الأمثلة
x-y=4x−y=4 , 4x-y=-54x−y=−5
خطوة 1
لإيجاد تقاطع الخط المار بالنقطة (p,q,r)(p,q,r) والعمودي على المستوى P1P1 ax+by+cz=dax+by+cz=d والمستوى P2P2 ex+fy+gz=hex+fy+gz=h:
1. أوجِد المتجهات العادية للمستوى P1P1 والمستوى P2P2، حيث تكون المتجهات العادية n1=⟨a,b,c⟩n1=⟨a,b,c⟩ وn2=⟨e,f,g⟩n2=⟨e,f,g⟩. تحقق لمعرفة ما إذا كان حاصل الضرب النقطي هو 0.
2. قم بإنشاء مجموعة من المعادلات الوسطية، مثل x=p+atx=p+at وy=q+bty=q+bt وz=r+ctz=r+ct.
3. استبدِل هذه المعادلات بمعادلة المستوى P2P2، مثل e(p+at)+f(q+bt)+g(r+ct)=he(p+at)+f(q+bt)+g(r+ct)=h وأوجِد الحل لـ tt.
4. باستخدام قيمة tt، أوجِد قيمة tt في المعادلات الوسطية x=p+atx=p+at وy=q+bty=q+bt وz=r+ctz=r+ct لإيجاد التقاطع (x,y,z)(x,y,z).
خطوة 2
خطوة 2.1
P1P1 هو x-y=4x−y=4. أوجِد المتجه العادي n1=⟨a,b,c⟩n1=⟨a,b,c⟩ من معادلة السطح المستوي بالصيغة ax+by+cz=dax+by+cz=d.
n1=⟨1,-1,0⟩n1=⟨1,−1,0⟩
خطوة 2.2
P2P2 هو 4x-y=-54x−y=−5. أوجِد المتجه العادي n2=⟨e,f,g⟩n2=⟨e,f,g⟩ من معادلة السطح المستوي بالصيغة ex+fy+gz=hex+fy+gz=h.
n2=⟨4,-1,0⟩n2=⟨4,−1,0⟩
خطوة 2.3
احسب حاصل الضرب القياسي لـ n1n1 وn2n2 عن طريق جمع نواتج قيم xx وyy وzz المقابلة في المتجهات العادية.
1⋅4-1⋅-1+0⋅01⋅4−1⋅−1+0⋅0
خطوة 2.4
بسّط حاصل الضرب القياسي.
خطوة 2.4.1
احذِف الأقواس.
1⋅4-1⋅-1+0⋅01⋅4−1⋅−1+0⋅0
خطوة 2.4.2
بسّط كل حد.
خطوة 2.4.2.1
اضرب 44 في 11.
4-1⋅-1+0⋅04−1⋅−1+0⋅0
خطوة 2.4.2.2
اضرب -1−1 في -1−1.
4+1+0⋅04+1+0⋅0
خطوة 2.4.2.3
اضرب 00 في 00.
4+1+04+1+0
4+1+04+1+0
خطوة 2.4.3
بسّط بجمع الأعداد.
خطوة 2.4.3.1
أضف 44 و11.
5+05+0
خطوة 2.4.3.2
أضف 55 و00.
55
55
55
55
خطوة 3
بعد ذلك، أنشئ مجموعة من المعادلات الوسطية x=p+atx=p+at وy=q+bty=q+bt وz=r+ctz=r+ct باستخدام نقطة الأصل (0,0,0)(0,0,0) للنقطة (p,q,r)(p,q,r) والقيم من المتجه العمودي 55 للقيم aa وbb وcc. تمثِّل هذه المجموعة من المعادلات الوسطية الخط المارّ بالأصل المتعامد على P1P1 x-y=4x−y=4.
x=0+1⋅tx=0+1⋅t
y=0+-1⋅ty=0+−1⋅t
z=0+0⋅tz=0+0⋅t
خطوة 4
استبدِل العبارة بـ xx وyy وzz وعوّض بقيمها في المعادلة P2P2 4x-y=-54x−y=−5.
4(0+1⋅t)-(0-1⋅t)=-54(0+1⋅t)−(0−1⋅t)=−5
خطوة 5
خطوة 5.1
بسّط 4(0+1⋅t)-(0-1⋅t)4(0+1⋅t)−(0−1⋅t).
خطوة 5.1.1
جمّع الحدود المتعاكسة في 4(0+1⋅t)-(0-1⋅t)4(0+1⋅t)−(0−1⋅t).
خطوة 5.1.1.1
أضف 00 و1⋅t1⋅t.
4(1⋅t)-(0-1⋅t)=-54(1⋅t)−(0−1⋅t)=−5
خطوة 5.1.1.2
اطرح 1⋅t1⋅t من 00.
4(1⋅t)-(-1⋅t)=-54(1⋅t)−(−1⋅t)=−5
4(1⋅t)-(-1⋅t)=-54(1⋅t)−(−1⋅t)=−5
خطوة 5.1.2
بسّط كل حد.
خطوة 5.1.2.1
اضرب tt في 11.
4t-(-1⋅t)=-54t−(−1⋅t)=−5
خطوة 5.1.2.2
أعِد كتابة -1t−1t بالصيغة -t−t.
4t--t=-54t−−t=−5
خطوة 5.1.2.3
اضرب --t−−t.
خطوة 5.1.2.3.1
اضرب -1−1 في -1−1.
4t+1t=-54t+1t=−5
خطوة 5.1.2.3.2
اضرب tt في 11.
4t+t=-54t+t=−5
4t+t=-54t+t=−5
4t+t=-54t+t=−5
خطوة 5.1.3
أضف 4t4t وtt.
5t=-55t=−5
5t=-55t=−5
خطوة 5.2
اقسِم كل حد في 5t=-55t=−5 على 55 وبسّط.
خطوة 5.2.1
اقسِم كل حد في 5t=-55t=−5 على 55.
5t5=-555t5=−55
خطوة 5.2.2
بسّط الطرف الأيسر.
خطوة 5.2.2.1
ألغِ العامل المشترك لـ 5.
خطوة 5.2.2.1.1
ألغِ العامل المشترك.
5t5=-55
خطوة 5.2.2.1.2
اقسِم t على 1.
t=-55
t=-55
t=-55
خطوة 5.2.3
بسّط الطرف الأيمن.
خطوة 5.2.3.1
اقسِم -5 على 5.
t=-1
t=-1
t=-1
t=-1
خطوة 6
خطوة 6.1
أوجِد قيمة x في المعادلة.
خطوة 6.1.1
احذِف الأقواس.
x=0+1⋅(-1)
خطوة 6.1.2
بسّط 0+1⋅(-1).
خطوة 6.1.2.1
اضرب -1 في 1.
x=0-1
خطوة 6.1.2.2
اطرح 1 من 0.
x=-1
x=-1
x=-1
خطوة 6.2
أوجِد قيمة y في المعادلة.
خطوة 6.2.1
احذِف الأقواس.
y=0-1⋅-1
خطوة 6.2.2
بسّط 0-1⋅-1.
خطوة 6.2.2.1
اضرب -1 في -1.
y=0+1
خطوة 6.2.2.2
أضف 0 و1.
y=1
y=1
y=1
خطوة 6.3
أوجِد قيمة z في المعادلة.
خطوة 6.3.1
احذِف الأقواس.
z=0+0⋅(-1)
خطوة 6.3.2
بسّط 0+0⋅(-1).
خطوة 6.3.2.1
اضرب 0 في -1.
z=0+0
خطوة 6.3.2.2
أضف 0 و0.
z=0
z=0
z=0
خطوة 6.4
المعادلات الوسطية التي تم إيجاد بها قيم x وy وz.
x=-1
y=1
z=0
x=-1
y=1
z=0
خطوة 7
باستخدام القيم المحسوبة لـ x وy وz، تم إيجاد أن نقطة التقاطع هي (-1,1,0).
(-1,1,0)
