حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

\int x sin (4 x) d x

$\int x \sin (4 x) d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث

u = x

$u = x$ و

d v = sin (4 x)

$d v = \sin (4 x)$ .

x (- \frac{1}{4} cos (4 x)) - \int - \frac{1}{4} cos (4 x) d x

$x (- \frac{1}{4} \cos (4 x)) - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع

cos (4 x)

$\cos (4 x)$ و

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ .

x (- \frac{cos (4 x)}{4}) - \int - \frac{1}{4} cos (4 x) d x

$x (- \frac{\cos (4 x)}{4}) - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x$

خطوة 2.2

اجمع

x

$x$ و

\frac{cos (4 x)}{4}

$\frac{\cos (4 x)}{4}$ .

- \frac{x cos (4 x)}{4} - \int - \frac{1}{4} cos (4 x) d x

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x$

- \frac{x cos (4 x)}{4} - \int - \frac{1}{4} cos (4 x) d x

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x$

خطوة 3

بما أن

- \frac{1}{4}

$- \frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى

x

$x$ ، انقُل

- \frac{1}{4}

$- \frac{1}{4}$ خارج التكامل.

- \frac{x cos (4 x)}{4} - (- \frac{1}{4} \int cos (4 x) d x)

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} - (- \frac{1}{4} \int \cos (4 x) d x)$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب

- 1

$- 1$ في

- 1

$- 1$ .

- \frac{x cos (4 x)}{4} + 1 (\frac{1}{4} \int cos (4 x) d x)

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + 1 (\frac{1}{4} \int \cos (4 x) d x)$

خطوة 4.2

اضرب

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ في

1

$1$ .

- \frac{x cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int cos (4 x) d x

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \cos (4 x) d x$

- \frac{x cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int cos (4 x) d x

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \cos (4 x) d x$

خطوة 5

لنفترض أن

u = 4 x

$u = 4 x$ . إذن

d u = 4 d x

$d u = 4 d x$ ، لذا

\frac{1}{4} d u = d x

$\frac{1}{4} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام

u

$u$ و

d

$d$

u

$u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن

u = 4 x

$u = 4 x$ . أوجِد

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة

4 x

$4 x$ .

\frac{d}{d x} [4 x]

$\frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 5.1.2

بما أن

4

$4$ عدد ثابت بالنسبة إلى

x

$x$ ، إذن مشتق

4 x

$4 x$ بالنسبة إلى

x

$x$ يساوي

4 \frac{d}{d x} [x]

$4 \frac{d}{d x} [x]$ .

4 \frac{d}{d x} [x]

$4 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ حيث

n = 1

$n = 1$ .

4 \cdot 1

$4 \cdot 1$

خطوة 5.1.4

اضرب

4

$4$ في

1

$1$ .

4

$4$

4

$4$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام

u

$u$ و

d u

$d u$ .

- \frac{x cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int cos (u) \frac{1}{4} d u

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \cos (u) \frac{1}{4} d u$

- \frac{x cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int cos (u) \frac{1}{4} d u

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \cos (u) \frac{1}{4} d u$

خطوة 6

اجمع

cos (u)

$\cos (u)$ و

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ .

- \frac{x cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \frac{cos (u)}{4} d u

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \frac{\cos (u)}{4} d u$

خطوة 7

بما أن

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى

u

$u$ ، انقُل

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

- \frac{x cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int cos (u) d u)

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \cos (u) d u)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ في

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ .

- \frac{x cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4 \cdot 4} \int cos (u) d u

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4 \cdot 4} \int \cos (u) d u$

خطوة 8.2

اضرب

4

$4$ في

4

$4$ .

- \frac{x cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} \int cos (u) d u

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} \int \cos (u) d u$

- \frac{x cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} \int cos (u) d u

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} \int \cos (u) d u$

خطوة 9

تكامل

cos (u)

$\cos (u)$ بالنسبة إلى

u

$u$ هو

sin (u)

$\sin (u)$ .

- \frac{x cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} (sin (u) + C)

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} (\sin (u) + C)$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أعِد كتابة

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} (\sin (u) + C)$ بالصيغة

$- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u) + C$ .

$- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u) + C$

خطوة 10.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اجمع

$x$ و

$\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x}{4} \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u) + C$

خطوة 10.2.2

اجمع

$\cos (4 x)$ و

$\frac{x}{4}$ .

$- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{1}{16} \sin (u) + C$

خطوة 11

استبدِل كافة حالات حدوث

$u$ بـ

$4 x$ .

$- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{1}{16} \sin (4 x) + C$

خطوة 12

أعِد ترتيب العوامل في

$\frac{\cos (4 x) x}{4}$ .

$- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (4 x) + C$

إدخال مسألتك