⋅3+84
خطوة 1.1.7.1.1.3.2
ارفع 3 إلى القوة 3.
-1⋅27+14⋅32-61⋅3+84
خطوة 1.1.7.1.1.3.3
اضرب -1 في 27.
-27+14⋅32-61⋅3+84
خطوة 1.1.7.1.1.3.4
ارفع 3 إلى القوة 2.
-27+14⋅9-61⋅3+84
خطوة 1.1.7.1.1.3.5
اضرب 14 في 9.
-27+126-61⋅3+84
خطوة 1.1.7.1.1.3.6
أضف -27 و126.
99-61⋅3+84
خطوة 1.1.7.1.1.3.7
اضرب -61 في 3.
99-183+84
خطوة 1.1.7.1.1.3.8
اطرح 183 من 99.
-84+84
خطوة 1.1.7.1.1.3.9
أضف -84 و84.
0
0
خطوة 1.1.7.1.1.4
بما أن 3 جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على λ-3 لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.
-λ3+14λ2-61λ+84λ-3
خطوة 1.1.7.1.1.5
اقسِم -λ3+14λ2-61λ+84 على λ-3.
خطوة 1.1.7.1.1.5.1
عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة 0.
| λ | - | 3 | - | λ3 | + | 14λ2 | - | 61λ | + | 84 |
خطوة 1.1.7.1.1.5.2
اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم -λ3 على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه λ.
| - | λ2 | ||||||||||
| λ | - | 3 | - | λ3 | + | 14λ2 | - | 61λ | + | 84 |
خطوة 1.1.7.1.1.5.3
اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.
| - | λ2 | ||||||||||
| λ | - | 3 | - | λ3 | + | 14λ2 | - | 61λ | + | 84 | |
| - | λ3 | + | 3λ2 |
خطوة 1.1.7.1.1.5.4
يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في -λ3+3λ2
| - | λ2 | ||||||||||
| λ | - | 3 | - | λ3 | + | 14λ2 | - | 61λ | + | 84 | |
| + | λ3 | - | 3λ2 |
خطوة 1.1.7.1.1.5.5
بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.
| - | λ2 | ||||||||||
| λ | - | 3 | - | λ3 | + | 14λ2 | - | 61λ | + | 84 | |
| + | λ3 | - | 3λ2 | ||||||||
| + | 11λ2 |
خطوة 1.1.7.1.1.5.6
أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.
| - | λ2 | ||||||||||
| λ | - | 3 | - | λ3 | + | 14λ2 | - | 61λ | + | 84 | |
| + | λ3 | - | 3λ2 | ||||||||
| + | 11λ2 | - | 61λ |
خطوة 1.1.7.1.1.5.7
اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم 11λ2 على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه λ.
| - | λ2 | + | 11λ | ||||||||
| λ | - | 3 | - | λ3 | + | 14λ2 | - | 61λ | + | 84 | |
| + | λ3 | - | 3λ2 | ||||||||
| + | 11λ2 | - | 61λ |
خطوة 1.1.7.1.1.5.8
اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.
| - | λ2 | + | 11λ | ||||||||
| λ | - | 3 | - | λ3 | + | 14λ2 | - | 61λ | + | 84 | |
| + | λ3 | - | 3λ2 | ||||||||
| + | 11λ2 | - | 61λ | ||||||||
| + | 11λ2 | - | 33λ |
خطوة 1.1.7.1.1.5.9
يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في 11λ2-33λ
| - | λ2 | + | 11λ | ||||||||
| λ | - | 3 | - | λ3 | + | 14λ2 | - | 61λ | + | 84 | |
| + | λ3 | - | 3λ2 | ||||||||
| + | 11λ2 | - | 61λ | ||||||||
| - | 11λ2 | + | 33λ |
خطوة 1.1.7.1.1.5.10
بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.
| - | λ2 | + | 11λ | ||||||||
| λ | - | 3 | - | λ3 | + | 14λ2 | - | 61λ | + | 84 | |
| + | λ3 | - | 3λ2 | ||||||||
| + | 11λ2 | - | 61λ | ||||||||
| - | 11λ2 | + | 33λ | ||||||||
| - | 28λ |
خطوة 1.1.7.1.1.5.11
أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.
| - | λ2 | + | 11λ | ||||||||
| λ | - | 3 | - | λ3 | + | 14λ2 | - | 61λ | + | 84 | |
| + | λ3 | - | 3λ2 | ||||||||
| + | 11λ2 | - | 61λ | ||||||||
| - | 11λ2 | + | 33λ | ||||||||
| - | 28λ | + | 84 |
خطوة 1.1.7.1.1.5.12
اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم -28λ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه λ.
| - | λ2 | + | 11λ | - | 28 | ||||||
| λ | - | 3 | - | λ3 | + | 14λ2 | - | 61λ | + | 84 | |
| + | λ3 | - | 3λ2 | ||||||||
| + | 11λ2 | - | 61λ | ||||||||
| - | 11λ2 | + | 33λ | ||||||||
| - | 28λ | + | 84 |
خطوة 1.1.7.1.1.5.13
اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.
| - | λ2 | + | 11λ | - | 28 | ||||||
| λ | - | 3 | - | λ3 | + | 14λ2 | - | 61λ | + | 84 | |
| + | λ3 | - | 3λ2 | ||||||||
| + | 11λ2 | - | 61λ | ||||||||
| - | 11λ2 | + | 33λ | ||||||||
| - | 28λ | + | 84 | ||||||||
| - | 28λ | + | 84 |
خطوة 1.1.7.1.1.5.14
يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في -28λ+84
| - | λ2 | + | 11λ | - | 28 | ||||||
| λ | - | 3 | - | λ3 | + | 14λ2 | - | 61λ | + | 84 | |
| + | λ3 | - | 3λ2 | ||||||||
| + | 11λ2 | - | 61λ | ||||||||
| - | 11λ2 | + | 33λ | ||||||||
| - | 28λ | + | 84 | ||||||||
| + | 28λ | - | 84 |
خطوة 1.1.7.1.1.5.15
بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.
| - | λ2 | + | 11λ | - | 28 | ||||||
| λ | - | 3 | - | λ3 | + | 14λ2 | - | 61λ | + | 84 | |
| + | λ3 | - | 3λ2 | ||||||||
| + | 11λ2 | - | 61λ | ||||||||
| - | 11λ2 | + | 33λ | ||||||||
| - | 28λ | + | 84 | ||||||||
| + | 28λ | - | 84 | ||||||||
| 0 |
خطوة 1.1.7.1.1.5.16
Since the remainder is 0, the final answer is the quotient.
-λ2+11λ-28
-λ2+11λ-28
خطوة 1.1.7.1.1.6
اكتب -λ3+14λ2-61λ+84 في صورة مجموعة من العوامل.
(λ-3)(-λ2+11λ-28)=0
(λ-3)(-λ2+11λ-28)=0
خطوة 1.1.7.1.2
حلّل إلى عوامل بالتجميع.
خطوة 1.1.7.1.2.1
حلّل إلى عوامل بالتجميع.
خطوة 1.1.7.1.2.1.1
بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة ax2+bx+c، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما a⋅c=-1⋅-28=28 ومجموعهما b=11.
خطوة 1.1.7.1.2.1.1.1
أخرِج العامل 11 من 11λ.
(λ-3)(-λ2+11(λ)-28)=0
خطوة 1.1.7.1.2.1.1.2
أعِد كتابة 11 في صورة 4 زائد 7
(λ-3)(-λ2+(4+7)λ-28)=0
خطوة 1.1.7.1.2.1.1.3
طبّق خاصية التوزيع.
(λ-3)(-λ2+4λ+7λ-28)=0
(λ-3)(-λ2+4λ+7λ-28)=0
خطوة 1.1.7.1.2.1.2
أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.
خطوة 1.1.7.1.2.1.2.1
جمّع أول حدين وآخر حدين.
(λ-3)((-λ2+4λ)+7λ-28)=0
خطوة 1.1.7.1.2.1.2.2
أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.
(λ-3)(λ(-λ+4)-7(-λ+4))=0
(λ-3)(λ(-λ+4)-7(-λ+4))=0
خطوة 1.1.7.1.2.1.3
حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، -λ+4.
(λ-3)((-λ+4)(λ-7))=0
(λ-3)((-λ+4)(λ-7))=0
خطوة 1.1.7.1.2.2
احذِف الأقواس غير الضرورية.
(λ-3)(-λ+4)(λ-7)=0
(λ-3)(-λ+4)(λ-7)=0
(λ-3)(-λ+4)(λ-7)=0
خطوة 1.1.7.2
إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي 0، فالعبارة بأكملها تساوي 0.
λ-3=0
-λ+4=0
λ-7=0
خطوة 1.1.7.3
عيّن قيمة العبارة λ-3 بحيث تصبح مساوية لـ 0 وأوجِد قيمة λ.
خطوة 1.1.7.3.1
عيّن قيمة λ-3 بحيث تصبح مساوية لـ 0.
λ-3=0
خطوة 1.1.7.3.2
أضف 3 إلى كلا المتعادلين.
λ=3
λ=3
خطوة 1.1.7.4
عيّن قيمة العبارة -λ+4 بحيث تصبح مساوية لـ 0 وأوجِد قيمة λ.
خطوة 1.1.7.4.1
عيّن قيمة -λ+4 بحيث تصبح مساوية لـ 0.
-λ+4=0
خطوة 1.1.7.4.2
أوجِد قيمة λ في -λ+4=0.
خطوة 1.1.7.4.2.1
اطرح 4 من كلا المتعادلين.
-λ=-4
خطوة 1.1.7.4.2.2
اقسِم كل حد في -λ=-4 على -1 وبسّط.
خطوة 1.1.7.4.2.2.1
اقسِم كل حد في -λ=-4 على -1.
-λ-1=-4-1
خطوة 1.1.7.4.2.2.2
بسّط الطرف الأيسر.
خطوة 1.1.7.4.2.2.2.1
قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.
λ1=-4-1
خطوة 1.1.7.4.2.2.2.2
اقسِم λ على 1.
λ=-4-1
λ=-4-1
خطوة 1.1.7.4.2.2.3
بسّط الطرف الأيمن.
خطوة 1.1.7.4.2.2.3.1
اقسِم -4 على -1.
λ=4
λ=4
λ=4
λ=4
λ=4
خطوة 1.1.7.5
عيّن قيمة العبارة λ-7 بحيث تصبح مساوية لـ 0 وأوجِد قيمة λ.
خطوة 1.1.7.5.1
عيّن قيمة λ-7 بحيث تصبح مساوية لـ 0.
λ-7=0
خطوة 1.1.7.5.2
أضف 7 إلى كلا المتعادلين.
λ=7
λ=7
خطوة 1.1.7.6
الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة (λ-3)(-λ+4)(λ-7)=0 صحيحة.
λ=3,4,7
λ=3,4,7
λ=3,4,7
خطوة 1.2
المتجه الذاتي يساوي الفضاء الصفري للمصفوفة مطروحًا منه القيمة الذاتية مضروبًا في المصفوفة المتطابقة حيث أن N هو الفضاء الصفري وI هو المصفوفة المتطابقة.
εA=N(A-λI3)
خطوة 1.3
أوجِد المتجه الذاتي باستخدام القيمة الذاتية λ=3.
خطوة 1.3.1
عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.
N([5202504-14]-3[100010001])
خطوة 1.3.2
بسّط.
خطوة 1.3.2.1
بسّط كل حد.
خطوة 1.3.2.1.1
اضرب -3 في كل عنصر من عناصر المصفوفة.
[5202504-14]+[-3⋅1-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1]
خطوة 1.3.2.1.2
بسّط كل عنصر في المصفوفة.
خطوة 1.3.2.1.2.1
اضرب -3 في 1.
[5202504-14]+[-3-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1]
خطوة 1.3.2.1.2.2
اضرب -3 في 0.
[5202504-14]+[-30-3⋅0-3⋅0-3⋅1-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1]
خطوة 1.3.2.1.2.3
اضرب -3 في 0.
[5202504-14]+[-300-3⋅0-3⋅1-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1]
خطوة 1.3.2.1.2.4
اضرب -3 في 0.
[5202504-14]+[-3000-3⋅1-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1]
خطوة 1.3.2.1.2.5
اضرب -3 في 1.
[5202504-14]+[-3000-3-3⋅0-3⋅0-3⋅0-3⋅1]
خطوة 1.3.2.1.2.6
اضرب -3 في 0.
[5202504-14]+[-3000-30-3⋅0-3⋅0-3⋅1]
خطوة 1.3.2.1.2.7
اضرب -3 في 0.
[5202504-14]+[-3000-300-3⋅0-3⋅1]
خطوة 1.3.2.1.2.8
اضرب -3 في 0.
[5202504-14]+[-3000-3000-3⋅1]
خطوة 1.3.2.1.2.9
اضرب -3 في 1.
[5202504-14]+[-3000-3000-3]
[5202504-14]+[-3000-3000-3]
[5202504-14]+[-3000-3000-3]
خطوة 1.3.2.2
اجمع العناصر المتناظرة.
[5-32+00+02+05-30+04+0-1+04-3]
خطوة 1.3.2.3
بسّط كل عنصر.
خطوة 1.3.2.3.1
اطرح 3 من 5.
[22+00+02+05-30+04+0-1+04-3]
خطوة 1.3.2.3.2
أضف 2 و0.
[220+02+05-30+04+0-1+04-3]
خطوة 1.3.2.3.3
أضف 0 و0.
[2202+05-30+04+0-1+04-3]
خطوة 1.3.2.3.4
أضف 2 و0.
[22025-30+04+0-1+04-3]
خطوة 1.3.2.3.5
اطرح 3 من 5.
[220220+04+0-1+04-3]
خطوة 1.3.2.3.6
أضف 0 و0.
[2202204+0-1+04-3]
خطوة 1.3.2.3.7
أضف 4 و0.
[2202204-1+04-3]
خطوة 1.3.2.3.8
أضف -1 و0.
[2202204-14-3]
خطوة 1.3.2.3.9
اطرح 3 من 4.
[2202204-11]
[2202204-11]
[2202204-11]
خطوة 1.3.3
أوجِد الفضاء الصفري عندما تكون λ=3.
خطوة 1.3.3.1
اكتب ف صورة مصفوفة موسّعة لـ Ax=0.
[220022004-110]
خطوة 1.3.3.2
أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.
خطوة 1.3.3.2.1
اضرب كل عنصر من R1 في 12 لجعل الإدخال في 1,1 يساوي 1.
خطوة 1.3.3.2.1.1
اضرب كل عنصر من R1 في 12 لجعل الإدخال في 1,1 يساوي 1.
[2222020222004-110]
خطوة 1.3.3.2.1.2
بسّط R1.
[110022004-110]
[110022004-110]
خطوة 1.3.3.2.2
احسب العملية الصفية R2=R2-2R1 لجعل الإدخال في 2,1 يساوي 0.
خطوة 1.3.3.2.2.1
احسب العملية الصفية R2=R2-2R1 لجعل الإدخال في 2,1 يساوي 0.
[11002-2⋅12-2⋅10-2⋅00-2⋅04-110]
خطوة 1.3.3.2.2.2
بسّط R2.
[110000004-110]
[110000004-110]
خطوة 1.3.3.2.3
احسب العملية الصفية R3=R3-4R1 لجعل الإدخال في 3,1 يساوي 0.
خطوة 1.3.3.2.3.1
احسب العملية الصفية R3=R3-4R1 لجعل الإدخال في 3,1 يساوي 0.
[110000004-4⋅1-1-4⋅11-4⋅00-4⋅0]
خطوة 1.3.3.2.3.2
بسّط R3.
[110000000-510]
[110000000-510]
خطوة 1.3.3.2.4
بدّل R3 بـ R2 لوضع إدخال غير صفري في 2,2.
[11000-5100000]
خطوة 1.3.3.2.5
اضرب كل عنصر من R2 في -15 لجعل الإدخال في 2,2 يساوي 1.
خطوة 1.3.3.2.5.1
اضرب كل عنصر من R2 في -15 لجعل الإدخال في 2,2 يساوي 1.
[1100-15⋅0-15⋅-5-15⋅1-15⋅00000]
خطوة 1.3.3.2.5.2
بسّط R2.
[110001-1500000]
[110001-1500000]
خطوة 1.3.3.2.6
احسب العملية الصفية R1=R1-R2 لجعل الإدخال في 1,2 يساوي 0.
خطوة 1.3.3.2.6.1
احسب العملية الصفية R1=R1-R2 لجعل الإدخال في 1,2 يساوي 0.
[1-01-10+150-001-1500000]
خطوة 1.3.3.2.6.2
بسّط R1.
[1015001-1500000]
[1015001-1500000]
[1015001-1500000]
خطوة 1.3.3.3
استخدِم مصفوفة النتيجة لبيان الحل النهائي لنظام المعادلات.
x+15z=0
y-15z=0
0=0
خطوة 1.3.3.4
اكتب متجه الحل بالحل بدلالة المتغيرات الحرة في كل صف.
[xyz]=[-z5z5z]
خطوة 1.3.3.5
اكتب الحل في صورة مجموعة خطية من المتجهات.
[xyz]=z[-15151]
خطوة 1.3.3.6
اكتب في صورة مجموعة حل.
{z[-15151]|z∈R}
خطوة 1.3.3.7
الحل هو مجموعة المتجهات التي تنشأ نتيجة المتغيرات الحرة للنظام.
{[-15151]}
{[-15151]}
{[-15151]}
خطوة 1.4
أوجِد المتجه الذاتي باستخدام القيمة الذاتية λ=4.
خطوة 1.4.1
عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.
N([5202504-14]-4[100010001])
خطوة 1.4.2
بسّط.
خطوة 1.4.2.1
بسّط كل حد.
خطوة 1.4.2.1.1
اضرب -4 في كل عنصر من عناصر المصفوفة.
[5202504-14]+[-4⋅1-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1]
خطوة 1.4.2.1.2
بسّط كل عنصر في المصفوفة.
خطوة 1.4.2.1.2.1
اضرب -4 في 1.
[5202504-14]+[-4-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1]
خطوة 1.4.2.1.2.2
اضرب -4 في 0.
[5202504-14]+[-40-4⋅0-4⋅0-4⋅1-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1]
خطوة 1.4.2.1.2.3
اضرب -4 في 0.
[5202504-14]+[-400-4⋅0-4⋅1-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1]
خطوة 1.4.2.1.2.4
اضرب -4 في 0.
[5202504-14]+[-4000-4⋅1-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1]
خطوة 1.4.2.1.2.5
اضرب -4 في 1.
[5202504-14]+[-4000-4-4⋅0-4⋅0-4⋅0-4⋅1]
خطوة 1.4.2.1.2.6
اضرب -4 في 0.
[5202504-14]+[-4000-40-4⋅0-4⋅0-4⋅1]
خطوة 1.4.2.1.2.7
اضرب -4 في 0.
[5202504-14]+[-4000-400-4⋅0-4⋅1]
خطوة 1.4.2.1.2.8
اضرب -4 في 0.
[5202504-14]+[-4000-4000-4⋅1]
خطوة 1.4.2.1.2.9
اضرب -4 في 1.
[5202504-14]+[-4000-4000-4]
[5202504-14]+[-4000-4000-4]
[5202504-14]+[-4000-4000-4]
خطوة 1.4.2.2
اجمع العناصر المتناظرة.
[5-42+00+02+05-40+04+0-1+04-4]
خطوة 1.4.2.3
بسّط كل عنصر.
خطوة 1.4.2.3.1
اطرح 4 من 5.
[12+00+02+05-40+04+0-1+04-4]
خطوة 1.4.2.3.2
أضف 2 و0.
[120+02+05-40+04+0-1+04-4]
خطوة 1.4.2.3.3
أضف 0 و0.
[1202+05-40+04+0-1+04-4]
خطوة 1.4.2.3.4
أضف 2 و0.
[12025-40+04+0-1+04-4]
خطوة 1.4.2.3.5
اطرح 4 من 5.
[120210+04+0-1+04-4]
خطوة 1.4.2.3.6
أضف 0 و0.
[1202104+0-1+04-4]
خطوة 1.4.2.3.7
أضف 4 و0.
[1202104-1+04-4]
خطوة 1.4.2.3.8
أضف -1 و0.
[1202104-14-4]
خطوة 1.4.2.3.9
اطرح 4 من 4.
[1202104-10]
[1202104-10]
[1202104-10]
خطوة 1.4.3
أوجِد الفضاء الصفري عندما تكون λ=4.
خطوة 1.4.3.1
اكتب ف صورة مصفوفة موسّعة لـ Ax=0.
[120021004-100]
خطوة 1.4.3.2
أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.
خطوة 1.4.3.2.1
احسب العملية الصفية R2=R2-2R1 لجعل الإدخال في 2,1 يساوي 0.
خطوة 1.4.3.2.1.1
احسب العملية الصفية R2=R2-2R1 لجعل الإدخال في 2,1 يساوي 0.
[12002-2⋅11-2⋅20-2⋅00-2⋅04-100]
خطوة 1.4.3.2.1.2
بسّط R2.
[12000-3004-100]
[12000-3004-100]
خطوة 1.4.3.2.2
احسب العملية الصفية R3=R3-4R1 لجعل الإدخال في 3,1 يساوي 0.
خطوة 1.4.3.2.2.1
احسب العملية الصفية R3=R3-4R1 لجعل الإدخال في 3,1 يساوي 0.
[12000-3004-4⋅1-1-4⋅20-4⋅00-4⋅0]
خطوة 1.4.3.2.2.2
بسّط R3.
[12000-3000-900]
[12000-3000-900]
خطوة 1.4.3.2.3
اضرب كل عنصر من R2 في -13 لجعل الإدخال في 2,2 يساوي 1.
خطوة 1.4.3.2.3.1
اضرب كل عنصر من R2 في -13 لجعل الإدخال في 2,2 يساوي 1.
[1200-13⋅0-13⋅-3-13⋅0-13⋅00-900]
خطوة 1.4.3.2.3.2
بسّط R2.
[120001000-900]
[120001000-900]
خطوة 1.4.3.2.4
احسب العملية الصفية R3=R3+9R2 لجعل الإدخال في 3,2 يساوي 0.
خطوة 1.4.3.2.4.1
احسب العملية الصفية R3=R3+9R2 لجعل الإدخال في 3,2 يساوي 0.
[120001000+9⋅0-9+9⋅10+9⋅00+9⋅0]
خطوة 1.4.3.2.4.2
بسّط R3.
[120001000000]
[120001000000]
خطوة 1.4.3.2.5
احسب العملية الصفية R1=R1-2R2 لجعل الإدخال في 1,2 يساوي 0.
خطوة 1.4.3.2.5.1
احسب العملية الصفية R1=R1-2R2 لجعل الإدخال في 1,2 يساوي 0.
[1-2⋅02-2⋅10-2⋅00-2⋅001000000]
خطوة 1.4.3.2.5.2
بسّط R1.
[100001000000]
[100001000000]
[100001000000]
خطوة 1.4.3.3
استخدِم مصفوفة النتيجة لبيان الحل النهائي لنظام المعادلات.
x=0
y=0
0=0
خطوة 1.4.3.4
اكتب متجه الحل بالحل بدلالة المتغيرات الحرة في كل صف.
[xyz]=[00z]
خطوة 1.4.3.5
اكتب الحل في صورة مجموعة خطية من المتجهات.
[xyz]=z[001]
خطوة 1.4.3.6
اكتب في صورة مجموعة حل.
{z[001]|z∈R}
خطوة 1.4.3.7
الحل هو مجموعة المتجهات التي تنشأ نتيجة المتغيرات الحرة للنظام.
{[001]}
{[001]}
{[001]}
خطوة 1.5
أوجِد المتجه الذاتي باستخدام القيمة الذاتية λ=7.
خطوة 1.5.1
عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.
N([5202504-14]-7[100010001])
خطوة 1.5.2
بسّط.
خطوة 1.5.2.1
بسّط كل حد.
خطوة 1.5.2.1.1
اضرب -7 في كل عنصر من عناصر المصفوفة.
[5202504-14]+[-7⋅1-7⋅0-7⋅0-7⋅0-7⋅1-7⋅0-7⋅0-7⋅0-7⋅1]
خطوة 1.5.2.1.2
بسّط كل عنصر في المصفوفة.
خطوة 1.5.2.1.2.1
اضرب -7 في 1.
[5202504-14]+[-7-7⋅0-7⋅0-7⋅0-7⋅1-7⋅0-7⋅0-7⋅0-7⋅1]
خطوة 1.5.2.1.2.2
اضرب -7 في 0.
[5202504-14]+[-70-7⋅0-7⋅0-7⋅1-7⋅0-7⋅0-7⋅0-7⋅1]
خطوة 1.5.2.1.2.3
اضرب -7 في 0.
[5202504-14]+[-700-7⋅0-7⋅1-7⋅0-7⋅0-7⋅0-7⋅1]
خطوة 1.5.2.1.2.4
اضرب -7 في 0.
[5202504-14]+[-7000-7⋅1-7⋅0-7⋅0-7⋅0-7⋅1]
خطوة 1.5.2.1.2.5
اضرب -7 في 1.
[5202504-14]+[-7000-7-7⋅0-7⋅0-7⋅0-7⋅1]
خطوة 1.5.2.1.2.6
اضرب -7 في 0.
[5202504-14]+[-7000-70-7⋅0-7⋅0-7⋅1]
خطوة 1.5.2.1.2.7
اضرب -7 في 0.
[5202504-14]+[-7000-700-7⋅0-7⋅1]
خطوة 1.5.2.1.2.8
اضرب -7 في 0.
[5202504-14]+[-7000-7000-7⋅1]
خطوة 1.5.2.1.2.9
اضرب -7 في 1.
[5202504-14]+[-7000-7000-7]
[5202504-14]+[-7000-7000-7]
[5202504-14]+[-7000-7000-7]
خطوة 1.5.2.2
اجمع العناصر المتناظرة.
[5-72+00+02+05-70+04+0-1+04-7]
خطوة 1.5.2.3
بسّط كل عنصر.
خطوة 1.5.2.3.1
اطرح 7 من 5.
[-22+00+02+05-70+04+0-1+04-7]
خطوة 1.5.2.3.2
أضف 2 و0.
[-220+02+05-70+04+0-1+04-7]
خطوة 1.5.2.3.3
أضف 0 و0.
[-2202+05-70+04+0-1+04-7]
خطوة 1.5.2.3.4
أضف 2 و0.
[-22025-70+04+0-1+04-7]
خطوة 1.5.2.3.5
اطرح 7 من 5.
[-2202-20+04+0-1+04-7]
خطوة 1.5.2.3.6
أضف 0 و0.
[-2202-204+0-1+04-7]
خطوة 1.5.2.3.7
أضف 4 و0.
[-2202-204-1+04-7]
خطوة 1.5.2.3.8
أضف -1 و0.
[-2202-204-14-7]
خطوة 1.5.2.3.9
اطرح 7 من 4.
[-2202-204-1-3]
[-2202-204-1-3]
[-2202-204-1-3]
خطوة 1.5.3
أوجِد الفضاء الصفري عندما تكون λ=7.
خطوة 1.5.3.1
اكتب ف صورة مصفوفة موسّعة لـ Ax=0.
[-22002-2004-1-30]
خطوة 1.5.3.2
أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.
خطوة 1.5.3.2.1
اضرب كل عنصر من R1 في -12 لجعل الإدخال في 1,1 يساوي 1.
خطوة 1.5.3.2.1.1
اضرب كل عنصر من R1 في -12 لجعل الإدخال في 1,1 يساوي 1.
[-12⋅-2-12⋅2-12⋅0-12⋅02-2004-1-30]
خطوة 1.5.3.2.1.2
بسّط R1.
[1-1002-2004-1-30]
[1-1002-2004-1-30]
خطوة 1.5.3.2.2
احسب العملية الصفية R2=R2-2R1 لجعل الإدخال في 2,1 يساوي 0.
خطوة 1.5.3.2.2.1
احسب العملية الصفية R2=R2-2R1 لجعل الإدخال في 2,1 يساوي 0.
[1-1002-2⋅1-2-2⋅-10-2⋅00-2⋅04-1-30]
خطوة 1.5.3.2.2.2
بسّط R2.
[1-10000004-1-30]
[1-10000004-1-30]
خطوة 1.5.3.2.3
احسب العملية الصفية R3=R3-4R1 لجعل الإدخال في 3,1 يساوي 0.
خطوة 1.5.3.2.3.1
احسب العملية الصفية R3=R3-4R1 لجعل الإدخال في 3,1 يساوي 0.
[1-10000004-4⋅1-1-4⋅-1-3-4⋅00-4⋅0]
خطوة 1.5.3.2.3.2
بسّط R3.
[1-100000003-30]
[1-100000003-30]
خطوة 1.5.3.2.4
بدّل R3 بـ R2 لوضع إدخال غير صفري في 2,2.
[1-10003-300000]
خطوة 1.5.3.2.5
اضرب كل عنصر من R2 في 13 لجعل الإدخال في 2,2 يساوي 1.
خطوة 1.5.3.2.5.1
اضرب كل عنصر من R2 في 13 لجعل الإدخال في 2,2 يساوي 1.
[1-1000333-33030000]
خطوة 1.5.3.2.5.2
بسّط R2.
[1-10001-100000]
[1-10001-100000]
خطوة 1.5.3.2.6
احسب العملية الصفية R1=R1+R2 لجعل الإدخال في 1,2 يساوي 0.
خطوة 1.5.3.2.6.1
احسب العملية الصفية R1=R1+R2 لجعل الإدخال في 1,2 يساوي 0.
[1+0-1+1⋅10-10+001-100000]
خطوة 1.5.3.2.6.2
بسّط R1.
[10-1001-100000]
[10-1001-100000]
[10-1001-100000]
خطوة 1.5.3.3
استخدِم مصفوفة النتيجة لبيان الحل النهائي لنظام المعادلات.
x-z=0
y-z=0
0=0
خطوة 1.5.3.4
اكتب متجه الحل بالحل بدلالة المتغيرات الحرة في كل صف.
[xyz]=[zzz]
خطوة 1.5.3.5
اكتب الحل في صورة مجموعة خطية من المتجهات.
[xyz]=z[111]
خطوة 1.5.3.6
اكتب في صورة مجموعة حل.
{z[111]|z∈R}
خطوة 1.5.3.7
الحل هو مجموعة المتجهات التي تنشأ نتيجة المتغيرات الحرة للنظام.
{[111]}
{[111]}
{[111]}
خطوة 1.6
الفضاء الذاتي لـ A هو مجموع فضاء المتجهات لكل قيمة ذاتية.
{[-15151],[001],[111]}
{[-15151],[001],[111]}
خطوة 2
حدِّد P باعتباره مصفوفة متجهة ذاتية.
P=[-15011501111]
خطوة 3
خطوة 3.1
أوجِد المحدد.
خطوة 3.1.1
اختر الصف أو العمود الذي يحتوي على أكثر عدد من 0 من العناصر. إذا لم تكن هناك 0 من العناصر، فاختر أي صف أو عمود. اضرب كل عنصر في العمود 2 في العامل المساعد وأضف.
خطوة 3.1.1.1
ضع في اعتبارك مخطط الإشارة المقابل.
|+-+-+-+-+|
خطوة 3.1.1.2
العامل المساعد هو المختصر مع تغير العلامة إذا تطابقت المؤشرات مع موضع - على مخطط الإشارة.
خطوة 3.1.1.3
المختصر لـ a12 هو المحدد مع حذف الصف 1 والعمود 2.
|15111|
خطوة 3.1.1.4
اضرب العنصر a12 بعامله المساعد.
0|15111|
خطوة 3.1.1.5
المختصر لـ a22 هو المحدد مع حذف الصف 2 والعمود 2.
|-15111|
خطوة 3.1.1.6
اضرب العنصر a22 بعامله المساعد.
0|-15111|
خطوة 3.1.1.7
المختصر لـ a32 هو المحدد مع حذف الصف 3 والعمود 2.
|-151151|
خطوة 3.1.1.8
اضرب العنصر a32 بعامله المساعد.
-1|-151151|
خطوة 3.1.1.9
أضف الحدود معًا.
0|15111|+0|-15111|-1|-151151|
0|15111|+0|-15111|-1|-151151|
خطوة 3.1.2
اضرب 0 في |15111|.
0+0|-15111|-1|-151151|
خطوة 3.1.3
اضرب 0 في |-15111|.
0+0-1|-151151|
خطوة 3.1.4
احسِب قيمة |-151151|.
خطوة 3.1.4.1
يمكن إيجاد محدد المصفوفة 2×2 باستخدام القاعدة |abcd|=ad-cb.
0+0-1(-15⋅1-15⋅1)
خطوة 3.1.4.2
بسّط المحدد.
خطوة 3.1.4.2.1
بسّط كل حد.
خطوة 3.1.4.2.1.1
اضرب -1 في 1.
0+0-1(-15-15⋅1)
خطوة 3.1.4.2.1.2
اضرب في .
خطوة 3.1.4.2.2
اجمع البسوط على القاسم المشترك.
خطوة 3.1.4.2.3
اطرح من .
خطوة 3.1.4.2.4
انقُل السالب أمام الكسر.
خطوة 3.1.5
بسّط المحدد.
خطوة 3.1.5.1
اضرب .
خطوة 3.1.5.1.1
اضرب في .
خطوة 3.1.5.1.2
اضرب في .
خطوة 3.1.5.2
أضف و.
خطوة 3.1.5.3
أضف و.
خطوة 3.2
بما أن المحدد ليس صفريًا، إذن يوجد معكوس.
خطوة 3.3
كوّن مصفوفة حيث يكون النصف الأيسر هو المصفوفة الأصلية والنصف الأيمن هو المصفوفة المتطابقة.
خطوة 3.4
أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.
خطوة 3.4.1
اضرب كل عنصر من في لجعل الإدخال في يساوي .
خطوة 3.4.1.1
اضرب كل عنصر من في لجعل الإدخال في يساوي .
خطوة 3.4.1.2
بسّط .
خطوة 3.4.2
احسب العملية الصفية لجعل الإدخال في يساوي .
خطوة 3.4.2.1
احسب العملية الصفية لجعل الإدخال في يساوي .
خطوة 3.4.2.2
بسّط .
خطوة 3.4.3
احسب العملية الصفية لجعل الإدخال في يساوي .
خطوة 3.4.3.1
احسب العملية الصفية لجعل الإدخال في يساوي .
خطوة 3.4.3.2
بسّط .
خطوة 3.4.4
بدّل بـ لوضع إدخال غير صفري في .
خطوة 3.4.5
اضرب كل عنصر من في لجعل الإدخال في يساوي .
خطوة 3.4.5.1
اضرب كل عنصر من في لجعل الإدخال في يساوي .
خطوة 3.4.5.2
بسّط .
خطوة 3.4.6
احسب العملية الصفية لجعل الإدخال في يساوي .
خطوة 3.4.6.1
احسب العملية الصفية لجعل الإدخال في يساوي .
خطوة 3.4.6.2
بسّط .
خطوة 3.4.7
احسب العملية الصفية لجعل الإدخال في يساوي .
خطوة 3.4.7.1
احسب العملية الصفية لجعل الإدخال في يساوي .
خطوة 3.4.7.2
بسّط .
خطوة 3.5
النصف الأيمن من الصيغة الدرجية المختزلة هو معكوس.
خطوة 4
استخدم تحويل التماثل للعثور على قيمة المصفوفة القطرية .
خطوة 5
استبدال المصفوفات.
خطوة 6
خطوة 6.1
اضرب .
خطوة 6.1.1
يمكن ضرب مصفوفتين إذا كان عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى يساوي عدد الصفوف في المصفوفة الثانية فقط. في هذه الحالة، المصفوفة الأولى هي والمصفوفة الثانية هي .
خطوة 6.1.2
اضرب كل صف في المصفوفة الأولى في كل عمود في المصفوفة الثانية.
خطوة 6.1.3
بسّط كل عنصر من عناصر المصفوفة بضرب جميع العبارات.
خطوة 6.2
اضرب .
خطوة 6.2.1
يمكن ضرب مصفوفتين إذا كان عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى يساوي عدد الصفوف في المصفوفة الثانية فقط. في هذه الحالة، المصفوفة الأولى هي والمصفوفة الثانية هي .
خطوة 6.2.2
اضرب كل صف في المصفوفة الأولى في كل عمود في المصفوفة الثانية.
خطوة 6.2.3
بسّط كل عنصر من عناصر المصفوفة بضرب جميع العبارات.
