الجبر الخطي الأمثلة

B = [\begin{matrix} 1 & 2 3 & 4 \end{matrix}]

$B = [\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}]$

خطوة 1

أوجِد القيم الذاتية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة

p (λ)

$p (λ)$ .

p (λ) = محدِّد (A - λ I_{2})

$p (λ) = محدِّد (A - λ I_{2})$

خطوة 1.2

المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم

2

$2$ هي المصفوفة المربعة

2 \times 2

$2 \times 2$ التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 1.3

عوّض بالقيم المعروفة في

p (λ) = محدِّد (A - λ I_{2})

$p (λ) = محدِّد (A - λ I_{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة

A

$A$ التي تساوي

[\begin{matrix} 1 & 2 3 & 4 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}]$ .

p (λ) = محدِّد ([\begin{matrix} 1 & 2 3 & 4 \end{matrix}] - λ I_{2})

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] - λ I_{2})$

خطوة 1.3.2

عوّض بقيمة

I_{2}

$I_{2}$ التي تساوي

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

p (λ) = محدِّد ([\begin{matrix} 1 & 2 3 & 4 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = محدِّد ([\begin{matrix} 1 & 2 3 & 4 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

اضرب

- λ

$- λ$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

p (λ) = محدِّد ([\begin{matrix} 1 & 2 3 & 4 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1

اضرب

- 1

$- 1$ في

1

$1$ .

p (λ) = محدِّد ([\begin{matrix} 1 & 2 3 & 4 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.2

اضرب

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.2.1

اضرب

0

$0$ في

- 1

$- 1$ .

p (λ) = محدِّد ([\begin{matrix} 1 & 2 3 & 4 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 λ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.2.2

اضرب

0

$0$ في

λ

$λ$ .

p (λ) = محدِّد ([\begin{matrix} 1 & 2 3 & 4 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = محدِّد ([\begin{matrix} 1 & 2 3 & 4 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.3

اضرب

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.3.1

اضرب

0

$0$ في

- 1

$- 1$ .

p (λ) = محدِّد ([\begin{matrix} 1 & 2 3 & 4 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 λ & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.3.2

اضرب

0

$0$ في

λ

$λ$ .

p (λ) = محدِّد ([\begin{matrix} 1 & 2 3 & 4 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = محدِّد ([\begin{matrix} 1 & 2 3 & 4 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.4

اضرب

- 1

$- 1$ في

1

$1$ .

p (λ) = محدِّد ([\begin{matrix} 1 & 2 3 & 4 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = محدِّد ([\begin{matrix} 1 & 2 3 & 4 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = محدِّد ([\begin{matrix} 1 & 2 3 & 4 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

خطوة 1.4.2

اجمع العناصر المتناظرة.

p (λ) = محدِّد [\begin{matrix} 1 - λ & 2 + 0 3 + 0 & 4 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3

بسّط كل عنصر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

أضف

$2$ و

$0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.2

أضف

$3$ و

$0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 4 - λ \end{array}]$

خطوة 1.5

أوجِد المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة

$2 \times 2$ باستخدام القاعدة

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 - λ) - 3 \cdot 2$

خطوة 1.5.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1.1

وسّع

$(1 - λ) (4 - λ)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 1 (4 - λ) - λ (4 - λ) - 3 \cdot 2$

خطوة 1.5.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 1 \cdot 4 + 1 (- λ) - λ (4 - λ) - 3 \cdot 2$

خطوة 1.5.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 1 \cdot 4 + 1 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

خطوة 1.5.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1.2.1.1

اضرب

$4$ في

$1$ .

$p (λ) = 4 + 1 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

خطوة 1.5.2.1.2.1.2

اضرب

$- λ$ في

$1$ .

$p (λ) = 4 - λ - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

خطوة 1.5.2.1.2.1.3

اضرب

$4$ في

$- 1$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

خطوة 1.5.2.1.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2$

خطوة 1.5.2.1.2.1.5

اضرب

$λ$ في

$λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1.2.1.5.1

انقُل

$λ$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2$

خطوة 1.5.2.1.2.1.5.2

اضرب

$λ$ في

$λ$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

خطوة 1.5.2.1.2.1.6

اضرب

$- 1$ في

$- 1$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

خطوة 1.5.2.1.2.1.7

اضرب

$λ^{2}$ في

$1$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

خطوة 1.5.2.1.2.2

اطرح

$4 λ$ من

$- λ$ .

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

خطوة 1.5.2.1.3

اضرب

$- 3$ في

$2$ .

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 6$

خطوة 1.5.2.2

اطرح

$6$ من

$4$ .

$p (λ) = - 5 λ + λ^{2} - 2$

خطوة 1.5.2.3

أعِد ترتيب

$- 5 λ$ و

$λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ - 2$

خطوة 1.6

عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ

$0$ لإيجاد القيم الذاتية

$λ$ .

$λ^{2} - 5 λ - 2 = 0$

خطوة 1.7

أوجِد قيمة

$λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 1.7.2

عوّض بقيم

$a = 1$ و

$b = - 5$ و

$c = - 2$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة

$λ$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1.1

ارفع

$- 5$ إلى القوة

$2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.7.3.1.2

اضرب

$- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1.2.1

اضرب

$- 4$ في

$1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.7.3.1.2.2

اضرب

$- 4$ في

$- 2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.7.3.1.3

أضف

$25$ و

$8$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.7.3.2

اضرب

$2$ في

$1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}$

خطوة 1.7.4

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}, \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

خطوة 2

المتجه الذاتي يساوي الفضاء الصفري للمصفوفة مطروحًا منه القيمة الذاتية مضروبًا في المصفوفة المتطابقة حيث أن

$N$ هو الفضاء الصفري و

$I$ هو المصفوفة المتطابقة.

$ε_{B} = N (B - λ I_{2})$

خطوة 3

أوجِد المتجه الذاتي باستخدام القيمة الذاتية

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

اضرب

$- \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1

اضرب

$- 1$ في

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.2

اضرب

$- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.2.1

اضرب

$0$ في

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.2.2

اضرب

$0$ في

$\frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.3

اضرب

$- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.3.1

اضرب

$0$ في

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.3.2

اضرب

$0$ في

$\frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.4

اضرب

$- 1$ في

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 3.2.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 3.2.3

بسّط كل عنصر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

اكتب

$1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 3.2.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$[\begin{array}{c} \frac{2 - (5 + \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 3.2.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 1 \cdot 5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 3.2.3.3.2

اضرب

$- 1$ في

$5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 3.2.3.3.3

اطرح

$5$ من

$2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 3 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 3.2.3.4

أعِد كتابة

$- 3$ بالصيغة

$- 1 (3)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 3.2.3.5

أخرِج العامل

$- 1$ من

$- \sqrt{33}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) - (\sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 3.2.3.6

أخرِج العامل

$- 1$ من

$- 1 (3) - (\sqrt{33})$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3 + \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 3.2.3.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 3.2.3.8

أضف

$2$ و

$0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 3.2.3.9

أضف

$3$ و

$0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 3.2.3.10

لكتابة

$4$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 3.2.3.11

اجمع

$4$ و

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 3.2.3.12

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{4 \cdot 2 - (5 + \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

خطوة 3.2.3.13

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.13.1

اضرب

$4$ في

$2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - (5 + \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

خطوة 3.2.3.13.2

طبّق خاصية التوزيع.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 1 \cdot 5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 3.2.3.13.3

اضرب

$- 1$ في

$5$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 3.2.3.13.4

اطرح

$5$ من

$8$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 3.3

أوجِد الفضاء الصفري عندما تكون

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اكتب ف صورة مصفوفة موسّعة لـ

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 & 0 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اضرب كل عنصر من

$R_{1}$ في

$- \frac{2}{3 + \sqrt{33}}$ لجعل الإدخال في

$1, 1$ يساوي

$1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

اضرب كل عنصر من

$R_{1}$ في

$- \frac{2}{3 + \sqrt{33}}$ لجعل الإدخال في

$1, 1$ يساوي

$1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3 + \sqrt{33}} (- \frac{3 + \sqrt{33}}{2}) & - \frac{2}{3 + \sqrt{33}} \cdot 2 & - \frac{2}{3 + \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.1.2

بسّط

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.2

احسب العملية الصفية

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ لجعل الإدخال في

$2, 1$ يساوي

$0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

احسب العملية الصفية

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ لجعل الإدخال في

$2, 1$ يساوي

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} - 3 \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.2.2

بسّط

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.3

استخدِم مصفوفة النتيجة لبيان الحل النهائي لنظام المعادلات.

$x + \frac{3 - \sqrt{33}}{6} y = 0$

$0 = 0$

خطوة 3.3.4

اكتب متجه الحل بالحل بدلالة المتغيرات الحرة في كل صف.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{y}{2} + \frac{\sqrt{33} y}{6} \\ y \end{array}]$

خطوة 3.3.5

اكتب الحل في صورة مجموعة خطية من المتجهات.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]$

خطوة 3.3.6

اكتب في صورة مجموعة حل.

${y [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

خطوة 3.3.7

الحل هو مجموعة المتجهات التي تنشأ نتيجة المتغيرات الحرة للنظام.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

خطوة 4

أوجِد المتجه الذاتي باستخدام القيمة الذاتية

$λ = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اضرب

$- \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.1

اضرب

$- 1$ في

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.2

اضرب

$- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.2.1

اضرب

$0$ في

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.2.2

اضرب

$0$ في

$\frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.3

اضرب

$- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.3.1

اضرب

$0$ في

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.3.2

اضرب

$0$ في

$\frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.4

اضرب

$- 1$ في

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3

بسّط كل عنصر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

اكتب

$1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$[\begin{array}{c} \frac{2 - (5 - \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 1 \cdot 5 - - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.3.2

اضرب

$- 1$ في

$5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 5 - - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.3.3

اضرب

$- - \sqrt{33}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.3.3.1

اضرب

$- 1$ في

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 5 + 1 \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.3.3.2

اضرب

$\sqrt{33}$ في

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.3.4

اطرح

$5$ من

$2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 3 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.4

أعِد كتابة

$- 3$ بالصيغة

$- 1 (3)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.5

أخرِج العامل

$- 1$ من

$\sqrt{33}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) - 1 (- \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.6

أخرِج العامل

$- 1$ من

$- 1 (3) - 1 (- \sqrt{33})$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3 - \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.8

أضف

$2$ و

$0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.9

أضف

$3$ و

$0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.10

لكتابة

$4$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.11

اجمع

$4$ و

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.12

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{4 \cdot 2 - (5 - \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.13

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.13.1

اضرب

$4$ في

$2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - (5 - \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.13.2

طبّق خاصية التوزيع.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 1 \cdot 5 - - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.13.3

اضرب

$- 1$ في

$5$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 5 - - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.13.4

اضرب

$- - \sqrt{33}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.13.4.1

اضرب

$- 1$ في

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 5 + 1 \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.13.4.2

اضرب

$\sqrt{33}$ في

$1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.13.5

اطرح

$5$ من

$8$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.3

أوجِد الفضاء الصفري عندما تكون

$λ = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اكتب ف صورة مصفوفة موسّعة لـ

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 & 0 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

اضرب كل عنصر من

$R_{1}$ في

$- \frac{2}{3 - \sqrt{33}}$ لجعل الإدخال في

$1, 1$ يساوي

$1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

اضرب كل عنصر من

$R_{1}$ في

$- \frac{2}{3 - \sqrt{33}}$ لجعل الإدخال في

$1, 1$ يساوي

$1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3 - \sqrt{33}} (- \frac{3 - \sqrt{33}}{2}) & - \frac{2}{3 - \sqrt{33}} \cdot 2 & - \frac{2}{3 - \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.1.2

بسّط

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.2

احسب العملية الصفية

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ لجعل الإدخال في

$2, 1$ يساوي

$0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

احسب العملية الصفية

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ لجعل الإدخال في

$2, 1$ يساوي

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} - 3 \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.2.2

بسّط

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.3

استخدِم مصفوفة النتيجة لبيان الحل النهائي لنظام المعادلات.

$x + \frac{3 + \sqrt{33}}{6} y = 0$

$0 = 0$

خطوة 4.3.4

اكتب متجه الحل بالحل بدلالة المتغيرات الحرة في كل صف.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{y}{2} - \frac{\sqrt{33} y}{6} \\ y \end{array}]$

خطوة 4.3.5

اكتب الحل في صورة مجموعة خطية من المتجهات.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]$

خطوة 4.3.6

اكتب في صورة مجموعة حل.

${y [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

خطوة 4.3.7

الحل هو مجموعة المتجهات التي تنشأ نتيجة المتغيرات الحرة للنظام.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

خطوة 5

الفضاء الذاتي لـ

$B$ هو مجموع فضاء المتجهات لكل قيمة ذاتية.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

إدخال مسألتك