الجبر الخطي الأمثلة

[\begin{matrix} 4 & 2 3 & 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}]$

خطوة 1

اعثر على القيم ذات المتجهات الذاتية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد القيم الذاتية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة

p (λ)

$p (λ)$ .

$p (λ) = محدِّد (A - λ I_{2})$

خطوة 1.1.2

المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم

$2$ هي المصفوفة المربعة

$2 \times 2$ التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 1.1.3

عوّض بالقيم المعروفة في

$p (λ) = محدِّد (A - λ I_{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

عوّض بقيمة

$A$ التي تساوي

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - λ I_{2})$

خطوة 1.1.3.2

عوّض بقيمة

$I_{2}$ التي تساوي

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 1.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1.1

اضرب

$- λ$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.1.4.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1.2.1

اضرب

$- 1$ في

$1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.1.4.1.2.2

اضرب

$- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1.2.2.1

اضرب

$0$ في

$- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.1.4.1.2.2.2

اضرب

$0$ في

$λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.1.4.1.2.3

اضرب

$- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1.2.3.1

اضرب

$0$ في

$- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.1.4.1.2.3.2

اضرب

$0$ في

$λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.1.4.1.2.4

اضرب

$- 1$ في

$1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

خطوة 1.1.4.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

خطوة 1.1.4.3

بسّط كل عنصر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.1

أضف

$2$ و

$0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

خطوة 1.1.4.3.2

أضف

$3$ و

$0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 3 - λ \end{array}]$

خطوة 1.1.5

أوجِد المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة

$2 \times 2$ باستخدام القاعدة

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (4 - λ) (3 - λ) - 3 \cdot 2$

خطوة 1.1.5.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.2.1.1

وسّع

$(4 - λ) (3 - λ)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 4 (3 - λ) - λ (3 - λ) - 3 \cdot 2$

خطوة 1.1.5.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 4 \cdot 3 + 4 (- λ) - λ (3 - λ) - 3 \cdot 2$

خطوة 1.1.5.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 4 \cdot 3 + 4 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

خطوة 1.1.5.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.2.1.2.1.1

اضرب

$4$ في

$3$ .

$p (λ) = 12 + 4 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

خطوة 1.1.5.2.1.2.1.2

اضرب

$- 1$ في

$4$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

خطوة 1.1.5.2.1.2.1.3

اضرب

$3$ في

$- 1$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

خطوة 1.1.5.2.1.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2$

خطوة 1.1.5.2.1.2.1.5

اضرب

$λ$ في

$λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.2.1.2.1.5.1

انقُل

$λ$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2$

خطوة 1.1.5.2.1.2.1.5.2

اضرب

$λ$ في

$λ$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

خطوة 1.1.5.2.1.2.1.6

اضرب

$- 1$ في

$- 1$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

خطوة 1.1.5.2.1.2.1.7

اضرب

$λ^{2}$ في

$1$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

خطوة 1.1.5.2.1.2.2

اطرح

$3 λ$ من

$- 4 λ$ .

$p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

خطوة 1.1.5.2.1.3

اضرب

$- 3$ في

$2$ .

$p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 6$

خطوة 1.1.5.2.2

اطرح

$6$ من

$12$ .

$p (λ) = - 7 λ + λ^{2} + 6$

خطوة 1.1.5.2.3

أعِد ترتيب

$- 7 λ$ و

$λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 7 λ + 6$

خطوة 1.1.6

عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ

$0$ لإيجاد القيم الذاتية

$λ$ .

$λ^{2} - 7 λ + 6 = 0$

خطوة 1.1.7

أوجِد قيمة

$λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.1

حلّل

$λ^{2} - 7 λ + 6$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة

$x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما

$c$ ومجموعهما

$b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما

$6$ ومجموعهما

$- 7$ .

$- 6, - 1$

خطوة 1.1.7.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(λ - 6) (λ - 1) = 0$

خطوة 1.1.7.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي

$0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي

$0$ .

$λ - 6 = 0$

$λ - 1 = 0$

خطوة 1.1.7.3

عيّن قيمة العبارة

$λ - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ

$0$ وأوجِد قيمة

$λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.3.1

عيّن قيمة

$λ - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ

$0$ .

$λ - 6 = 0$

خطوة 1.1.7.3.2

أضف

$6$ إلى كلا المتعادلين.

$λ = 6$

خطوة 1.1.7.4

عيّن قيمة العبارة

$λ - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ

$0$ وأوجِد قيمة

$λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.4.1

عيّن قيمة

$λ - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ

$0$ .

$λ - 1 = 0$

خطوة 1.1.7.4.2

أضف

$1$ إلى كلا المتعادلين.

$λ = 1$

خطوة 1.1.7.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة

$(λ - 6) (λ - 1) = 0$ صحيحة.

$λ = 6, 1$

خطوة 1.2

المتجه الذاتي يساوي الفضاء الصفري للمصفوفة مطروحًا منه القيمة الذاتية مضروبًا في المصفوفة المتطابقة حيث أن

$N$ هو الفضاء الصفري و

$I$ هو المصفوفة المتطابقة.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

خطوة 1.3

أوجِد المتجه الذاتي باستخدام القيمة الذاتية

$λ = 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - 6 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 1.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1.1

اضرب

$- 6$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 1.3.2.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1.2.1

اضرب

$- 6$ في

$1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 1.3.2.1.2.2

اضرب

$- 6$ في

$0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 1.3.2.1.2.3

اضرب

$- 6$ في

$0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 1.3.2.1.2.4

اضرب

$- 6$ في

$1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \end{array}]$

خطوة 1.3.2.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} 4 - 6 & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

خطوة 1.3.2.3

بسّط كل عنصر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.3.1

اطرح

$6$ من

$4$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

خطوة 1.3.2.3.2

أضف

$2$ و

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

خطوة 1.3.2.3.3

أضف

$3$ و

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & 3 - 6 \end{array}]$

خطوة 1.3.2.3.4

اطرح

$6$ من

$3$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 3 \end{array}]$

خطوة 1.3.3

أوجِد الفضاء الصفري عندما تكون

$λ = 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

اكتب ف صورة مصفوفة موسّعة لـ

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

خطوة 1.3.3.2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.1

اضرب كل عنصر من

$R_{1}$ في

$- \frac{1}{2}$ لجعل الإدخال في

$1, 1$ يساوي

$1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.1.1

اضرب كل عنصر من

$R_{1}$ في

$- \frac{1}{2}$ لجعل الإدخال في

$1, 1$ يساوي

$1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

خطوة 1.3.3.2.1.2

بسّط

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

خطوة 1.3.3.2.2

احسب العملية الصفية

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ لجعل الإدخال في

$2, 1$ يساوي

$0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.2.1

احسب العملية الصفية

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ لجعل الإدخال في

$2, 1$ يساوي

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 3 - 3 \cdot - 1 & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 1.3.3.2.2.2

بسّط

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 1.3.3.3

استخدِم مصفوفة النتيجة لبيان الحل النهائي لنظام المعادلات.

$x - y = 0$

$0 = 0$

خطوة 1.3.3.4

اكتب متجه الحل بالحل بدلالة المتغيرات الحرة في كل صف.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ y \end{array}]$

خطوة 1.3.3.5

اكتب الحل في صورة مجموعة خطية من المتجهات.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

خطوة 1.3.3.6

اكتب في صورة مجموعة حل.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

خطوة 1.3.3.7

الحل هو مجموعة المتجهات التي تنشأ نتيجة المتغيرات الحرة للنظام.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

خطوة 1.4

أوجِد المتجه الذاتي باستخدام القيمة الذاتية

$λ = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

اطرح العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} 4 - 1 & 2 - 0 \\ 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

خطوة 1.4.2.2

بسّط كل عنصر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.1

اطرح

$1$ من

$4$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 - 0 \\ 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

خطوة 1.4.2.2.2

اطرح

$0$ من

$2$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

خطوة 1.4.2.2.3

اطرح

$0$ من

$3$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 & 3 - 1 \end{array}]$

خطوة 1.4.2.2.4

اطرح

$1$ من

$3$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 & 2 \end{array}]$

خطوة 1.4.3

أوجِد الفضاء الصفري عندما تكون

$λ = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

اكتب ف صورة مصفوفة موسّعة لـ

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]$

خطوة 1.4.3.2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.2.1

اضرب كل عنصر من

$R_{1}$ في

$\frac{1}{3}$ لجعل الإدخال في

$1, 1$ يساوي

$1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.2.1.1

اضرب كل عنصر من

$R_{1}$ في

$\frac{1}{3}$ لجعل الإدخال في

$1, 1$ يساوي

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{2}{3} & \frac{0}{3} \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]$

خطوة 1.4.3.2.1.2

بسّط

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]$

خطوة 1.4.3.2.2

احسب العملية الصفية

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ لجعل الإدخال في

$2, 1$ يساوي

$0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.2.2.1

احسب العملية الصفية

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ لجعل الإدخال في

$2, 1$ يساوي

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 2 - 3 (\frac{2}{3}) & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 1.4.3.2.2.2

بسّط

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 1.4.3.3

استخدِم مصفوفة النتيجة لبيان الحل النهائي لنظام المعادلات.

$x + \frac{2}{3} y = 0$

$0 = 0$

خطوة 1.4.3.4

اكتب متجه الحل بالحل بدلالة المتغيرات الحرة في كل صف.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{2 y}{3} \\ y \end{array}]$

خطوة 1.4.3.5

اكتب الحل في صورة مجموعة خطية من المتجهات.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]$

خطوة 1.4.3.6

اكتب في صورة مجموعة حل.

${y [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

خطوة 1.4.3.7

الحل هو مجموعة المتجهات التي تنشأ نتيجة المتغيرات الحرة للنظام.

${[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}$

خطوة 1.5

الفضاء الذاتي لـ

$A$ هو مجموع فضاء المتجهات لكل قيمة ذاتية.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}$

خطوة 2

حدِّد

$P$ باعتباره مصفوفة متجهة ذاتية.

$P = [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

خطوة 3

أوجِد المعكوس لـ

$P$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

يمكن إيجاد معكوس المصفوفة

$2 \times 2$ باستخدام القاعدة

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ حيث إن

$a d - b c$ هي المحدد.

خطوة 3.2

أوجِد المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة

$2 \times 2$ باستخدام القاعدة

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 1 - - \frac{2}{3}$

خطوة 3.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اضرب

$1$ في

$1$ .

$1 - - \frac{2}{3}$

خطوة 3.2.2.1.2

اضرب

$- - \frac{2}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.2.1

اضرب

$- 1$ في

$- 1$ .

$1 + 1 (\frac{2}{3})$

خطوة 3.2.2.1.2.2

اضرب

$\frac{2}{3}$ في

$1$ .

$1 + \frac{2}{3}$

خطوة 3.2.2.2

اكتب

$1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{3}{3} + \frac{2}{3}$

خطوة 3.2.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{3 + 2}{3}$

خطوة 3.2.2.4

أضف

$3$ و

$2$ .

$\frac{5}{3}$

خطوة 3.3

بما أن المحدد ليس صفريًا، إذن يوجد معكوس.

خطوة 3.4

عوّض بالقيم المعروفة في قاعدة المعكوس.

$P^{- 1} = \frac{1}{\frac{5}{3}} [\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ - 1 & 1 \end{array}]$

خطوة 3.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$P^{- 1} = 1 (\frac{3}{5}) [\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ - 1 & 1 \end{array}]$

خطوة 3.6

اضرب

$\frac{3}{5}$ في

$1$ .

$P^{- 1} = \frac{3}{5} [\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ - 1 & 1 \end{array}]$

خطوة 3.7

اضرب

$\frac{3}{5}$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} \cdot 1 & \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.8

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

اضرب

$\frac{3}{5}$ في

$1$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.8.2

ألغِ العامل المشترك لـ

$3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.8.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{1}{5} \cdot 2 \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.8.3

اجمع

$\frac{1}{5}$ و

$2$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.8.4

اضرب

$\frac{3}{5} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.4.1

اجمع

$\frac{3}{5}$ و

$- 1$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{3 \cdot - 1}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.8.4.2

اضرب

$3$ في

$- 1$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{- 3}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.8.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.8.6

اضرب

$\frac{3}{5}$ في

$1$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}]$

خطوة 4

استخدم تحويل التماثل للعثور على قيمة المصفوفة القطرية

$D$ .

$D = P^{- 1} A P$

خطوة 5

استبدال المصفوفات.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

يمكن ضرب مصفوفتين إذا كان عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى يساوي عدد الصفوف في المصفوفة الثانية فقط. في هذه الحالة، المصفوفة الأولى هي

$2 \times 2$ والمصفوفة الثانية هي

$2 \times 2$ .

خطوة 6.1.2

اضرب كل صف في المصفوفة الأولى في كل عمود في المصفوفة الثانية.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} \cdot 4 + \frac{2}{5} \cdot 3 & \frac{3}{5} \cdot 2 + \frac{2}{5} \cdot 3 \\ - \frac{3}{5} \cdot 4 + \frac{3}{5} \cdot 3 & - \frac{3}{5} \cdot 2 + \frac{3}{5} \cdot 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

خطوة 6.1.3

بسّط كل عنصر من عناصر المصفوفة بضرب جميع العبارات.

$[\begin{array}{c} \frac{18}{5} & \frac{12}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

خطوة 6.2

اضرب

$[\begin{array}{c} \frac{18}{5} & \frac{12}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

$2 \times 2$ والمصفوفة الثانية هي

$2 \times 2$ .

خطوة 6.2.2

اضرب كل صف في المصفوفة الأولى في كل عمود في المصفوفة الثانية.

$[\begin{array}{c} \frac{18}{5} \cdot 1 + \frac{12}{5} \cdot 1 & \frac{18}{5} (- \frac{2}{3}) + \frac{12}{5} \cdot 1 \\ - \frac{3}{5} \cdot 1 + \frac{3}{5} \cdot 1 & - \frac{3}{5} (- \frac{2}{3}) + \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 6.2.3

بسّط كل عنصر من عناصر المصفوفة بضرب جميع العبارات.

$[\begin{array}{c} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

إدخال مسألتك