حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \sqrt{9 - x^{2}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن

$x = 3 \sin (t)$ ، حيث

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن

$d x = 3 \cos (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد

$3 \cos (t)$ موجبة.

$\int \sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط

$\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على

$3 \sin (t)$ .

$\int \sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.1.2

ارفع

$3$ إلى القوة

$2$ .

$\int \sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.1.3

اضرب

$9$ في

$- 1$ .

$\int \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.2

أخرِج العامل

$9$ من

$9$ .

$\int \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.3

أخرِج العامل

$9$ من

$- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.4

أخرِج العامل

$9$ من

$9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \sqrt{9 \cos^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.6

أعِد كتابة

$9 \cos^{2} (t)$ بالصيغة

${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اضرب

$3$ في

$3$ .

$\int 9 \cos (t) \cos (t) d t$

خطوة 2.2.2

ارفع

$\cos (t)$ إلى القوة

$1$ .

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

خطوة 2.2.3

ارفع

$\cos (t)$ إلى القوة

$1$ .

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

خطوة 2.2.4

استخدِم قاعدة القوة

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int 9 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

خطوة 2.2.5

أضف

$1$ و

$1$ .

$\int 9 \cos^{2} (t) d t$

خطوة 3

بما أن

$9$ عدد ثابت بالنسبة إلى

$t$ ، انقُل

$9$ خارج التكامل.

$9 \int \cos^{2} (t) d t$

خطوة 4

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة

$\cos^{2} (t)$ بحيث تصبح

$\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$9 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

خطوة 5

بما أن

$\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى

$t$ ، انقُل

$\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$9 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

خطوة 6

اجمع

$\frac{1}{2}$ و

$9$ .

$\frac{9}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{9}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

خطوة 8

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

خطوة 9

لنفترض أن

$u = 2 t$ . إذن

$d u = 2 d t$ ، لذا

$\frac{1}{2} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام

$u$ و

$d$

$u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

افترض أن

$u = 2 t$ . أوجِد

$\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أوجِد مشتقة

$2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

خطوة 9.1.2

بما أن

$2$ عدد ثابت بالنسبة إلى

$t$ ، إذن مشتق

$2 t$ بالنسبة إلى

$t$ يساوي

$2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 9.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن

$\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو

$n t^{n - 1}$ حيث

$n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 9.1.4

اضرب

$2$ في

$1$ .

$2$

خطوة 9.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام

$u$ و

$d u$ .

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

خطوة 10

اجمع

$\cos (u)$ و

$\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

خطوة 11

بما أن

$\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى

$u$ ، انقُل

$\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

خطوة 12

تكامل

$\cos (u)$ بالنسبة إلى

$u$ هو

$\sin (u)$ .

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

خطوة 13

بسّط.

$\frac{9}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

خطوة 14

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

استبدِل كافة حالات حدوث

$t$ بـ

$\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

خطوة 14.2

استبدِل كافة حالات حدوث

$u$ بـ

$2 t$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

خطوة 14.3

استبدِل كافة حالات حدوث

$t$ بـ

$\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

خطوة 15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

اجمع

$\frac{1}{2}$ و

$\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}) + C$

خطوة 15.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2} + C$

خطوة 15.3

اجمع

$\frac{9}{2}$ و

$\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2} + C$

خطوة 15.4

اضرب

$\frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.4.1

اضرب

$\frac{9}{2}$ في

$\frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2 \cdot 2} + C$

خطوة 15.4.2

اضرب

$2$ في

$2$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{4} + C$

خطوة 16

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{1}{3} x) + \frac{9}{4} \sin (2 \arcsin (\frac{1}{3} x)) + C$

إدخال مسألتك