الرياضيات المتناهية الأمثلة

y = x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30

$y = x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$

خطوة 1

عيّن قيمة

x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ بحيث تصبح مساوية لـ

0

$0$ .

x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30 = 0

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30 = 0$

خطوة 2

أوجِد قيمة

x

$x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

حلّل

x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها

p

$p$ هي عامل الثابت و

q

$q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6

$p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

خطوة 2.1.1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

\pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6

$\pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

خطوة 2.1.1.3

عوّض بـ

2

$2$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي

0

$0$ ، إذن

2

$2$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.3.1

عوّض بـ

2

$2$ في متعدد الحدود.

2^{3} - 4 \cdot 2^{2} - 11 \cdot 2 + 30

$2^{3} - 4 \cdot 2^{2} - 11 \cdot 2 + 30$

خطوة 2.1.1.3.2

ارفع

2

$2$ إلى القوة

3

$3$ .

8 - 4 \cdot 2^{2} - 11 \cdot 2 + 30

$8 - 4 \cdot 2^{2} - 11 \cdot 2 + 30$

خطوة 2.1.1.3.3

ارفع

2

$2$ إلى القوة

2

$2$ .

8 - 4 \cdot 4 - 11 \cdot 2 + 30

$8 - 4 \cdot 4 - 11 \cdot 2 + 30$

خطوة 2.1.1.3.4

اضرب

- 4

$- 4$ في

4

$4$ .

8 - 16 - 11 \cdot 2 + 30

$8 - 16 - 11 \cdot 2 + 30$

خطوة 2.1.1.3.5

اطرح

16

$16$ من

8

$8$ .

- 8 - 11 \cdot 2 + 30

$- 8 - 11 \cdot 2 + 30$

خطوة 2.1.1.3.6

اضرب

- 11

$- 11$ في

2

$2$ .

- 8 - 22 + 30

$- 8 - 22 + 30$

خطوة 2.1.1.3.7

اطرح

22

$22$ من

- 8

$- 8$ .

- 30 + 30

$- 30 + 30$

خطوة 2.1.1.3.8

أضف

- 30

$- 30$ و

30

$30$ .

0

$0$

0

$0$

خطوة 2.1.1.4

بما أن

2

$2$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على

x - 2

$x - 2$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30}{x - 2}

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30}{x - 2}$

خطوة 2.1.1.5

اقسِم

x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ على

x - 2

$x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة

0

$0$ .

x

$x$

2

$2$

x^{3}

$x^{3}$

4 x^{2}

$4 x^{2}$

11 x

$11 x$

30

$30$

خطوة 2.1.1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم

x^{3}

$x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه

x

$x$ .

					$x^{2}$ $x^{2}$
	$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$

خطوة 2.1.1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			+	$x^{3}$ $x^{3}$	-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$

خطوة 2.1.1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في

x^{3} - 2 x^{2}

$x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$

خطوة 2.1.1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

خطوة 2.1.1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$

خطوة 2.1.1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم

$- 2 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه

$x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$

خطوة 2.1.1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$4 x$

خطوة 2.1.1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في

$- 2 x^{2} + 4 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$

خطوة 2.1.1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$

خطوة 2.1.1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	+	$30$

خطوة 2.1.1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم

$- 15 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه

$x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	+	$30$

خطوة 2.1.1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	+	$30$
							-	$15 x$	+	$30$

خطوة 2.1.1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في

$- 15 x + 30$

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	+	$30$
							+	$15 x$	-	$30$

خطوة 2.1.1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	+	$30$
							+	$15 x$	-	$30$
										$0$

خطوة 2.1.1.5.16

بما أن الباقي يساوي

$0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$x^{2} - 2 x - 15$

خطوة 2.1.1.6

اكتب

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(x - 2) (x^{2} - 2 x - 15) = 0$

خطوة 2.1.2

حلّل

$x^{2} - 2 x - 15$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

حلّل

$x^{2} - 2 x - 15$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة

$x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما

$c$ ومجموعهما

$b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما

$- 15$ ومجموعهما

$- 2$ .

$- 5, 3$

خطوة 2.1.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(x - 2) ((x - 5) (x + 3)) = 0$

خطوة 2.1.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0$

خطوة 2.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي

$0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي

$0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

خطوة 2.3

عيّن قيمة العبارة

$x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ

$0$ وأوجِد قيمة

$x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

عيّن قيمة

$x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ

$0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 2.3.2

أضف

$2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة

$x - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ

$0$ وأوجِد قيمة

$x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة

$x - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ

$0$ .

$x - 5 = 0$

خطوة 2.4.2

أضف

$5$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 5$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة

$x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ

$0$ وأوجِد قيمة

$x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة

$x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ

$0$ .

$x + 3 = 0$

خطوة 2.5.2

اطرح

$3$ من كلا المتعادلين.

$x = - 3$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة

$(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0$ صحيحة. تعدد الجذر هو عدد المرات التي يظهر فيها الجذر.

$x = 2$ (تعدد

$1$ )

$x = 5$ (تعدد

$1$ )

$x = - 3$ (تعدد

$1$ )

$x = 2$ (تعدد

$1$ )

$x = 5$ (تعدد

$1$ )

$x = - 3$ (تعدد

$1$ )

خطوة 3

إدخال مسألتك