حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{k = 1}^{\infty} k e^{k^{2}}$

خطوة 1

تحقق مما إذا كانت الدالة متصلة عبر حدود الجمع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${k | k \in ℝ}$

خطوة 1.2

$f (k)$ متصلة على $[1, \infty)$ .

$الدالة متصلة.$

خطوة 2

تحقق مما إذا كانت الدالة موجبة فوق الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

كوّن متباينة.

$k e^{k^{2}} > 0$

خطوة 2.2

أوجِد حل المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$k = 0$

$e^{k^{2}} = 0$

خطوة 2.2.2

عيّن قيمة $k$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$k = 0$

خطوة 2.2.3

عيّن قيمة العبارة $e^{k^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $k$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

عيّن قيمة $e^{k^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$e^{k^{2}} = 0$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد قيمة $k$ في $e^{k^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{k^{2}}) = \ln (0)$

خطوة 2.2.3.2.2

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (0)$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 2.2.3.2.3

لا يوجد حل لـ $e^{k^{2}} = 0$

لا يوجد حل

خطوة 2.2.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $k e^{k^{2}} > 0$ صحيحة.

$k = 0$

خطوة 2.2.5

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$k > 0$

خطوة 3

حدد أين تتناقص الدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اكتب $k e^{k^{2}}$ في صورة دالة.

$f (k) = k e^{k^{2}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d k} [f (k) g (k)]$ هو $f (k) \frac{d}{d k} [g (k)] + g (k) \frac{d}{d k} [f (k)]$ حيث $f (k) = k$ و $g (k) = e^{k^{2}}$ .

$k \frac{d}{d k} [e^{k^{2}}] + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

خطوة 3.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d k} [f (g (k))]$ هو $f' (g (k)) g' (k)$ حيث $f (k) = e^{k}$ و $g (k) = k^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $k^{2}$ .

$k (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d k} [k^{2}]) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

خطوة 3.2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$k (e^{u} \frac{d}{d k} [k^{2}]) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

خطوة 3.2.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $k^{2}$ .

$k (e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k^{2}]) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

خطوة 3.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ هو $n k^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$k (e^{k^{2}} (2 k)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

خطوة 3.2.1.4

ارفع $k$ إلى القوة $1$ .

$k^{1} k (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

خطوة 3.2.1.5

ارفع $k$ إلى القوة $1$ .

$k^{1} k^{1} (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

خطوة 3.2.1.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$k^{1 + 1} (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

خطوة 3.2.1.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.7.1

أضف $1$ و $1$ .

$k^{2} (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

خطوة 3.2.1.7.2

انقُل $2$ إلى يسار $e^{k^{2}}$ .

$k^{2} (2 \cdot e^{k^{2}}) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

خطوة 3.2.1.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ هو $n k^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$k^{2} (2 e^{k^{2}}) + e^{k^{2}} \cdot 1$

خطوة 3.2.1.9

اضرب $e^{k^{2}}$ في $1$ .

$k^{2} (2 e^{k^{2}}) + e^{k^{2}}$

خطوة 3.2.1.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.10.1

أعِد ترتيب الحدود.

$2 e^{k^{2}} k^{2} + e^{k^{2}}$

خطوة 3.2.1.10.2

أعِد ترتيب العوامل في $2 e^{k^{2}} k^{2} + e^{k^{2}}$ .

$f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$

خطوة 3.2.2

المشتق الأول لـ $f (k)$ بالنسبة إلى $k$ هو $2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ .

$2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$

خطوة 3.3

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}} = 0$

خطوة 3.3.2

أخرِج العامل $e^{k^{2}}$ من $2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

أخرِج العامل $e^{k^{2}}$ من $2 k^{2} e^{k^{2}}$ .

$e^{k^{2}} (2 k^{2}) + e^{k^{2}} = 0$

خطوة 3.3.2.2

اضرب في $1$ .

$e^{k^{2}} (2 k^{2}) + e^{k^{2}} \cdot 1 = 0$

خطوة 3.3.2.3

أخرِج العامل $e^{k^{2}}$ من $e^{k^{2}} (2 k^{2}) + e^{k^{2}} \cdot 1$ .

$e^{k^{2}} (2 k^{2} + 1) = 0$

خطوة 3.3.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$e^{k^{2}} = 0$

$2 k^{2} + 1 = 0$

خطوة 3.3.4

عيّن قيمة العبارة $e^{k^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $k$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1

عيّن قيمة $e^{k^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$e^{k^{2}} = 0$

خطوة 3.3.4.2

أوجِد قيمة $k$ في $e^{k^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.2.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{k^{2}}) = \ln (0)$

خطوة 3.3.4.2.2

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (0)$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 3.3.4.2.3

لا يوجد حل لـ $e^{k^{2}} = 0$

لا يوجد حل

خطوة 3.3.5

عيّن قيمة العبارة $2 k^{2} + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $k$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.1

عيّن قيمة $2 k^{2} + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 k^{2} + 1 = 0$

خطوة 3.3.5.2

أوجِد قيمة $k$ في $2 k^{2} + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2 k^{2} = - 1$

خطوة 3.3.5.2.2

اقسِم كل حد في $2 k^{2} = - 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 k^{2} = - 1$ على $2$ .

$\frac{2 k^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.3.5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 k^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.3.5.2.2.2.1.2

اقسِم $k^{2}$ على $1$ .

$k^{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.3.5.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$k^{2} = - \frac{1}{2}$

خطوة 3.3.5.2.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$k = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

خطوة 3.3.5.2.4

بسّط $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.2.4.1

أعِد كتابة $- \frac{1}{2}$ بالصيغة $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.2.4.1.1

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $i^{2}$ .

$k = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

خطوة 3.3.5.2.4.1.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$k = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

خطوة 3.3.5.2.4.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$k = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

خطوة 3.3.5.2.4.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$k = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

خطوة 3.3.5.2.4.4

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

خطوة 3.3.5.2.4.5

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$k = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

خطوة 3.3.5.2.4.6

اضرب $\frac{1}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$k = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

خطوة 3.3.5.2.4.7

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.2.4.7.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

خطوة 3.3.5.2.4.7.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

خطوة 3.3.5.2.4.7.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

خطوة 3.3.5.2.4.7.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

خطوة 3.3.5.2.4.7.5

أضف $1$ و $1$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 3.3.5.2.4.7.6

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.2.4.7.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 3.3.5.2.4.7.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 3.3.5.2.4.7.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.3.5.2.4.7.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.2.4.7.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.3.5.2.4.7.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

خطوة 3.3.5.2.4.7.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 3.3.5.2.4.8

اجمع $i$ و $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$k = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

خطوة 3.3.5.2.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.2.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$k = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

خطوة 3.3.5.2.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$k = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

خطوة 3.3.5.2.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$k = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

خطوة 3.3.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $e^{k^{2}} (2 k^{2} + 1) = 0$ صحيحة.

$k = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

خطوة 3.4

لا توجد قيم لـ $k$ في نطاق المسألة الأصلية بها المشتق يساوي $0$ أو غير معرّف.

لم يتم العثور على نقاط حرجة

خطوة 3.5

لا توجد نقاط تجعل قيمة المشتق $f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ مساوية لـ $0$ أو غير معرّفة. وتمثل $(- \infty, \infty)$ الفترة اللازمة للتحقق من تزايد أو تناقص $f (k) = k e^{k^{2}}$ .

$(- \infty, \infty)$

خطوة 3.6

عوّض بأي عدد، مثل $1$ ، من الفترة $(- \infty, \infty)$ في المشتق $f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة. إذا كانت النتيجة سالبة، فإن الرسم البياني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, \infty)$ . أما إذا كانت النتيجة موجبة، فإن الرسم البياني يتزايد خلال الفترة $(- \infty, \infty)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

استبدِل المتغير $k$ بـ $1$ في العبارة.

$f' (1) = 2 {(1)}^{2} e^{{(1)}^{2}} + e^{{(1)}^{2}}$

خطوة 3.6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (1) = 2 \cdot (1 e^{{(1)}^{2}}) + e^{{(1)}^{2}}$

خطوة 3.6.2.1.2

اضرب $2$ في $1$ .

$f' (1) = 2 e^{{(1)}^{2}} + e^{{(1)}^{2}}$

خطوة 3.6.2.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (1) = 2 e + e^{{(1)}^{2}}$

خطوة 3.6.2.1.4

بسّط.

$f' (1) = 2 e + e^{{(1)}^{2}}$

خطوة 3.6.2.1.5

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (1) = 2 e + e$

خطوة 3.6.2.1.6

بسّط.

$f' (1) = 2 e + e$

خطوة 3.6.2.2

أضف $2 e$ و $e$ .

$f' (1) = 3 e$

خطوة 3.6.2.3

الإجابة النهائية هي $3 e$ .

$3 e$

خطوة 3.7

نتيجة التعويض بـ $1$ في $f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ هي $3 e$ ، وهي موجبة، لذا فإن الرسم البياني يتزايد خلال الفترة $(- \infty, \infty)$ .

تزايد خلال $(- \infty, \infty)$ نظرًا إلى أن $2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}} > 0$

خطوة 3.8

يعني التزايد على مدى الفترة $(- \infty, \infty)$ أن الدالة تتزايد دائمًا.

$متزايد دائمًا$

خطوة 4

لا ينطبق اختبار التكامل لأن الدالة ليست دائمًا تتناقص من $1$ إلى $\infty$ .

إدخال مسألتك