الرياضيات المتناهية الأمثلة

y = 3 x + z - 2

$y = 3 x + z - 2$ ,

z = 3 x + 4

$z = 3 x + 4$ ,

y = 5 z

$y = 5 z$

خطوة 1

Move all of the variables to the left side of each equation.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اطرح

3 x

$3 x$ من كلا المتعادلين.

y - 3 x = z - 2

$y - 3 x = z - 2$

z = 3 x + 4

$z = 3 x + 4$

y = 5 z

$y = 5 z$

خطوة 1.1.2

اطرح

z

$z$ من كلا المتعادلين.

y - 3 x - z = - 2

$y - 3 x - z = - 2$

z = 3 x + 4

$z = 3 x + 4$

y = 5 z

$y = 5 z$

y - 3 x - z = - 2

$y - 3 x - z = - 2$

z = 3 x + 4

$z = 3 x + 4$

y = 5 z

$y = 5 z$

خطوة 1.2

أعِد ترتيب

y

$y$ و

- 3 x

$- 3 x$ .

- 3 x + y - z = - 2

$- 3 x + y - z = - 2$

z = 3 x + 4

$z = 3 x + 4$

y = 5 z

$y = 5 z$

خطوة 1.3

اطرح

3 x

$3 x$ من كلا المتعادلين.

- 3 x + y - z = - 2

$- 3 x + y - z = - 2$

z - 3 x = 4

$z - 3 x = 4$

y = 5 z

$y = 5 z$

خطوة 1.4

أعِد ترتيب

z

$z$ و

- 3 x

$- 3 x$ .

- 3 x + y - z = - 2

$- 3 x + y - z = - 2$

- 3 x + z = 4

$- 3 x + z = 4$

y = 5 z

$y = 5 z$

خطوة 1.5

اطرح

5 z

$5 z$ من كلا المتعادلين.

- 3 x + y - z = - 2

$- 3 x + y - z = - 2$

- 3 x + z = 4

$- 3 x + z = 4$

y - 5 z = 0

$y - 5 z = 0$

- 3 x + y - z = - 2

$- 3 x + y - z = - 2$

- 3 x + z = 4

$- 3 x + z = 4$

y - 5 z = 0

$y - 5 z = 0$

خطوة 2

مثّل سلسلة المعادلات في شكل مصفوفة.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 3 & 1 & - 1 - 3 & 0 & 1 0 & 1 & - 5 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x y z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 2 40 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 3 & 1 & - 1 \\ - 3 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 5 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 \\ 4 \\ 0 \end{array}]$

خطوة 3

Find the determinant of the coefficient matrix

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 3 & 1 & - 1 - 3 & 0 & 1 0 & 1 & - 5 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 3 & 1 & - 1 \\ - 3 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 5 \end{array}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

Write

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 3 & 1 & - 1 - 3 & 0 & 1 0 & 1 & - 5 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 3 & 1 & - 1 \\ - 3 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 5 \end{array}]$ in determinant notation.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 1 & - 1 - 3 & 0 & 1 0 & 1 & - 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 3 & 1 & - 1 \\ - 3 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 5 \end{array} |$

خطوة 3.2

Choose the row or column with the most

0

$0$ elements. If there are no

0

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column

1

$1$ by its cofactor and add.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

Consider the corresponding sign chart.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

خطوة 3.2.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

-

$-$ position on the sign chart.

خطوة 3.2.3

The minor for

a_{11}

$a_{11}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 1 & - 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & - 5 \end{array} |$

خطوة 3.2.4

Multiply element

a_{11}

$a_{11}$ by its cofactor.

- 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 1 & - 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$- 3 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & - 5 \end{array} |$

خطوة 3.2.5

The minor for

a_{21}

$a_{21}$ is the determinant with row

2

$2$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 1 & - 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} |$

خطوة 3.2.6

Multiply element

a_{21}

$a_{21}$ by its cofactor.

3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 1 & - 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} |$

خطوة 3.2.7

The minor for

a_{31}

$a_{31}$ is the determinant with row

3

$3$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 0 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{array} |$

خطوة 3.2.8

Multiply element

a_{31}

$a_{31}$ by its cofactor.

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 0 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{array} |$

خطوة 3.2.9

Add the terms together.

- 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 1 & - 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 1 & - 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 0 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$- 3 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{array} |$

- 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 1 & - 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 1 & - 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 0 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$- 3 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{array} |$

خطوة 3.3

اضرب

0

$0$ في

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 0 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{array} |$ .

- 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 1 & - 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 1 & - 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$- 3 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | + 0$

خطوة 3.4

احسِب قيمة

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 1 & - 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & - 5 \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة

2 \times 2

$2 \times 2$ باستخدام القاعدة

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

- 3 (0 \cdot - 5 - 1 \cdot 1) + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 1 & - 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$- 3 (0 \cdot - 5 - 1 \cdot 1) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | + 0$

خطوة 3.4.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

اضرب

0

$0$ في

- 5

$- 5$ .

- 3 (0 - 1 \cdot 1) + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 1 & - 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$- 3 (0 - 1 \cdot 1) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | + 0$

خطوة 3.4.2.1.2

اضرب

- 1

$- 1$ في

1

$1$ .

- 3 (0 - 1) + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 1 & - 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$- 3 (0 - 1) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | + 0$

- 3 (0 - 1) + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 1 & - 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$- 3 (0 - 1) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | + 0$

خطوة 3.4.2.2

اطرح

1

$1$ من

0

$0$ .

- 3 \cdot - 1 + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 1 & - 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$- 3 \cdot - 1 + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | + 0$

- 3 \cdot - 1 + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 1 & - 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$- 3 \cdot - 1 + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | + 0$

- 3 \cdot - 1 + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 1 & - 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$- 3 \cdot - 1 + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | + 0$

خطوة 3.5

احسِب قيمة

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 1 & - 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة

2 \times 2

$2 \times 2$ باستخدام القاعدة

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

- 3 \cdot - 1 + 3 (1 \cdot - 5 - 1 \cdot - 1) + 0

$- 3 \cdot - 1 + 3 (1 \cdot - 5 - 1 \cdot - 1) + 0$

خطوة 3.5.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.1

اضرب

- 5

$- 5$ في

1

$1$ .

- 3 \cdot - 1 + 3 (- 5 - 1 \cdot - 1) + 0

$- 3 \cdot - 1 + 3 (- 5 - 1 \cdot - 1) + 0$

خطوة 3.5.2.1.2

اضرب

- 1

$- 1$ في

- 1

$- 1$ .

- 3 \cdot - 1 + 3 (- 5 + 1) + 0

$- 3 \cdot - 1 + 3 (- 5 + 1) + 0$

- 3 \cdot - 1 + 3 (- 5 + 1) + 0

$- 3 \cdot - 1 + 3 (- 5 + 1) + 0$

خطوة 3.5.2.2

أضف

- 5

$- 5$ و

1

$1$ .

- 3 \cdot - 1 + 3 \cdot - 4 + 0

$- 3 \cdot - 1 + 3 \cdot - 4 + 0$

- 3 \cdot - 1 + 3 \cdot - 4 + 0

$- 3 \cdot - 1 + 3 \cdot - 4 + 0$

- 3 \cdot - 1 + 3 \cdot - 4 + 0

$- 3 \cdot - 1 + 3 \cdot - 4 + 0$

خطوة 3.6

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.1

اضرب

- 3

$- 3$ في

- 1

$- 1$ .

3 + 3 \cdot - 4 + 0

$3 + 3 \cdot - 4 + 0$

خطوة 3.6.1.2

اضرب

3

$3$ في

- 4

$- 4$ .

3 - 12 + 0

$3 - 12 + 0$

3 - 12 + 0

$3 - 12 + 0$

خطوة 3.6.2

اطرح

12

$12$ من

3

$3$ .

- 9 + 0

$- 9 + 0$

خطوة 3.6.3

أضف

- 9

$- 9$ و

0

$0$ .

- 9

$- 9$

- 9

$- 9$

D = - 9

$D = - 9$

خطوة 4

Since the determinant is not

0

$0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

خطوة 5

Find the value of

x

$x$ by Cramer's Rule, which states that

x = \frac{D_{x}}{D}

$x = \frac{D_{x}}{D}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

Replace column

1

$1$ of the coefficient matrix that corresponds to the

x

$x$ -coefficients of the system with

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 2 40 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 2 \\ 4 \\ 0 \end{array}]$ .

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 2 & 1 & - 1 4 & 0 & 1 0 & 1 & - 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 2 & 1 & - 1 \\ 4 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 5 \end{array} |$

خطوة 5.2

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

Choose the row or column with the most

0

$0$ elements. If there are no

0

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column

1

$1$ by its cofactor and add.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

خطوة 5.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

-

$-$ position on the sign chart.

خطوة 5.2.1.3

The minor for

a_{11}

$a_{11}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 1 & - 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & - 5 \end{array} |$

خطوة 5.2.1.4

Multiply element

a_{11}

$a_{11}$ by its cofactor.

- 2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 1 & - 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$- 2 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & - 5 \end{array} |$

خطوة 5.2.1.5

The minor for

a_{21}

$a_{21}$ is the determinant with row

2

$2$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 1 & - 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} |$

خطوة 5.2.1.6

Multiply element

a_{21}

$a_{21}$ by its cofactor.

- 4 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 1 & - 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$- 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} |$

خطوة 5.2.1.7

The minor for

a_{31}

$a_{31}$ is the determinant with row

3

$3$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 0 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{array} |$

خطوة 5.2.1.8

Multiply element

a_{31}

$a_{31}$ by its cofactor.

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 0 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{array} |$

خطوة 5.2.1.9

Add the terms together.

$- 2 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{array} |$

خطوة 5.2.2

اضرب

$0$ في

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{array} |$ .

$- 2 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | + 0$

خطوة 5.2.3

احسِب قيمة

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & - 5 \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة

$2 \times 2$ باستخدام القاعدة

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 2 (0 \cdot - 5 - 1 \cdot 1) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | + 0$

خطوة 5.2.3.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.2.1.1

اضرب

$0$ في

$- 5$ .

$- 2 (0 - 1 \cdot 1) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | + 0$

خطوة 5.2.3.2.1.2

اضرب

$- 1$ في

$1$ .

$- 2 (0 - 1) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | + 0$

خطوة 5.2.3.2.2

اطرح

$1$ من

$0$ .

$- 2 \cdot - 1 - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | + 0$

خطوة 5.2.4

احسِب قيمة

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة

$2 \times 2$ باستخدام القاعدة

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 2 \cdot - 1 - 4 (1 \cdot - 5 - 1 \cdot - 1) + 0$

خطوة 5.2.4.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.2.1.1

اضرب

$- 5$ في

$1$ .

$- 2 \cdot - 1 - 4 (- 5 - 1 \cdot - 1) + 0$

خطوة 5.2.4.2.1.2

اضرب

$- 1$ في

$- 1$ .

$- 2 \cdot - 1 - 4 (- 5 + 1) + 0$

خطوة 5.2.4.2.2

أضف

$- 5$ و

$1$ .

$- 2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 4 + 0$

خطوة 5.2.5

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.1.1

اضرب

$- 2$ في

$- 1$ .

$2 - 4 \cdot - 4 + 0$

خطوة 5.2.5.1.2

اضرب

$- 4$ في

$- 4$ .

$2 + 16 + 0$

خطوة 5.2.5.2

أضف

$2$ و

$16$ .

$18 + 0$

خطوة 5.2.5.3

أضف

$18$ و

$0$ .

$18$

$D_{x} = 18$

خطوة 5.3

Use the formula to solve for

$x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

خطوة 5.4

Substitute

$- 9$ for

$D$ and

$18$ for

$D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{18}{- 9}$

خطوة 5.5

اقسِم

$18$ على

$- 9$ .

$x = - 2$

خطوة 6

Find the value of

$y$ by Cramer's Rule, which states that

$y = \frac{D_{y}}{D}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

Replace column

$2$ of the coefficient matrix that corresponds to the

$y$ -coefficients of the system with

$[\begin{array}{c} - 2 \\ 4 \\ 0 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 3 & - 2 & - 1 \\ - 3 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & - 5 \end{array} |$

خطوة 6.2

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$3$ by its cofactor and add.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

خطوة 6.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

خطوة 6.2.1.3

The minor for

$a_{31}$ is the determinant with row

$3$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 4 & 1 \end{array} |$

خطوة 6.2.1.4

Multiply element

$a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 4 & 1 \end{array} |$

خطوة 6.2.1.5

The minor for

$a_{32}$ is the determinant with row

$3$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & - 1 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

خطوة 6.2.1.6

Multiply element

$a_{32}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 3 & - 1 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

خطوة 6.2.1.7

The minor for

$a_{33}$ is the determinant with row

$3$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 3 & 4 \end{array} |$

خطوة 6.2.1.8

Multiply element

$a_{33}$ by its cofactor.

$- 5 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 3 & 4 \end{array} |$

خطوة 6.2.1.9

Add the terms together.

$0 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 4 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 3 & - 1 \\ - 3 & 1 \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 3 & 4 \end{array} |$

خطوة 6.2.2

اضرب

$0$ في

$| \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 4 & 1 \end{array} |$ .

$0 + 0 | \begin{array}{c} - 3 & - 1 \\ - 3 & 1 \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 3 & 4 \end{array} |$

خطوة 6.2.3

اضرب

$0$ في

$| \begin{array}{c} - 3 & - 1 \\ - 3 & 1 \end{array} |$ .

$0 + 0 - 5 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 3 & 4 \end{array} |$

خطوة 6.2.4

احسِب قيمة

$| \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 3 & 4 \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.4.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة

$2 \times 2$ باستخدام القاعدة

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 + 0 - 5 (- 3 \cdot 4 - (- 3 \cdot - 2))$

خطوة 6.2.4.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.4.2.1.1

اضرب

$- 3$ في

$4$ .

$0 + 0 - 5 (- 12 - (- 3 \cdot - 2))$

خطوة 6.2.4.2.1.2

اضرب

$- (- 3 \cdot - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.4.2.1.2.1

اضرب

$- 3$ في

$- 2$ .

$0 + 0 - 5 (- 12 - 1 \cdot 6)$

خطوة 6.2.4.2.1.2.2

اضرب

$- 1$ في

$6$ .

$0 + 0 - 5 (- 12 - 6)$

خطوة 6.2.4.2.2

اطرح

$6$ من

$- 12$ .

$0 + 0 - 5 \cdot - 18$

خطوة 6.2.5

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.5.1

اضرب

$- 5$ في

$- 18$ .

$0 + 0 + 90$

خطوة 6.2.5.2

أضف

$0$ و

$0$ .

$0 + 90$

خطوة 6.2.5.3

أضف

$0$ و

$90$ .

$90$

$D_{y} = 90$

خطوة 6.3

Use the formula to solve for

$y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

خطوة 6.4

Substitute

$- 9$ for

$D$ and

$90$ for

$D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{90}{- 9}$

خطوة 6.5

اقسِم

$90$ على

$- 9$ .

$y = - 10$

خطوة 7

Find the value of

$z$ by Cramer's Rule, which states that

$z = \frac{D_{z}}{D}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

Replace column

$3$ of the coefficient matrix that corresponds to the

$z$ -coefficients of the system with

$[\begin{array}{c} - 2 \\ 4 \\ 0 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 3 & 1 & - 2 \\ - 3 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} |$

خطوة 7.2

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$3$ by its cofactor and add.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

خطوة 7.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

خطوة 7.2.1.3

The minor for

$a_{31}$ is the determinant with row

$3$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 0 & 4 \end{array} |$

خطوة 7.2.1.4

Multiply element

$a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 0 & 4 \end{array} |$

خطوة 7.2.1.5

The minor for

$a_{32}$ is the determinant with row

$3$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 3 & 4 \end{array} |$

خطوة 7.2.1.6

Multiply element

$a_{32}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 3 & 4 \end{array} |$

خطوة 7.2.1.7

The minor for

$a_{33}$ is the determinant with row

$3$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ - 3 & 0 \end{array} |$

خطوة 7.2.1.8

Multiply element

$a_{33}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ - 3 & 0 \end{array} |$

خطوة 7.2.1.9

Add the terms together.

$0 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 0 & 4 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 3 & 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ - 3 & 0 \end{array} |$

خطوة 7.2.2

اضرب

$0$ في

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 0 & 4 \end{array} |$ .

$0 - 1 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 3 & 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ - 3 & 0 \end{array} |$

خطوة 7.2.3

اضرب

$0$ في

$| \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ - 3 & 0 \end{array} |$ .

$0 - 1 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 3 & 4 \end{array} | + 0$

خطوة 7.2.4

احسِب قيمة

$| \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 3 & 4 \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة

$2 \times 2$ باستخدام القاعدة

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 - 1 (- 3 \cdot 4 - (- 3 \cdot - 2)) + 0$

خطوة 7.2.4.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.2.1.1

اضرب

$- 3$ في

$4$ .

$0 - 1 (- 12 - (- 3 \cdot - 2)) + 0$

خطوة 7.2.4.2.1.2

اضرب

$- (- 3 \cdot - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.2.1.2.1

اضرب

$- 3$ في

$- 2$ .

$0 - 1 (- 12 - 1 \cdot 6) + 0$

خطوة 7.2.4.2.1.2.2

اضرب

$- 1$ في

$6$ .

$0 - 1 (- 12 - 6) + 0$

خطوة 7.2.4.2.2

اطرح

$6$ من

$- 12$ .

$0 - 1 \cdot - 18 + 0$

خطوة 7.2.5

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.5.1

اضرب

$- 1$ في

$- 18$ .

$0 + 18 + 0$

خطوة 7.2.5.2

أضف

$0$ و

$18$ .

$18 + 0$

خطوة 7.2.5.3

أضف

$18$ و

$0$ .

$18$

$D_{z} = 18$

خطوة 7.3

Use the formula to solve for

$z$ .

$z = \frac{D_{z}}{D}$

خطوة 7.4

Substitute

$- 9$ for

$D$ and

$18$ for

$D_{z}$ in the formula.

$z = \frac{18}{- 9}$

خطوة 7.5

اقسِم

$18$ على

$- 9$ .

$z = - 2$

خطوة 8

اسرِد الحل لسلسلة المعادلات.

$x = - 2$

$y = - 10$

$z = - 2$

إدخال مسألتك